核心素养练高中数学必修2第二章同步练习与单元检测合集含答案.docx

核心素养练高中数学必修2第二章同步练习与单元检测合集含答案.docx

《核心素养练高中数学必修2第二章同步练习与单元检测合集含答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《核心素养练高中数学必修2第二章同步练习与单元检测合集含答案.docx（88页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

核心素养练高中数学必修2第二章同步练习与单元检测合集含答案

第二章　点、直线、平面之间的位置关系

§2Q1　空间点、直线、平面之间的位置关系

2Q1Q1　平　面

【课时目标】　掌握文字、符号、图形语言之间的转化，理解公理1、公理2、公理3，并能运用它们解决点共线、线共面、线共点等问题Q

1Q公理1：

如果一条直线上的________在一个平面内，那么________________在此平面内Q

符号：

________________________________Q

2Q公理2：

过________________________________的三点，________________一个平面Q

3Q公理3：

如果两个不重合的平面有________公共点，那么它们有且只有________过该点的公共直线Q

符号：

________________________________Q

4Q用符号语言表示下列语句：

（1）点A在平面α内但在平面β外：

______________Q

（2）直线l经过面α内一点A，α外一点B：

________________________Q

（3）直线l在面α内也在面β内：

____________Q

（4）平面α内的两条直线M、n相交于A：

________________________Q

一、选择题

1Q下列命题：

Q书桌面是平面；

②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚；

③有一个平面的长是50M，宽是20M；

④平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念Q

其中正确命题的个数为（　　）

AQ1BQ2CQ3DQ4

2Q若点M在直线b上，b在平面β内，则M、b、β之间的关系可记作（　　）

AQM∈b∈βBQM∈b⊂β

CQM⊂b⊂βDQM⊂b∈β

3Q已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有（　　）

AQ1条或2条BQ2条或3条

CQ1条或3条DQ1条或2条或3条

4Q已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是（　　）

AQA∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β

BQM∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN

CQA∈α，A∈β⇒α∩β＝A

DQA、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线⇒α、β重合

5Q空间中可以确定一个平面的条件是（　　）

AQ两条直线BQ一点和一直线

CQ一个三角形DQ三个点

6Q空间有四个点，如果其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面有（　　）

AQ2个或3个BQ4个或3个

CQ1个或3个DQ1个或4个

二、填空题

7Q把下列符号叙述所对应的图形（如图）的序号填在题后横线上Q

（1）A

α，a⊂α________Q

（2）α∩β＝a，PD/∈α且P

β________Q

（3）a⊄α，a∩α＝A________Q

（4）α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝Q________Q

8Q已知α∩β＝M，a⊂α，b⊂β，a∩b＝A，则直线M与A的位置关系用集合符号表示为________Q

9Q下列四个命题：

Q两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点；

②经过空间任意三点有且只有一个平面；

③过两平行直线有且只有一个平面；

④在空间两两相交的三条直线必共面Q

其中正确命题的序号是________Q

三、解答题

10Q如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由Q

11Q如图所示，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD（或延长线）分别与平面α相交于E，F，G，H，求证：

E，F，G，H必在同一直线上Q

能力提升

12Q空间中三个平面两两相交于三条直线，这三条直线两两不平行，证明此三条直线必相交于一点Q

13Q如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点Q，AC、BD交于点M，E为AB的中点，F为AA1的中点Q

求证：

（1）C1、Q、M三点共线；

（2）E、C、D1、F四点共面；

（3）CE、D1F、DA三线共点Q

1Q证明几点共线的方法：

先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点Q或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上Q

2Q证明点线共面的方法：

先由有关元素确定一个基本平面，再证其他的点（或线）在这个平面内；或先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然后证明这些平面重合Q注意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用Q

3Q证明几线共点的方法：

先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线Q

第二章　点、直线、平面之间的位置关系

§2Q1　空间点、直线、平面之间的位置关系

2Q1Q1　平　面

答案

知识梳理

1Q两点　这条直线　A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α

2Q不在一条直线上　有且只有

3Q一个　一条　P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l

4Q

（1）A∈α，A∉β　

（2）A∈α，B∉α且A∈l，B∈l　（3）l⊂α且l⊂β　（4）M⊂α，n⊂α且M∩n＝A

作业设计

1QA　[由平面的概念，它是平滑、无厚度、可无限延展的，可以判断命题④正确，其余的命题都不符合平面的概念，所以命题Q、②、③都不正确，故选AQ]

2QB　3QD

4QC　[∵A∈α，A∈β，

∴A∈α∩βQ

由公理可知α∩β为经过A的一条直线而不是AQ

故α∩β＝A的写法错误Q]

5QC

6QD　[四点共面时有1个平面，四点不共面时有4个平面Q]

7Q

（1）C　

（2）D　（3）A　（4）B

8QA∈M

解析　因为α∩β＝M，A∈a⊂α，所以A∈α，同理A∈β，故A在α与β的交线M上Q

9Q③

10Q解　很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上，由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示Q

∵E∈AC，AC⊂平面SAC，

∴E∈平面SACQ

同理，可证E∈平面SBDQ

∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连接SE，

直线SE是平面SBD和平面SAC的交线Q

11Q证明　因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面AC，AD∩α＝H，因为H∈平面AC，H∈α，由公理3可知，H必在平面AC与平面α的交线上Q同理F、G、E都在平面AC与平面α的交线上，因此E，F，G，H必在同一直线上Q

12Q证明　

∵l1⊂β，l2⊂β，l1

l2，

∴l1∩l2交于一点，记交点为PQ

∵P∈l1⊂β，P∈l2⊂γ，

∴P∈β∩γ＝l3，

∴l1，l2，l3交于一点Q

13Q证明　

（1）∵C1、Q、M∈平面BDC1，

又C1、Q、M∈平面A1ACC1，由公理3知，点C1、Q、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上，

∴C1、Q、M三点共线Q

（2）∵E，F分别是AB，A1A的中点，

∴EF∥A1BQ

∵A1B∥CD1，

∴EF∥CD1Q

∴E、C、D1、F四点共面Q

（3）由

（2）可知：

四点E、C、D1、F共面Q

又∵EF＝

A1BQ

∴D1F，CE为相交直线，记交点为PQ

则P∈D1F⊂平面ADD1A1，P∈CE⊂平面ADCBQ

∴P∈平面ADD1A1∩平面ADCB＝ADQ

∴CE、D1F、DA三线共点Q

2Q1Q2　空间中直线与直线之间的位置关系

【课时目标】　1Q会判断空间两直线的位置关系Q2Q理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角Q3Q能用公理4解决一些简单的相关问题Q

1Q空间两条直线的位置关系有且只有三种：

______________、________________、________________Q

2Q异面直线的定义

________________________________的两条直线叫做异面直线Q

3Q公理4：

平行于同一条直线的两条直线____________Q

4Q等角定理：

空间中如果两个角的两边分别对应________，那么这两个角________或________Q

5Q异面直线所成的角：

直线a，b是异面直线，经过空间任一点Q，作直线a′，b′，使________，________，我们把a′与b′所成的______________叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）Q

如果两条直线所成的角是________，那么我们就说这两条异面直线互相垂直，两条异面直线所成的角的取值范围是________Q

一、选择题

1Q分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（　　）

AQ异面BQ平行

CQ相交DQ以上都有可能

2Q若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是（　　）

AQ异面或平行BQ异面或相交

CQ异面DQ相交、平行或异面

3Q分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（　　）

AQ一定平行BQ一定相交

CQ一定异面DQ相交或异面

4Q空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是（　　）

AQ空间四边形BQ矩形

CQ菱形DQ正方形

5Q给出下列四个命题：

Q垂直于同一直线的两条直线互相平行；

②平行于同一直线的两直线平行；

③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；

④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线Q

其中假命题的个数是（　　）

AQ1BQ2CQ3DQ4

6Q如图所示，已知三棱锥A－BCD中，M、N分别为AB、CD的中点，则下列结论正确的是（　　）

AQMN≥

（AC＋BD）

BQMN≤

（AC＋BD）

CQMN＝

（AC＋BD）

DQMN<

（AC＋BD）

二、填空题

7Q空间两个角α、β，且α与β的两边对应平行且α＝60°，则β为________Q

8Q已知正方体ABCD—A′B′C′D′中：

（1）BC′与CD′所成的角为________；

（2）AD与BC′所成的角为________Q

9Q一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：

QAB⊥EF；

②AB与CM所成的角为60°；

③EF与MN是异面直线；

④MN∥CDQ

以上结论中正确结论的序号为________Q

三、解答题

10Q空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为30°，E、F分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小Q

11Q已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD、AD的中点Q

求证：

（1）四边形MNA1C1是梯形；

（2）∠DNM＝∠D1A1C1Q

能力提升

12Q如图所示，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________（填序号）Q

13Q正方体AC1中，E、F分别是面A1B1C1D1和AA1DD1的中心，则EF和CD所成的角是（　　）

AQ60°BQ45°CQ30°DQ90°

1Q判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义Q很多情况下，定义就是一种常用的判定方法Q另外，我们解决空间有关线线问题时，不要忘了我们生活中的模型，比如说教室就是一个长方体模型，里面的线线关系非常丰富，我们要好好地利用它，它是我们培养空间想象能力的好工具Q

2Q在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角Q将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径Q需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为（0°，90°]，解题时经常结合这一点去求异面直线所成的角的大小Q

作异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：

Q直接平移法（可利用图中已有的平行线）；②中位线平移法；③补形平移法（在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线）Q

2Q1Q2　空间中直线与直线之间的位置关系答案

知识梳理

1Q相交直线　平行直线　异面直线

2Q不同在任何一个平面内

3Q互相平行

4Q平行　相等　互补

5Qa′∥a　b′∥b　锐角（或直角）　直角　（0°，90°]

作业设计

1QD

2QD　[异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明a、b异面，直线c的位置可如图所示Q]

3QD

4QB　[

易证四边形EFGH为平行四边形Q

又∵E，F分别为AB，BC的中点，

∴EF∥AC，

又FG∥BD，

∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角Q

而AC与BD所成的角为90°，

∴∠EFG＝90°，

故四边形EFGH为矩形Q]

5QB　[Q④均为假命题QQ可举反例，如a、b、c三线两两垂直Q

④如图甲时，c、d与异面直线l1、l2交于四个点，此时c、d异面，一定不会平行；

当点A在直线a上运动（其余三点不动），会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c、d共面相交Q

]

6QD

　[如图所示，取BC的中点E，连接ME、NE，则ME＝

AC，

NE＝

BD，

所以ME＋NE＝

（AC＋BD）Q

在△MNE中，有ME＋NE>MN，

所以MN<

（AC＋BD）Q]

7Q60°或120°

8Q

（1）60°　

（2）45°

解析　

连接BA′，则BA′∥CD′，连接A′C′，则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角Q

由△A′BC′为正三角形，

知∠A′BC′＝60°，

由AD∥BC，知AD与BC′所成的角就是∠C′BCQ

易知∠C′BC＝45°Q

9QQ③

解析　把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有Q③正确Q

10Q解　取AC的中点G，

连接EG、FG，

则EG∥AB，GF∥CD，

且由AB＝CD知EG＝FG，

∴∠GEF（或它的补角）为EF与AB所成的角，∠EGF（或它的补角）为AB与CD所成的角Q

∵AB与CD所成的角为30°，

∴∠EGF＝30°或150°Q

由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°；

当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°Q

故EF与AB所成的角为15°或75°Q

11Q证明　

（1）如图，连接AC，

在△ACD中，

∵M、N分别是CD、AD的中点，

∴MN是三角形的中位线，

∴MN∥AC，MN＝

ACQ

由正方体的性质得：

AC∥A1C1，AC＝A1C1Q

∴MN∥A1C1，且MN＝

A1C1，即MN≠A1C1，

∴四边形MNA1C1是梯形Q

（2）由

（1）可知MN∥A1C1，又因为ND∥A1D1，

∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补Q

而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的锐角，

∴∠DNM＝∠D1A1C1Q

12Q②④

解析　Q中HG∥MNQ③中GM∥HN且GM≠HN，

∴HG、MN必相交Q

13QB　[

连接B1D1，则E为B1D1中点，

连接AB1，EF∥AB1，

又CD∥AB，∴∠B1AB为异面直线EF与CD所成的角，即∠B1AB＝45°Q]

2Q1Q3　空间中直线与平面之间的位置关系

2Q1Q4　平面与平面之间的位置关系

【课时目标】　1Q会对直线和平面的位置关系进行分类Q2Q会对平面和平面之间的位置关系进行分类Q3Q会用符号或图形把直线和平面、平面和平面的位置关系正确地表示出来Q

1Q一条直线a和一个平面α有且仅有________________________三种位置关系Q（用符号语言表示）

2Q两平面α与β有且仅有________和________两种位置关系（用符号语言表示）Q

一、选择题

1Q已知直线a∥平面α，直线b⊂α，则a与b的位置关系是（　　）

AQ相交BQ平行

CQ异面DQ平行或异面

2Q若有两条直线a，b，平面α满足a∥b，a∥α，则b与α的位置关系是（　　）

AQ相交BQb∥α

CQb⊂αDQb∥α或b⊂α

3Q若直线M不平行于平面α，且M⊄α，则下列结论成立的是（　　）

AQα内的所有直线与M异面

BQα内不存在与M平行的直线

CQα内存在唯一的直线与M平行

DQα内的直线与M都相交

4Q三个互不重合的平面把空间分成6部分时，它们的交线有（　　）

AQ1条BQ2条

CQ3条DQ1条或2条

5Q平面α∥β，且a⊂α，下列四个结论：

Qa和β内的所有直线平行；

②a和β内的无数条直线平行；

③a和β内的任何直线都不平行；

④a和β无公共点Q

其中正确的个数为（　　）

AQ0BQ1CQ2DQ3

6Q教室内有一根直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线与直尺所在的直线（　　）

AQ异面BQ相交CQ平行DQ垂直

二、填空题

7Q正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为AA1和BB1的中点，则该正方体的六个表面中与EF平行的有______个Q

8Q若a、b是两条异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是__________________Q

9Q三个不重合的平面，能把空间分成n部分，则n的所有可能值为______________Q

三、解答题

10Q指出图中的图形画法是否正确，如不正确，请改正Q

（1）如图，直线a在平面α内Q

（2）如图，直线a和平面α相交Q

（3）如图，直线a和平面α平行Q

11Q如图，平面α、β、γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b、a与β的关系并证明你的结论Q

能力提升

12Q若不在同一条直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且A、B、CD/∈α，则面ABC与面α的位置关系为__________Q

13Q正方体ABCD—A1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，判断过A、Q、B1三点的截面图形的形状Q

1Q解决本节问题首先要搞清直线与平面各种位置关系的特征，利用其定义作出判断，要有画图意识，并借助于空间想象能力进行细致的分析Q

在选择题中常用排除法解题Q

2Q正方体是一个特殊的图形，当点、线、面关系比较复杂时，可以寻找正方体作为载体，将它们置于其中，立体几何的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映Q因而人们给它以“百宝箱”之称Q

2Q1Q3　空间中直线与平面之间的位置关系

2Q1Q4　平面与平面之间的位置关系

答案

知识梳理

1Qa⊂α，a∩α＝A或a∥α

2Qα∥β　α∩β＝l

作业设计

1QD　2QD　3QB　4QD　5QC

6QD　[若尺子与地面相交，则C不正确；若尺子平行于地面，则B不正确；若尺子放在地面上，则A不正确Q所以选DQ]

7Q3　8Qb⊂α，b∥α或b与α相交　9Q4,6,7,8

10Q解　

（1）

（2）（3）的图形画法都不正确Q正确画法如下图：

（1）直线a在平面α内：

（2）直线a与平面α相交：

（3）直线a与平面α平行：

11Q解　由α∩γ＝a知a⊂α且a⊂γ，

由β∩γ＝b知b⊂β且b⊂γ，

∵α∥β，a⊂α，b⊂β，∴a、b无公共点Q

又∵a⊂γ且b⊂γ，∴a∥bQ

∵α∥β，∴α与β无公共点，

又a⊂α，∴a与β无公共点，∴a∥βQ

12Q平行或相交

13Q解　

图

（1）

由点Q在线段DD1上移动，当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，如图

（1）所示；

当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图

（2）所示；

图

（2）

当点Q不与点D，D1重合时，

截面图形为等腰梯形AQRB1，如图（3）所示Q

图（3）

§2Q2　直线、平面平行的判定及其性质

2Q2Q1　直线与平面平行的判定

【课时目标】　1Q理解直线与平面平行的判定定理的含义Q2Q会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用Q3Q能运用直线与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题Q

1Q直线与平面平行的定义：

直线与平面______公共点Q

2Q直线与平面平行的判定定理：

______________一条直线与________________的一条直线平行，则该直线与此平面平行Q用符号表示为____________________________Q

一、选择题

1Q以下说法（其中a，b表示直线，α表示平面）

Q若a∥b，b⊂α，则a∥α；

②若a∥α，b∥α，则a∥b；

③若a∥b，b∥α，则a∥α；

④若a∥α，b⊂α，则a∥bQ

其中正确说法的个数是（　　）

AQ0BQ1CQ2DQ3

2Q已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是（　　）

AQb∥αBQb与α相交

CQb⊂αDQb∥α或b与α相交

3Q如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是（　　）

AQ平行BQ相交

CQ平行或相交DQAB⊂α

4Q在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是（　　）

AQ平行BQ相交

CQ在内DQ不能确定

5Q过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面（　　）

AQ不存在BQ只能作出一个

CQ能作出无数个DQ以上都有可能

6Q过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有（　　）

AQ4条BQ6条CQ8条DQ12条

二、填空题

7Q经过直线外一点有________个平面与已知直线平行Q

8Q如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的面中：

（1）与直线AB平行的平面是________；

（2）与直线AA1平行的平面是______；

（3）与直线AD平行的平面是______Q

9Q在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过点A，E，C的平面的位置关系是______Q

三、解答题

10Q如图所示，在正方体ABCD—A1B1