解析：
由/
（2）,f（3）的几何意艾知/'
（2）>f（3）>0,
./（3）-/
（2）
k/[B~3—2
由图象知Ovf⑶<灯対
（2）.
答案：
B
丫+1
5.过曲线尹=二厂（兀>0）上横坐标为1的点的切线方程为（
•A
A.3x+v-l=0
B.3x+y—5=0
C.x-y+\=O
D・x—y—]=O
解析:
•I该切线的斜率k=y'|x-i=—3,
则所求的切线方程为尹一2=—3（x—1）,即3x+y—5=0,故选B.
答案：
B
6.若函数.心）在R上可导，且.心）="+2广
（2）x+3,贝”）
A・.A0）
C.,/（0）>/（6）D.无法确定
解析：
f（x）=2x+2f⑵胡
（2）=4+2f
（2）3/
（2）=-4.从而_/（x）=x2-8x+3,其对称轴为x=4,则/（0）>/（6）・答案：
C
7.如图，阴影部分的面积是（
）
B.-2^3
D.普
C.
35
T
解析：
S=r-3（3-x2-Zx）d.Y
答案：
D
8.若函数.几丫）的导函数/'（x）=?
-4x+3,则函数./（x+1）的单调递减区间是（）
B.
A.（2,4）
（-3,-1）
C.（1,3）D.（0,2）
解析：
由f（x）=x2-4x+3=（x-1）（x-3）知，当兀丘（1,3）时，f（x）<0,函数金）在（1,3）上为减函数，函数v=/（x+l）的图象是由函数y=f{x）的图象向左平移1个单位长度得到的，所以（0,2）为函数y=f[x+1）的单调递减区间.故选D.
答案：
D
9.函数/（x）=x3~3x的极大值为加，极小值为A7,则加+刀为（）
C.2D.4
解析：
几巧二/—（x）=3x2—3=0=>x=±l,不难判断加=/（—1）=（—l）'+3=2,Z7=/
（1）=1‘一3=—2,m+n=O.
答案：
A
10.一物体在力F（x）=4x—1（单位：
N）的作用下，沿着与力F相同的方向，从x=l处运动到x=3处（单位：
m）,则力F所作的功为（
A.10J
B.
14J
C.7J
D.
28J
解析：
W=fF（x）dx
=f^4x—l）dx=（2x2—x）||=（232-3）-（212-1）=14J.答案：
B
11.对于R上可导的任意函数./（兀）,
若满足（x-l）f（x）^0,则必有（）
A.,AO）+A2）<2/
（1）
C.,A0）+A2）^2/（l）解析：
当1WxW2时，f（x）$0,
B.,A0）+/
（2）^2/（l）
D.,AO）+/
（2）>2A1）则/
（2）弓/
（1）;
而当OWxWl时，f（x）WO,则/
（1）W/（O）,
从而,/（0）+/
（2）>2/
（1）.
答案：
C
12.己知二次函^f（x）=ax2+bx+c的导数为/'
a），f（0）>0,对于任意实数x都有貳x）M0,
则咼J的最小值为（）
A.3
B.
C.2
D.
解析：
f（x）=2ax+bt有f（0）>03b>0.由于对于任意实数x都有/（x）>0,从而
a>0,
/=4qcW0,
岩mnX7
（1）a+b+c«+c丄《+cI2^££_火
待c>0,从而广（o）—b-1+b句+2逅产1+2逅厂2’当且
仅当a=c时取等号.
答案：
C
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.请把正确答案填在题中横线上）
13.函数f（x）=x3+ax-2在区间［1,+8）内是增函数,则实数q的取值范围是.
解析：
f（x）=3x2+a^0在xe[l,+8）上恒成立,即a>~3x2在xW[l,+8）上恒成立.
而一3”的最大值为一3,故只需。
三一3即可.
答案：
aM—3
14.过点（2,0）且与曲线尹相切的直线的方程为
•A
解析：
设所求切线与曲线的切点为pg）,旳）,
=一+，.A|x=x0=—古，所求切线的方程为
尹_刃）=_花（乳_曲）.
・.・点（2,0）在切线上，
0—yo=—占（2—x（））,:
.兀詁（）=2—X（）,
又兀0刃）=1,
由①②解得
1,
1,
・••所求直线方程为x+p—2=0.
答案：
x+y—2=0
15.已知函数/⑴为一次函数，其图象经过点（3,4）,且/（，/（x）dx=l,则函数/（x）的解析
式为•
解析：
设函数J{x）=ax+b（aH0）,
因为函数./U）的图象过点（3,4）,所以有b=4-3a.
=[*忌+（4_30）兀]|o
答案：
/（x）=|x+|
16.设函数^x）=x,n+ax的导数为f（x）=2x+l,则数列｛盘]（圧眄的前n项和是
解析：
f（x）=nixm~'+a=2x+1一"
67=1.
则心）=/+兀，盘=；^古可=+—计y，其和为
1n_
n+1n+V
答案：
三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分12分）已知函数/（x）=x3+x—16.
（1）求曲线y=/（x）在点（2,—6）处的切线方程；
（2）直线/为曲线y=f（x）的切线，且经过原点，求直线/的方程及切点坐标.
解析：
（1）V/（x）=（x3+x-16）z=3x2+1,
・・・心）在点（2,—6）处的切线的斜率为&=/'⑵=13,
・・・切线的方程为y=13（x-2）+（—6）,
即y=13x—32.
（2）方法一：
设切点为（兀0,尹o）,
则直线/的斜率为f（x（））=3£+1,
・・・直线/的方程为
y=（3并+l）（x—xo）+xo+xo—16,
5C・•直线/过点（0,0）,
.•・0=（3x$+1）（—xo）+xo+xo—16,
整理得，Xo=—8,xq——2,
・"）=（—2）'+（—2）—16=—26,
k=3X（—2）?
+1=13.
・・・直线/的方程为y=13兀，切点坐标为（一2,—26）・
方法二：
由题意知，直线/的斜率存在.
设直线/的方程为y=kx,切点为（xo,Po）,
则匸
为一0
xo—0
xo
又•・・£=/'（丸）=3爲+1,
£+心一16
如）
=3xq+1,
解之得x°=—2,
・"）=（—2）'+（—2）—16=—26,
£=3X（—2）2+1=13.
・・・直线/的方程为y=13兀，切点坐标为（一2,-26）.
18.（本小题满分12分）物体力以速度v=3r+\在一直线上运动，在此直线上物体/出发的同时，物体3在物体/的正前方5m处以v=lOt的速度与加同向运动，问两物体何时相遇？
相遇时物体加走过的路程是多少（时间单位为：
s,速度单位为：
m/s）?
解析：
设/追上〃时，所用的时间为/o,
依题意有为=Sb+5,
即JrOo（3r+l）dr=j：
°10/d/+5,
才+/（）=5*+5,
即fo（诒+1）=5（诒+1）,/o=5s,
・••号=5石+5=130（m）.
19.（本小题满分12分）某电视生产厂家有A,B两种型号的电视机参加家电下乡活动.若厂家投放A,B型号电视机的价值分别为“,g万元农民购买电视机获得的补贴分别为為，|lnq万元.已知厂家把总价值为10万元的A,B两种型号电视机投放市场，且A,B两型号的电视机投放金额都不低于1万元，请你制订一个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出其最大值.（精确到0.1,参考数据：
ln4~1.4）
解析：
设B型号电视机的价值为x万元（1WxW9）,农民得到的补贴为y万元，则A型号电视机的价值为（10-x）万元，由题意得，
1221
夕=応（10—x）+glnx=^lnx—^x+1,
解，从而J=l-4c>0,:
.c<^・
（2）V/（x）在x=2处取得极值，.*./
（2）=4—2+c=0,
•••c=-2.
—2x+d.
、：
f（x）=/-x-2=（x-2）（x+1）,
・••当兀丘（一8,—1］时，f（兀）>0,函数单调递增,当xe（-l,2］时，f（x）vo,函数单调递减.
7
.*.x<0时，/（兀）在x=—1处取得最大值&+d,
•:
x<0时，f（x）<^d2+2d恒成立，
71
・・・&+*評?
+2乳即（d+7）（d—l）>0,
.\d<—7或d>\,
即d的取值范围是（一8,-7）U（1,4-oo）.
21.（本小题满分13分）已知函数Av）=-x3+3x2+9x+a,
⑴求沧）的单调递减区间;
（2）若/（x）在区间［—2,2］上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.
解析：
⑴厂（x）=-3x2+6x+9,令f（x）<0,
解得xv-l或x>3,所以函数/（x）的单调递减区间为（一8,-1）,（3,+oo）.
（2）・・V（-2）=8+12-18+a=2+a,
./
（2）=—8+12+18+o=22+a,
・\/
（2）>A-2）.Vxe（-1,3）B+,/（x）>0,
・・・心）在（-1,3］上单调递增.
又./W在［一2,—1）上单调递减，・・・/
（2）和/（一1）分别是./（X）在区间［-2,2］上的最大值和最小值.
于是有22+q=20,解得°=一2.
故沧）=—/+3x2+9x—2,
・・・./（一1）=1+3—9一2=—7,即函数./（X）在区间［-2,2］上的最小值为一7.
22.（本小题满分13分）已知函数/（x）=xln（l+x）-a（x+l）,其中。
为实常数.
（1）当%e［l,+oo）时，f（x）>0恒成立，求q的取值范围；
ax
（2）求函数g（x）=/'（x）—十的单调区间.
X
解析：
（1）由题意，知/'（x）=ln（l+x）4-j7|7^—«>0,
则aVln（l+x）+
1+兀在皿山
+8）时恒成立.
Y
令〃（x）=ln（l+x）+存匚，则
h，（x）=7+7+（TW=（TW-Vxe[i,+oo）,h1（x）>0,即/?
（X）在[1,+8）上单调递增，・・・〃（x）2/?
（l）=*+ln2,・・・g的取值范围是（一8,|+ln2）.
（1—ci}x
其定义域为（一1,+°°）.
（2）由
（1）知，函数g（x）=ln（l+x）+]+；—a,
小，11~ax+2—q
则gw=7+7+（TW=?
+^-
1当a＞\时，若xe（-l,67-2）,则g'（x）＜0,g（x）在（一1,a-2）上单调递减；若xe（67-2,+®）,则g‘（X）＞0,g（x）在（C7-2,+oo）上单调递增.
2当aWl时，g‘（x）＞0,g（x）在（一1,+®）上单调递增.
综上，当a＞l时，g（x）的单调递增区间为（0—2,+8）,
递减区间为（一1,tz-2）;
当qWI时，g（x）的单调递增区间为（一1,+8）.
第二章
一、选择题（本大题共12小题.每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项屮，只有一项是符合题目要求的）
1.“兀是无限不循环小数，所以兀是无理数”•以上推理的大前提是（）
A.实数分为有理数和无理数
B.兀不是有理数
C.无理数都是无限不循坏小数
D.有理数都是有限循坏小数
解析：
演绎推理的结论是蕴含于前提之中的特殊事实，本题中由小前提及结论知选C.
答案：
c
2.用反证法证明某命题吋，对结论：
“自然数a,b,c中至少有一个偶数.”正确的
反设为（）
A.a,b,c中至少有两个偶数
B.ci,b,c都是奇数
C.a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数
D.a,b,c都是偶数
解析：
“至少有一个”的反面是“一个也没有”，
aa,b,c中至少有一个是偶数''应反设为：
a,b,c都是奇数.
答案：
B
3.某个命题与正整数有关，如果当心飓WN）时，该命题成立，那么可推得当n=k
+1时命题也成立.现在已知当h=5时，该命题不成立，那么可推得（）
A.当n=6时该命题不成立B.当n=6时该命题成立
C.当n=4时该命题不成立D.当n=4时该命题成立
解析：
依題意，若,7=4时该命题成立，则77=5时该命题成立；而刃=5时该命题不成立，却无法判断n=6时该命题成立还是不成立，故选C.
答案：
C
4.下列表述正确的是（）
1归纳推理是由特殊到一般的推理；②演绎推理是市一般到特殊的推理；③类比推理是由特殊到一般的推理；④分析法是一种间接证明法；⑤若zEC,M|z+2-2/|=l,则|z—2一2,|的最小值是3.
A.①②③④B.②③④
C.①②④⑤D.①②⑤
解析：
归纳推理是由部分到整体、特殊到一般的推理，故①正确；演绎推理是由一般到特殊的推理，故②正确；类比推理是由特殊到特殊的推理，故③错误；分析法是一种直接证明法，故④错误；|z+2-2Z|=l表示复平面上的点到（一2,2）的距离为1的圆，|z-2-2i|就是圆上的点，到（2,2）的距离的最小值，就是圆心到（2,2）的距离减去半径，即：
|2-（-2）|-1=3,故⑤正确.故选D.
答案：
D
5.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：
①②③
按照上面的规律，第〃个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为（
B.Sn-2
A.6n~2
C.6n+2
D.Sn+2
解析：
归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8,公差是6的等差数列，通项公式为a,=6n+2.
答案：
C
6.将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：
1ab=ba；
2（ab）c=a（bc）；
3a•（方+c）=a•方+ac；
4由aZ>=a・c（dHO）可得b=c,
则正确的结论有（）
A.1个B.2个
C.3个D.4个
解析：
平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故①③正确,
②错误；由ab=ac（a^O）得a・（"一c）=O,从而〃一c=0或a丄（方一c）,故④错误.
答案：
B
7.观察下列各式：
a+b=\f/+圧=3,»+方3=4,/+胪=7,芒+沪=11,…，则/+屮=（）
A.28B.76
C.123D.199
解析：
记/+〃"=©）,则几3）=/
（1）+/
（2）=1+3=4；/（4）=/
（2）+・/（3）=3+4=7;./（5）=/（3）+/（4）=11.通过观察不难发现J{n）=J{n~1）+/（舁一2）0?
GN*,力23）,则/（6）=/（4）+/（5）=18;/（7）=/（5）+/（6）=29;/（8）=/（6）十/（7）=47;/（9）=/（7）+/⑻=76;/（10）=/（8）+/（9）=123.
所以/+界=123.
答案：
C
8・数列{a”}满足a\=2,a”+i=l—则。
2014等于（）
A.+B.—1
C.2D.3
解析：
Vai=|,a”+i=l—占,
**
d2014=01+3X67】=°1=2-
答案：
A
9.由“正三角形的内切圆切于三边的屮点”，可类比猜想出正四面体的内切球切于四个侧面（）
A.各正三角形内任一点
B.各正三角形的某髙线上的点
C.各正三角形的中点
D.各正三角形外的某点
解析：
正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心.
答案：
C
10.已知Q0,不等式x+务2,x+4&3,x+4^4,…，可推广为x+刍曲+1,则
AAAA
a的值为（）
A.n2B.n
C.2"D.22w_2
解析：
由x+丄22,x+乌=x+4$3,x+^=x+占三4,…，可推广为x+\^n+1,
XXJCXXJC
故a=nf,.
答案：
B
11.命题：
在三角形中，顶点与对边中点连线所得三线段交于一点，且分线段长度比为
2:
1,类比可得在四面体中，顶点与所对面的连线所得四线段交于一点，且分线段
比为（）
A.重心3:
1B.重心3:
1
C.内心2:
1D.夕卜心2:
1
解析：
由四面体的性质可得结论为A.
答案：
A
1_/亠2
12.在用数学归纳法证明1+。
+圧+…+/+1=]_Q（qHI,时，在验证当n
1时，等式左边为（）
B.
A.1
1+a
C.1+q+/D.1+&+/+/
解析：
等式左边共n+2项，规律是q的指数从0依次增加1直到/?
+1,故n=\f最后一项为a2.
答案：
C
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.请把正确答案填在题中横线上）
13.“因为/C,BD是菱形MCD的对角线，所以/C,互相垂直且平分.”以上
推理的大前提是.
答案：
菱形的对角线互相垂直且平分
14.己知x,yWR,且x+y>2,则x,y中至少有一个大于1,在用反.证法证明时，假
设应为•
解析：
“至少有一个”的反面为“一个也没有”即“x,y均不大于1”,亦即“xWl
且応1”.
答案：
x,y均不大于1（或者xWl且）W1）
15.观察下列不等式
1+是，
照此规律，第五个不等式为.
解析：
先观察左边，第一个不等式为2项相加，第二个不等式为3项相加，第三个不等式为4项相加，则第五个不等式应为6项相加，右边分子为分母的2倍减1,分母即为所
1+*+*+
H
~6
对应项数，故应填1+*+*+*+£+右V#.
答案:
16.观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图形中有个小正方形.
解析：
第1个图中有3个小正方形，第2个有3+3=6个小正方形，第3个有6+4=10个小正方形，第4个图形有10+5=15个小正方形，第5个图形有15+6=21个小正方形，第6个图形中有21+7=28个小正方形.
答案：
28
三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分12分）把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，并判断类比的结论是否成立.
（1）如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交；
（2）如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行.
解析：
（1）类比为：
如果一个平面和两个平行平面中的一个相交，则必和另一个相交.结论是正确的，证明如下：
设a//p,且yHa=af则必有yQ0=〃，若y与“不相交，则必有y//p.
又a//P，与yC\a=a矛盾，:
•必有yC\p=b.
（2）类比为：
如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行，结论是错误的，这两个平面也可能相交.
18.（本小题满分12分）
（1）证明：
函数/（x）=—x2+2x在（一8,1］上是增函数；
（2）当兀e［-5,一2］时，./（兀）是增函数述是减函数？
解析：
（1）证明：
任取兀1,兀2丘（―8,1］,X1则血）一心2）=（也一兀1）（兀2+小一2）•
TX02W1,「.k+xi—2<0,
••・・心1）一心2）<0,,/（%1）
于是，根据“三段论”可知，J（x）=~x2+2x在（一8,1］上是增函数.
（2）・・・沧）在（一8,1］上是增函数，而［_5,—2］是区间（一8,1］的子区间，・・・/（x）在［一5,一2］上是增函数.
19.（本小题满分12分）已知血+血+血+如〉100,求证d］,C12,03，中至少有一个数大于25.
解析：
假设a】，。
2,如，均不大于25,即d|W25,。
2冬25,的025,血冬25,
则©+02+03+04^25+25+25+25=100,
这与已知⑷+血+心+血〉100矛盾，故假设错误.
所以Q］,。
2,心，04中至少有一个数大于25.
20.（本小题满分12分）己知△MC的三个内角B,C成等差数列，记B,C的
113
对边分别为Q，b,C・求证：
朮+未"
113
证明：
要证市+后=乔p
一—a+b+c,a+b+c
只需证〒右—7
即证明市+
b+c
所以只需证c（b+c）+a（a+b）=（a+b）（b+c>）f即证明c1+a2=ac+b2.（*）
VAABC的三个内角加，B,C成等差数列，
・•・"=60。
.
由余弦定理，得b2=c2+a2~2accos60°.b2=c1-\~a2—ac.代入（*）式，等式成立.
:
.c2+a2=ac+b2^立，故命题得证.
21.（本小题满分13分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
®sin213°+cos217°—sin13°cos17°；
2sin215°+cos215°—sin15°cos15°；
3sin218°+cos212°-sin18°cos12°；
4sin2（一18。
）+cos248°一sin（-18°）cos48°；
5si
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