最新定积分的计算与应用 1.docx

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最新定积分的计算与应用1

定积分的计算与应用

（1）

哈尔滨师范大学

学　年　论　文

题目定积分的计算与应用

学生刘影

指导教师皮晓明

年级2010级6班

专业数学与应用数学

系别数学系

学院数学科学学院

哈尔滨师范大学

2012年12月

电话：

180045056

定积分的计算与应用

刘影

摘要：

定积分计算的方法和技巧是非常丰富的，除用定积分性质、基本公式，换元法与分部积分法外，简单的还有定积分的几何意义，函数奇偶性及查积分表等。

本文主要列举了一些定积分计算的方法与技巧以及定积分的一些基本应用。

关键词：

牛顿莱布尼兹公式积分定积分

恩格斯增经指出微积分是变量数学的重要组成部分,微积分是数学一个分支,学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具，定积分在几何学、物理学、经济学、社会学等应用领域中具有广泛的应用。

如复杂图形的研究，化学反应过程的分析，求数列极限等等。

一、定积分的计算方法

1、按照定义计算定积分

定积分的定义其实已经给出了计算定积分的方法，即求面积和的极限：

例1求由抛物线，，及所围平面图形的面积。

解根据定积分的几何意义，就是要计算定积分.显然，这个定积分是存在的。

取分割T为等份，并取，，则所求面积为：

2、用牛顿--莱布尼兹公式计算定积分

若函数在上连续，且存在原函数，即，x∈[a,b],则在上可积，且，这称为牛顿—莱布尼兹公式，它也常写成

有了牛顿—莱布尼兹公式后，计算定积分关键就是找的一个原函数。

这就转化为不定积分的问题了。

例2求

解已知

∴

3、利用分部积分法计算定积分

设函数、在区间[a，b]上连续可微，则有定积分分部积分公式：

例3求

解

4、利用换元积分法计算定积分

若函数在上连续，在上连续可微，且满足

，，，

则有定积分的换元积分公式

。

应用定积分的换元积分公式计算定积分时，要注意积分上、下限的变化。

例4计算

解先用变量代换方法：

令，则，，于是

。

再用分部积分法计算上式右端的积分。

　设，，则，。

于是

从而原式＝。

二、定积分的简单应用

1、求平面曲线的弧长

1.1、在平面直角坐标系下，求曲线上一段的弧长（如图1）.

图1

在区间上的任意点对应的点处，作曲线的切线，取其对应自变量增量为的一段作为曲线弧的近似值（“直代曲”），即。

称为弧长微元，，对其积分，则得所求弧长。

例5求曲线上一段的弧长。

解

.

1.2、用参数方程表示的函数的弧长计算，如曲线上一段的弧，这时

即，则曲线的弧长.

2、计算平面图形的面积

例6计算一块材料（如右图）的面积。

图2

分析：

如图2中阴影部分面积即为材料面积，它是由抛物线方程为、坐标轴和直线方程围成的区域。

解由于曲线与直线在点（1,2）相交,所以

其中

从而=+

=

3、求立体图形的体积

一个木块的体积，我们们可以将此木块作分割T:

划分成许多基本的小块,每一块的厚度为,假设每一个基本的小块横切面积为,为上连续函数，则此小的体积大约是,将所有的小块加起来,令→0,可以得到。

下面来看以下例题:

例7一块由直线和直线及弧,所共围成的区域，以x轴为轴旋转一周所形成的体积是多少？

分析：

如图3，阴影区域即为题意所指的区域,其旋转体积求法，

可将区域APQB的旋转体积减去区域APCB的旋转体积，即为所求。

解首先来求区域APQB的旋转体积：

而区域APCB的旋转体积为一个圆柱体的体积其

半径为，高为2，故其体积为。

所以区域PCQ的旋转体积为。

4、定积分在力学中的应用图3

举一个最简单的例子:

有一个方向恒定的变力对一个物体做功,若这个变力对物体的作用距离为S，为S的函数,则有变力所做的功为（其中a,b为变力的起始与末尾值）；下面列举实际应用中例子。

例8重量为的摆锤系于绳的下端,绳长为,上端固定如右图4所示,一水平变力从零逐渐增大缓慢的作用在摆锤上,使摆锤虽然移动,但在所有时间内均匀无限接近力平衡,一直到绳子与竖直直线成角的位置，试计算变力F所做的功。

图4

解按题意，在任意位置上（由角位置θ表示），摆锤无限的接近于力平衡，所以可由摆锤所受合力极接近于零来计算。

在水平方向与竖直方向分别有：

，，

式中T是摆锤所受绳的拉力，于是有；当摆锤在θ位置上沿圆弧作微小位移时，力所做的微功为将代入得：

，

所以在摆锤从初始位置到位置的过程中，F力对摆锤所作的总功为：

此外,应用定积分对物体的运动过程进行分析也是十分方便的,例如匀加速运动:

设质点沿X轴作匀加速直线运动,已知加速度为（为一个恒定量）和初始运动状态（即t=0时刻质点的坐标位置和初速度）要确定质点某一时刻的运动状态,也就是要求其坐标和速度随时间的函数表示式和。

先将瞬时加速度的数学式改写成，已知为恒定量,对上式两边去积分,并应用质点在时刻的初始条件得，即

（1）

式

（1）就是确定质点在匀加速直线运动中速度的时间函数式。

根据瞬时速度的数学式，把式

（1）改写成或，然后对两边取积分得：

即或

（2）

式

（2）就是在匀加速直线运动中确定质点位置的时间函数式，也就是质点的运动方程。

此外，如果把瞬时加速度改写成：

即；

对两边取积分得即：

…………………………（3）

式（3）就是质点坐匀加速运动是质点坐标和速度之间的关系式。

5、定积分在电学中的应用

例9设真空中有一均匀带电直线，长为总电量为，线外有一点离直线的垂线距离为，点和直线两端点的连线之间的夹角分别为和，如图5所示，求点的场强。

解这里产生电场的电荷是连续分布的，所以首先要把整个电荷分布划分为许多电荷元，求出每一电荷元的给定点的场强，然后根据场强叠加原理，按的关系求总场强，由于场强本身是矢量，所以必须注意选取方位适当的坐标系，以便求出分量，，，再经积分计算求得，，

我们以点到直线的垂足为原点，取坐标轴，如图，在带电直线上离原点为处取长度元,上的电量为，设直线上每单位长度所带电量，（称为电荷线密度），，所以；设到点的距离为可知在点处产生的场强的大小为，方向如图5，，，图中轴未画出，显然。

从图5可知:

图5

，，。

所以

（1），

（2）。

将式积分

；

；

可注意到,点处的场强的大小与该点离直线的距离反比,的大小和方向可从，确定。

如果这一均匀带电直线是无限长的,即，那么有

。

6、在初等数学中的应用

近些年来，定积分还越来越多的被应用到解决初等数学的一些问题上面来，下面来讨论一下定积分在证明不等式。

运用积分来证明不等式，一般要利用到积分的如下性质：

设与都在上可积，且,则

特别的当时，有。

例10证明贝努利不等式：

已知>-1,且0,且，求证

。

证明若,则且时，。

因此

即。

若，或1+,且时，。

因此

由此可得：

。

综合以上可得当且,且时有。

从上面的证明过程中可以看出，去掉条件之后，结论仍然成立。

而且，更一般的我们有，设,则：

若时，有；

若或时，有且仅当=0时，两式中的等号成立。

参考文献

［1］程其襄.华东师范大学数学系.数学分析上册[M].高等教育出版社,北京,2001年

［2］辛开远.定积分计算中应当注意的几个问题［DB/OL］.

［3］唐琦林，冯良豪.关于几种类型定积分的求法[N].现代企业教育,2008.8.

［4］周德国，蔺小林.定积分几何应用的几个问题[DB/OL].西北轻工学院.