湖南省永州市届高三上学期第二次模拟考试数学理试题含答案.docx
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湖南省永州市届高三上学期第二次模拟考试数学理试题含答案
永州市2020年高考第二次模拟考试试卷
数学（理科）
注意事项：
1．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效．
2．考试结束后，只交答题卡．
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设复数满足，则的共轭复数为
A．B．C．D．
2．已知集合，，则
A．B．
C．D．
3．执行右图所示程序框图，若输入，则输出结果为
A．B．C．D．
4．为了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重情况如三维饼图
（1）所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如三维饼图
（2）所示．
对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论不正确的是
A．他们健身后，体重在区间[90kg，100kg）内的人数不变
B．他们健身后，体重在区间[100kg，110kg）内的人数减少了4人
C．他们健身后，这20位健身者体重的中位数位于[90kg，100kg）
D．他们健身后，原来体重在[110kg，120kg]内的肥胖者体重都至少减轻了10kg
5．已知数列是首项为，公比为的等比数列，则等于
A．8B．32C．64D．128
6．某校高三年级有男生人，编号为，，…，；女生人，编号为，，…，．为了解学生的学习状态，按编号采用系统抽样的方法从这名学生中抽取人进行问卷调查，第一组抽到的号码为．现从这名学生中随机抽取人进行座谈，则这人中既有男生又有女生的概率是
A．B．C．D．
7．已知定义在上的奇函数满足，若，则
A．B．0C．2D．2020
8．已知函数的部分图像如右图所示，且，则的值为
A．B．C．D．
9．北方的冬天户外冰天雪地，若水管裸露在外，则管内的水就会结冰从而冻裂水管，给用户生活带来不便．每年冬天来临前，工作人员就会给裸露在外的水管“保暖”：
在水管外面包裹保温带，用一条保温带盘旋而上一次包裹到位．某工作人员采用四层包裹法（除水管两端外包裹水管的保温带都是四层）：
如图1所示是相邻四层保温带的下边缘轮廓线，相邻两条轮廓线的间距是带宽的四分之一．设水管的直径与保温带的宽度都为4cm．在图2水管的侧面展开图中，此保温带的轮廓线与水管母线所成的角的余弦值是（保温带厚度忽略不计）
A．B．C．D．
10．某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为
A．B．C．D．
11．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为
A．B．C．D．
12．数列｛an｝满足an＋1＋an＝11n+
（1）n，且0＜a6＜1．记数列｛an｝的前n项和为Sn，则当Sn取最大值时n为
A．11B．12C．11或13D．12或13
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．曲线过点的切线方程为．
14．已知为圆的弦，若，则．
15．已知以F为焦点的抛物线C：
上的两点A、B满足，则|AB|．
16．已知函数
（1）若t＝1，且值域为[1，3），则实数a的取值范围为．
（2）若存在实数a，使值域为[1，1]，则实数t的取值范围为．
三、解答题：
本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题第21题为必考题，考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必做题：
60分．
17．（本题满分12分）在中，，点在边上，．
（1）若的面积为，求；
（2）若，，求．
18．（本题满分12分）在如图三棱锥A－BCD中，BD⊥CD，E，F分别为棱BC，CD上的点，且BD∥平面AEF，AE⊥平面BCD．
（1）求证：
平面AEF⊥平面ACD；
（2）若，为的中点，
求直线与平面所成角的正弦值．
19．（本题满分12分）已知椭圆：
的左、右顶点分别为C、D，且过点，P是椭圆上异于C、D的任意一点，直线PC，PD的斜率之积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）O为坐标原点，设直线CP交定直线x=m于点M，当m为何值时，为定值．
20．（本题满分12分）某工厂生产某种产品，为了控制质量，质量控制工程师要在产品出厂前对产品进行检验．现有（且）份产品，有以下两种检验方式：
（1）逐份检验，则需要检验次；
（2）混合检验，将这份产品混合在一起作为一组来检验．若检测通过，则这份产品全部为正品，因而这份产品只要检验一次就够了；若检测不通过，为了明确这份产品究竟哪几份是次品，就要对这份产品逐份检验，此时这份产品的检验次数总共为次．假设在接受检验的样本中，每份样本的检验结果是正品还是次品都是独立的，且每份样本是次品的概率为．
（1）如果，采用逐份检验方式进行检验，求检测结果恰有两份次品的概率；
（2）现对份产品进行检验，运用统计概率相关知识回答：
当和满足什么关系时，用混合检验方式进行检验可以减少检验次数？
（3）当（且）时，将这份产品均分为两组，每组采用混合检验方式进行检验，求检验总次数的数学期望；
当（，且，）时，将这份产品均分为组，每组采用混合检验方式进行检验，写出检验总次数的数学期望（不需证明）．
21．（本题满分12分）
已知函数，．证明：
（1）存在唯一x0∈（0,1），使f（x0）＝0；
（2）存在唯一x1∈（1，2），使g（x1）＝0，且对
（1）中的x0，有x0＋x1<2．
（二）选考题：
10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分．
22．[选修4-4：
坐标系与参数方程]（本题满分10分）
在直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）写出直线的极坐标方程；
（2）设动直线与，分别交于点、，求的最大值．
23．[选修4-5：
不等式选讲]（本题满分10分）
已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）记函数，且的最大值为，若，求证：
．
永州市2020年高考第二次模拟考试试卷
数学（理科）参考答案
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
B
D
C
C
B
D
B
A
C
C
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．
13．14．15．
16．
（1）（2分）；
（2）（3分）
三、解答题：
本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）解：
（1）
…………………………………………………………………3分
在中，由余弦定理可得
………………………………………………………………6分
（2）
……8分
，，
，，
………………………………………………………10分
在中，由正弦定理可得，
．………………………………………………12分
18．（本小题满分12分）
解：
（1）证明：
因为，，
所以，因为，所以．
又因为，，
所以，而，
所以，又，
所以．………………6分
（2）解：
设直线与平面所成交的余弦值为．
连接，在中，，，
，所以，且，，
又因为，，，
所以，．在中，，，所以．
如图，以点为坐标原点，分别以为x,y,z轴建立空间直角坐标系，各点
坐标为，，，，
因为，为的中点，所以为的中点，即，
设平面的法向量，
，，
由，即，
整理得，令，得，，则．……10分
因为，所以，
故直线与平面所成交的正弦值为．……………12分
19．（本小题满分12分）解：
（1）椭圆过点，∴，①………2分
又因为直线的斜率之积为，可求得，②
联立①②得．
∴所求的椭圆方程为．……………………………………………6分
（2）方法1：
由
（1）知，．由题意可设，
令x=m,得．又设
由整理得：
．…………………6分
∵，∴，，
所以，……………………………………………………8分
∴，…10分
要使与k无关，只须，此时恒等于4.
∴……………………………………………………………………………12分
方法2：
:
设，则，令x=m,得，
∴
由有，
所以，
要使与无关，只须，此时.
∴…………………………………………………………………………12分
20．（本小题满分12分）
解：
（1）如果，采用逐份检验方式，设检测结果恰有两份次品的概率为
检测结果恰有两份次品的概率．………………………3分
（2）记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为，由已知得，的所有可能取值为
=…………………5分
要减少检验次数，则，则
∴，，即，………………………7分
（3）两组采用混合检验的检验次数分别为，，则由
（2）知，
，，
………………10分
设这组采用混合检验的检验次数分别为，，，，，，且检验总次数，
，
，
所以检验总次数的数学期望．…………………12分
21．（本小题满分12分）
证明：
（1）当x∈（0,1）时，f′（x）＝＞0，函数f（x）在（0,1）上为增函数．又f（0）＝-e+1<0，f
（1）＝3>0，所以存在唯一x0∈（0,1），使f（x0）＝0．…4分
（2）当x∈（1，2）时，,
令t=2-x,x=2-t，x∈（1，2），t∈（0，1），
t∈（0，1）……………………6分
记函数，t∈（0，1）．
则h′（t）＝．……………………8分
由
（1）得，当t∈（0，x0）时，f（t）<0，h′（t）＞0，
当t∈（x0，1）时，f（t）>0，h′（t）<0．
故在（0，x0）上h（t）是增函数，又h（0）＝0，从而可知当t∈（0，x0]时，h（t）>0，所以h（t）在（0，x0]上无零点．
在（x0，1）上h（t）为减函数，由h（x0）>0，h
（1）＝－ln2<0，知存在唯一t1∈（x0，1），使h（t1）＝0，……………………………………………10分
故存在唯一的t1∈（0，1），使h（t1）＝0．
因此存在唯一的x1＝2－t1∈（1，2），使g（x1）＝g（2－t1）＝h（t1）＝0．
因为当t∈（0，1）时，1＋t>0，故与g（2－t）有相同的零点，所以存在唯一的x1∈（1，2），使g（x1）＝0．
因为x1＝2－t1，t1>x0，所以x0＋x1<2．…………………………………………12分
22．（本小题满分10分）
解：
（1）直线的直角坐标方程为，
将，代入方程得
，即，…………………………5分
（2）设直线的极坐标方程为，设，
则，
由，有，
当时，的最大值为．………………………10分
23．（本小题满分10分）
解：
（1）由得，解得
不等式的解集为．………………………5分
（2）
当且仅当时等号成立，
，………………………7分
．
当且仅当，即时等号成立．………………………10分
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