江苏专用版高考数学大一轮复习第十二章概率随机变量及其分布125独立性及二项分布教师用书理苏教版.docx
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江苏专用版高考数学大一轮复习第十二章概率随机变量及其分布125独立性及二项分布教师用书理苏教版
第十二章概率、随机变量及其分布12.5独立性及二项分布教师用书理苏教版
1．条件概率及其性质
（1）对于两个事件A和B，在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率叫做条件概率，用符号P（A|B）来表示，其公式为P（A|B）＝
（P（B）>0）．
在古典概型中，若用n（B）表示事件B中基本事件的个数，则P（A|B）＝
.
（2）条件概率具有的性质
①0≤P（B|A）≤1；
②如果B和C是两个互斥事件，
则P（B∪C|A）＝P（B|A）＋P（C|A）．
2．相互独立事件
（1）设A，B为两个事件，若P（AB）＝P（A）P（B），则称事件A与事件B相互独立．
（2）若A与B相互独立，则P（B|A）＝P（B），
P（AB）＝P（A）P（B|A）＝P（A）P（B）．
（3）若A与B相互独立，则A与
，
与B，
与
也都相互独立．
（4）若P（AB）＝P（A）P（B），则A与B相互独立．
3．二项分布
（1）独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有__两__种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．
（2）在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P（X＝k）＝C
pk（1－p）n－k（k＝0,1,2，…，n），此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B（n，p），并称p为成功概率．
【思考辨析】
判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）
（1）条件概率一定不等于它的非条件概率．（ × ）
（2）相互独立事件就是互斥事件．（ × ）
（3）对于任意两个事件，公式P（AB）＝P（A）P（B）都成立．（ × ）
（4）二项分布是一个概率分布，其公式相当于（a＋b）n二项展开式的通项公式，其中a＝p，b＝1－p.（ × ）
（5）P（B|A）表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P（AB）表示事件A，B同时发生的概率．（ √ ）
1．袋中有3红5黑8个大小、形状相同的小球，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球的条件下，第二次仍是红球的概率为________．
答案
解析 第一次摸出红球，还剩2红5黑共7个小球，所以再摸到红球的概率为
.
2．（教材改编）小王通过英语听力测试的概率是
，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是______．
答案
解析 所求概率P＝C
·（
）1·（1－
）3－1＝
.
3．（2015·课标全国Ⅰ改编）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为________．
答案 0.648
解析 3次投篮投中2次的概率为
P（k＝2）＝C
×0.62×（1－0.6），
投中3次的概率为P（k＝3）＝0.63，
所以通过测试的概率为P（k＝2）＋P（k＝3）＝C
×0.62×（1－0.6）＋0.63＝0.648.
4．（2016·镇江模拟）口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，每次有放回地摸取一个球，定义数列{an}，an＝
如果Sn为数列{an}的前n项和，那么S7＝3的概率为________________．（用式子作答）
答案 C
×
2×
5
解析 由S7＝3知，在前7次摸球中有2次摸取红球，5次摸取白球，而每次摸取红球的概率为
，摸取白球的概率为
，则S7＝3的概率为C
×
2×
5.
5．（教材改编）国庆节放假，甲去北京旅游的概率为
，乙去北京旅游的概率为
，假定二人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________．
答案
解析 记在国庆期间“甲去北京旅游”为事件A，“乙去北京旅游”为事件B，又P（
）＝P（
）·P（
）＝[1－P（A）][1－P（B）]＝（1－
）（1－
）＝
，
“甲、乙二人至少有一人去北京旅游”的对立事件为“甲、乙二人都不去北京旅游”，故所求概率为1－P（
）＝1－
＝
.
题型一 条件概率
例1
（1）从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A为“取到的2个数之和为偶数”，事件B为“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）＝________.
（2）如图所示，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一粒豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则P（B|A）＝________.
答案
（1）
（2）
解析
（1）P（A）＝
＝
，P（AB）＝
＝
，
P（B|A）＝
＝
.
（2）AB表示事件“豆子落在△OEH内”，
P（B|A）＝
＝
＝
.
引申探究
1．若将本例
（1）中的事件B：
“取到的2个数均为偶数”改为“取到的2个数均为奇数”，则结果如何？
解 P（A）＝
＝
，
P（B）＝
＝
，又A⊇B，则P（AB）＝P（B）＝
，
所以P（B|A）＝
＝
＝
.
2．在本例
（2）的条件下，求P（A|B）．
解 由题意知，∠EOH＝90°，故P（B）＝
，
又∵P（AB）＝
＝
＝
，
∴P（A|B）＝
＝
＝
.
思维升华 条件概率的求法
（1）定义法：
先求P（A）和P（AB），再由P（B|A）＝
求P（B|A）．
（2）基本事件法：
借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n（A），再求事件AB所包含的基本事件数n（AB），得P（B|A）＝
.
（2016·无锡模拟）已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为________．
答案
解析 方法一 设事件A为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B为“第2次抽到的是卡口灯泡”，则P（A）＝
，P（AB）＝
×
＝
，则所求概率为P（B|A）＝
＝
＝
.
方法二 第1次抽到螺口灯泡后还剩余9只灯泡，其中有7只卡口灯泡，故第2次抽到卡口灯泡的概率为
＝
.
题型二 相互独立事件的概率
例2 设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：
T（分钟）
25
30
35
40
频数（次）
20
30
40
10
（1）求T的概率分布；
（2）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．
解
（1）由统计结果可得T的频率分布为
T（分钟）
25
30
35
40
频率
0.2
0.3
0.4
0.1
以频率估计概率得T的概率分布为
T
25
30
35
40
P
0.2
0.3
0.4
0.1
（2）设T1，T2分别表示往、返所需时间，T1，T2的取值相互独立，且与T的概率分布相同，
设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”．
方法一 P（A）＝P（T1＋T2≤70）＝P（T1＝25，T2≤45）＋P（T1＝30，T2≤40）＋P（T1＝35，T2≤35）＋P（T1＝40，T2≤30）＝0.2×1＋0.3×1＋0.4×0.9＋0.1×0.5＝0.91.
方法二 P（
）＝P（T1＋T2＞70）＝P（T1＝35，T2＝40）＋P（T1＝40，T2＝35）＋P（T1＝40，T2＝40）
＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.1×0.1＝0.09，
故P（A）＝1－P（
）＝0.91.
思维升华 求相互独立事件同时发生的概率的方法
（1）首先判断几个事件的发生是否相互独立．
（2）求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有：
①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；
②正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
（2016·宿迁模拟）为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度．不超过22千米的地铁票价如下表：
乘坐里程x（单位：
km）
0612票价（单位：
元）
3
4
5
现有甲、乙两位乘客，他们乘坐的里程都不超过22千米．已知甲、乙乘车不超过6千米的概率分别为
，
，甲、乙乘车超过6千米且不超过12千米的概率分别为
，
.
（1）求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；
（2）设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量ξ，求ξ的概率分布．
解
（1）由题意可知，甲、乙乘车超过12千米且不超过22千米的概率分别为
，
，
则甲、乙两人所付乘车费用相同的概率
P1＝
×
＋
×
＋
×
＝
，
所以甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率P＝1－P1＝1－
＝
.
（2）由题意可知，ξ＝6,7,8,9,10，
则P（ξ＝6）＝
×
＝
，
P（ξ＝7）＝
×
＋
×
＝
，
P（ξ＝8）＝
×
＋
×
＋
×
＝
，
P（ξ＝9）＝
×
＋
×
＝
，
P（ξ＝10）＝
×
＝
.
所以ξ的概率分布为
ξ
6
7
8
9
10
P
题型三 独立重复试验与二项分布
命题点1 根据独立重复试验求概率
例3 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是
外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是
.假设各局比赛结果相互独立．
（1）分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；
（2）若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分．求乙队得分X的概率分布．
解
（1）设“甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利”分别为事件A，B，C，则P（A）＝
×
×
＝
，
P（B）＝C
2×
×
＝
，
P（C）＝C
2×
2×
＝
.
（2）X的可能取值为0,1,2,3，
则P（X＝0）＝P（A）＋P（B）＝
，
P（X＝1）＝P（C）＝
，
P（X＝2）＝C
×
2×
2×
＝
，
P（X＝3）＝
3＋C
2×
×
＝
.
故X的概率分布为
X
0
1
2
3
P
命题点2 根据独立重复试验求二项分布
例4 一款击鼓小游戏的规则如下：
每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得－200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为
，且各次击鼓出现音乐相互独立．
（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的概率分布；
（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
解
（1）X可能的取值为10,20,100，－200.
根据题意，有
P（X＝10）＝C
×
1×
2＝
，
P（X＝20）＝C
×
2×
1＝
，
P（X＝100）＝C
×
3×
0＝
，
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