第2章2 采样过程的数学描述及特性分析.docx
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第2章2采样过程的数学描述及特性分析
第三讲采样过程的数学描述及特性分析
„
一采样过程的一般概念
„
二理想采样信号的时域描述
„
三理想采样信号的频域特性
„
四采样定理及其相关讨论
一采样过程的一般概念
„
采样器
即采样开关
„
采样时间p
采样开关每次合上的时间，即采样脉冲的宽度
„
采样周期T
采样开关相邻两次闭合之间的间隔时间
„
采样频率fsfs＝1/T（Hz）
„
采样角频率
ωsωs＝2πfs＝2π/T（rad/s）
„
理想采样过程
当p相对于T很小时，近似认为采样是瞬时完
成的，即认为p→0，这种采样过程称为理想
采样过程。
„
均匀采样
整个采样过程中采样周期不变
„
非均匀采样
采样过程中采样周期是变化的，可视为多种均匀
采样的叠加。
„
随机采样
采样周期是随机变化的
二理想采样信号的时域描述
定义
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
δ
（
t
−
∞
∫
−
kT
δ
∞
）
（
=
tdt
）
⎧
⎨
⎩
1
0
=
1
t
t
=
≠
kT
kT
δ（t）
1
Ot
性质
∫
f
∞
fδ=（0）
（t）（t）dtf
−∞
⎧f（kT）
（δ−=
t）tkT⎨
（）
0
⎩
t
t
=
≠
kT
kT
2.理想采样开关的数学描述
理想采样开关具有瞬时合上并断开的功能，只让
采样时刻的输入信号通过，因此可用单位脉冲序列来
描述
∞
δδ
（t）
=∑
T
k
=−∞
（tkT）
−
=+δ++δ++δ+δ−+δ−+
...（t2T）（tT）（t）（tT）（t2T）...
δ
（t）T
Ot
3.理想采样信号的时域描述
„理想采样信号f*（t）是连续信号f（t）经过理想采样开
关而获得的输出信号，即
∞
∑
f*（）=（）δ（）=（）δ（−）
tftTtfttkT
k
=−∞
f（t）Tf*（t）
δ
T（t）
t
f*（t）
f（t）
O
t
O
脉冲幅度调制器
f（t）f*（t）
t
„实际系统中，f（t）在t<0时等于零，且f（t）只在脉
冲发生时刻才在输出端有效，记为f（kT），这样，理
想采样信号的时域表达式可写为：
∞
∑
f*（）=（）δ（−）
tfkTtkT
k0
=
三理想采样信号的频域特性
1.理想采样信号的频谱表达式
周期函数δ
T（t）展开为傅氏级数的复数形
∞
式，有
∑δ（）=
tω
Ce
jkt
s
Tk
k
=−∞
其中
C
k
=
1
T
T/2
∫
−
T/2
δ
T
（t）e
−
jkt
ω
s
dt
=
1
T
T/2
∫
−
T/2
δ
（t）edt
−ω
jkt
s
=
1
T
e
−
jkt
ω
s
|
t
=
0
=
1
T
即有
∞
δ（）1
tω
=jkt
e
∑
s
T
T
k
=−∞
理想采样信号可表示为
∞
1
*∑
fδω
（t）f（t）（t）f（t）（e
==t
jk
s
T
T
K
=−∞
对上式作傅氏变换
）
F
*
∞
1
∑
（*
j）F[f（t）]F[f（t）e
ω=ω
=jk
T
K
=−∞
s
t
]
=
1
T
∞
∑
F
K
=−∞
（jjk
ω−ω
s
）
其中F（jω）为被采样函数f（t）的傅氏变换，若令n=－k，
上式可写成
∞
1
∑
*ω=ω+ω
F（j）F（jjn）
s
T
n
=−∞
上式即为理想采样信号的频谱表达式
2.理想采样信号的频域特性
由采样信号的频谱表达式可知，理想采样信号的频谱F*（jω）与被采样信号的频谱F（jω）有十分密切
的关系。
采样信号的幅频谱
连续信号的幅频谱
ω
s>2ωm
1
T
F
（）*jω
*jω
F）
（jω
ωs＝2ωm
1
Oωs
F（）*jω
*jω
ω
-ωmωm
O
ω
T
ωs<2ωm
Oωs
F（）*jω
*jω
1
ω
T
Oωs
ω
„
结论
„当n＝0时，F*（jω）＝F（jω）/T，称为采样信号的
基本频谱，它正比与原连续信号的频谱，幅值为原频谱的1/T；
„当n≠0时，将派生出以ω
s为周期的高频频谱分量，称为旁带；
„若连续信号的频谱带宽有限，最高频率为ω
m，而
采样频率ωs≥2ωm，则采样后派生出的高频频谱
和基本频谱不会重叠；反之，当频率ωs<2ωm
时，则各频谱之间就会出现混叠现象。
四采样定理及其相关讨论
1频率混叠现象
„采样信号的频谱包含基本频谱及派生的高频
频谱分量，如果这些频谱分量是相互分离的，
则可通过一个理想滤波器去掉所有的高频频
谱，保留基本频谱，并放大T倍，即可获得与
连续信号的频谱；
ω
s>2ωm
1
T
F
（）*jω
*jω
Oωs
ω
„如果周期性频谱分量互相交叠，则采样信号
的频谱与原连续信号的频谱发生很大的差
别，以致无法从采样信号中获得原连续信号
的频谱，这就是所谓频率混叠现象；
ω
s<2ωm
F
（*jω
*jω
）
Oωs
ω
频率混叠现象发生在以下两种情况下：
„情况一：
当连续信号的带宽有限，ω
m为信号中的最高
频率，如果采样频率ω
s<2ωm，则采样信号会产生频率混叠现象；
F
（）*jω
*jω
Oω
ω
s/2
s
ω
上图中，
ω
s
/2是一个关键频率点，若连
续信号的最高频率超过这个频率，则混叠现
象必然发生，该频率称为折叠频率，也称为
奈奎斯特（Ngquest）N表
频率，一般用ω
示。
情况二：
„若连续信号的频谱是无限带宽的，此时无论
怎样提高采样频率，频率混叠现象或多或少
都将发生。
2采样定理——香农（Shannon）定理
„若连续信号是有限带宽的，且它所含的频率分量的
最大值为
ωm，当采样频率
m，当采样频率
ω
s
≥
2
ω
m
原连续信号完全可以用其采样信号来表征，即采样
信号可以不失真地恢复原连续信号。
3假频现象
„当采样频率不满足采样定理时，采样信号就不可能
无失真地反映原连续信号的特性，如果采样间隔内
丢失的信息太多，采样的结果看起来就像一个低频
信号，即产生假频现象；
„一般地，幅值相同、频率分别为ω和nωs－ω
（或nωs＋ω）的低频信号与高频信号，以ωs采
样后，所得的采样信号的幅值将是一样的，即ω是nωs－ω和nωs＋ω的
假频。
4前置滤波器
„如不满足采样定理，一个高频信号采样后
将产生频率混叠；若对应的是高频干扰信
号，此时就无法滤除。
„在采样开关之前，加入一个低通滤波器
（即前置滤波），以滤除包括高频干扰在内所有高于/2的高频分量，避免发生频
ω
s
率混叠现象。
„前置滤波器指的是在ω
s/2处具有锐截止的低通滤波器，即一个理想的低通滤波器，
但这在物理上是难以实现的。
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