小学数学教学中的名词解释小数.docx

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小学数学教学中的名词解释小数

小学数学教学中的名词解释及教学建议（小数）

[小数]

　　人们为了应用上的方便，把十进分数改写成不带分母的形式，并且按照十进制的位值原则，把个位右边的第1位、第2位、第3位、……

　　像3.24这样的不带分母、按照十进制的位值原则写出来的十进分数，叫做十进小数，简称小数.记号“.”叫做小数点，它是整数部分与小数部分的分界标记.整数部分是零的小数叫做纯小数，纯小数比1小；整数部分不是零的小数叫做带小数或混小数，带小数比1大.由十进分数改写成的小数，小数部分的位数都是有限的，所以亦称有限小数.在小学阶段，还要遇到小数部分的位数是无限多的小数，叫做无限小数.无限小数包括无限循环小数（见[循环小数]）和无限不循环小数.无限循环小数可由不能化成十进分数的分数改写而得，而无限不循环小数不能由分数改写得到，它是无理数的一种表现形式，如圆周率π的小数形式是

数，都不能改写成分数.　这样，小数就包括有限小数与无限小数两种情况.

　　认识小数应在认识分数之后.目前小学里一般把小数的认识分为两个阶段：

第一阶段通过认识货币、商品标价，让学生对小数有个初步的认识，不概括十进分数的意义.第二阶段由十进复名数借助直观教具进行抽象概括，使学生认识小数的本质是十进分数.

　　教学时，应讲清小数部分数位的意义，帮助学生把数位顺序

整数和小数数位顺序表

　　表从整数扩展到小数，并找出它们的异同之处.可以向学生指出，整数部分每远离小数点一位，数位的位置值就相应扩大十倍，而小数部分正相反，每远离小数点一位，数位的位置值就缩小十倍.通过练习，让学生熟记数位顺序表，并理解每一数位的位置值.

[小数点]　　见[小数]

[十进小数]　　见[小数]

[纯小数]　　见[小数]

[带小数]　　见[小数]

[混小数]　　见[小数]

[有限小数]　　见[小数]

[无限小数]　　见[小数]

[小数的读法]

（1）小数读法：

整数部分按照整数的读法来读（整数部分是0的读作零），小数点读作“点”，小数部分按照从左到右的顺序读出每个数位上的数字，中间的“0”要全部读出来.例如，2.48读作二点四八；503.0032读作五百零三点零零三二.

　　小学生由于受到整数读法的思维定势，往往把2.48读成二点四十八，要注意纠正.

（2）分数读法：

分数读法是把小数当作分数来读.例如，0.72读作百分之七十二；0.865读作千分之八百六十五，这种读法有助于理解小数的意义，但考虑到此时学生对分数还只是初步的认识，这样读难度较大，一般应不作要求.可通过小数与分数的改写来让学生有所了解.

[小数的写法]

　　整数部分按照整数的写法来写（整数部分是零的写作“0”），小数点写在个位右下角，小数部分顺次写出每一个数位上的数字.

　　教学时，要注意引导学生比较整数和小数写法的异同，应向学生指出：

写数时小数点应写在整数部分的右下角，不可“居中”，免得与乘号“·”相混，也不可写成“，”，与整数写数中的分节号相混.

[小数的位数]

　　一个数的小数部分在几个数位上有数字，就叫做几位小数.如：

43.085、0.007都是三位小数，781.3、0.2都是一位小数.

　　小数的位数的概念，在学习小数计算（尤其是乘法）和取小数的近似值时经常要用到.教学时，要让学生把数位、数位名称、数位上的数和位数区分开来，随时纠正学生口头叙述时出现的错误.要注意区分“两位数”与“两位小数”，让学生知道小数的位数只与小数部分有几位相关，而与整数部分无关

[几位小数]　　见[小数的位数]

[小数的性质]

　　小数的末尾添上或去掉零，小数的大小不变，这叫做小数的性质.小数的性质是小数四则运算的基础.应用小数的性质，可把小数化简，亦可在小数部分的末尾添零，从而增加小数的位数.这样，整数就可看作小数部分是0的小数.如“3”可写成3.0、3.00、3.000等.还可通过对比练习使学生知道，在整数末尾添上（或去掉）一个零，数就要扩大（或缩小）10倍，而在小数末尾添零，只是形式上小数的位数起了变化，小数的值不变.

　　小数的性质，通常是通过把十进复名数，根据单位变化的要求改写成小数的例子来引入的.如教师出示3、30、300三个数，要学生添上单位名称，使这三个名数所表示的量相等.经讨论得出：

3分米=30厘米=300毫米.然后教师又提出把这三个数量改用同一个单位“米”来表示.于是又得出：

　　0.3米=0.30米=0.300米.

　　再要求使小数的位数一样多…….在学生的积极思维中，导出小数性质.

　　教学中，要防止学生把“小数末尾”说成是“小数点后面”或“小数后面”的错误.

[小数的大小比较]

　　比较两个小数的大小，先看它们的整数部分，整数部分大的那个数较大；整数部分相同时，十分位上的数大的那个数较大；十分位上的数也相同，则百分位上的数大的那个数较大，……

　　小数的大小比较方法和整数的大小比较在原则上是完全一样的，即最高位上的数大的那个数较大；最高位上的数相同，则次高位上的数大的那个数较大，……若所有数位上的数都相同，则两数相等，但在整数中，位数多的数一定较大，而在小数中，却不一定如此，如三位小数0.179就比两位小数0.32小.

　　小数大小的比较仍可联系复名数进行教学.

　　练习组织：

（1）比较整数部分不同的带小数.

（2）比较整数部分相同而十分位上的数不同的带小数.（3）比较整数部分和十分位上的数都相同，百分位上的数不同的带小数.（4）比较整数部分为零，小数部分位数不等的纯小数.（5）比较一组数的大小（可包括整数、分数、小数的综合练习）.

[小数的扩大和缩小]

　　把一个小数扩大（缩小）10倍、100倍、1000倍、……只要把小数点向右（左）移动一位、两位、三位、……就行.数位不够时，用“0”来补足.这一规律实际上是小数的另一条性质，通常叫小数点移动规律.

　　教学时，可多用学生熟知的长度单位化聚的实例，如要学生填充：

　　0.004米=（）毫米，

　　0.04米=（）毫米，

　　0.4米=（）毫米，

　　4米=（）毫米.

　　在填空前先让学生考虑；

（1）第二行是把第一行的小数点向右移动了几位？

（2）小数点移动后，数字4由千分位移到哪一位？

这样，千分之4米变成了多少米？

等等.填空后归纳出小数点移动引起数值变化的规律.还应把小数点移动、数的扩大（缩小）与乘以（除以）10、100、1000……联系起来，使学生加深理解.

　　教学中要注意“0”的处理：

（1）整数部分是“0”的小数，小数点向右移动后，整数左首的“0”必须去掉.

（2）小数点向右移动后原小数变成整数，如果小数部分的位数不够，要在右边添“0”补足.（3）小数点向左移动时，如果整数部分的位数不够，则要在左边用“0”补足，点上小数点后，在小数点左边还要再写一个“0”，表示整数部分是零，如把4.3的小数点向左移三位，得0.0043.

　　练习组织：

（1）可用“划箭头”的方法帮助理解.如把4.3的小数点左移三位，可先板书为43再添“0”得0.0043.

（2）加强口头训练.（3）可出一组数，其中既有小数点移动位置的情况，又有小数点没有移动只是在末尾添零去零的情况，让学生判别这些数的大小变化，加深对小数性质的理解.如：

　　在□里填上“＞”、“＜”或“=”号.

　　0.970□0.0970.430□0.43

　　0.85×10□0.085×1000.125×10□1.25÷10

　　3.875×100□38.75÷101000×4.2□42×100

[小数和复名数]

　　由于小数是十进分数的一种表示形式，所以凡是进率是10、100、1000的复名数，如3米40厘米可改写成以米为单位的单名数是3.4米，单名数2.45吨改写成复名数是2吨450千克.

　　现行小学数学教学大纲中已没有复名数四则计算的内容，遇到复名数的计算，改写成单名数进行计算.这样，学习十进复名数与小数的相互改写是十分必要的.也有助于学生加深对小数实际意义的理解.这一内容需要综合运用计量单位、进率和小数的性质、小数点移动规律等知识，所以是学生学习的难点.一般可分下面四种情况进行教学：

（1）高级单位单名数化成低级单位单名数，如0.54米=54厘米.方法：

用进率100乘.

（2）低级单位单名数聚成高级单位单名数，如4厘米=0.04米.方法：

用进率100去除.

　　（3）复名数改写成单名数.如3米4厘米=3.04米.

　　（4）单名数改写成复名数.如1.05米=1米5厘米.

　　教学时，注意把“数”、“单位名称”和“名数”三者区分开来，并指出改写时：

（1）先要判断是由高级单位化成低级单位，还是由低级单位聚成高级单位，从而决定用进率去乘还是去除.

（2）确定原来的单位和要改写的单位间的进率是多少.（3）根据乘除确定小数点应向什么方向移动，并根据进率确定小数点要移动几位.

[小数加减法]

　　小数相加减时，先把各数的小数点对齐（也就是把相同数位上的数对齐），再按照整数加减法的法则进行计算，最后在得数里点上小数点，使它与横线上的小数点对齐.

　　小数加减法和整数加减法一样，都是把相同数位上的数分别相加减.但在整数时，相同数位上的数对齐表现为末位（个位）对齐，而在小数时，则表现为小数点对齐，因而整数加减的对位知识会对小数加减的对位产生负迁移.在整数时，所得的和或差的末尾的“0”不能去掉，而在小数时，则需要将和或差的末尾的“0”去掉，这也是容易疏忽的地方.不过，这个末尾的“0”不划去也不能评为错误，正如分数没有约简一样，只能说是不符合要求，因为它的数值大小没有变.

　　整数加法的交换律、结合律以及加减法的运算性质，对小数加减法仍然适用.

　　教学时，要注意讲明算理.在选编例题与练习题时，要从小数位数相同的加减法开始，及时过渡到小数位数不相同的加减法.对于后者，开始时可用末尾添“0”的办法，把位数不等的小数变成位数相等的小数.对于整数与小数相加、减，尤其是整数减小数，学生容易算错.可引导学生把整数看作是小数部分为任意个零的小数.

　　组织练习，除了小数加、减法各种情况的基本题，还可以设计有针对性的习题.例如：

（1）找出下面有错误的题目，并说一说错误的原因.

（2）用简便方法运算.

　　1.75+0.34+0.25+0.66，

　　4.76-2.8-1.2，

　　5.98-4.5+6.02.

[小数乘法]

　　小数乘法的意义跟分数乘法的意义相同，当乘数是整数时，表示几个相同的数连加，当乘数是小数时，表示求一个数的十分之几、百分之几、……是多少.由于小学里大多把小数的系统知识放在分数的系统知识之前教学，还不能用分数乘法的意义解释小数乘法的意义.但是，小数乘法的计算方法与整数乘法相同，所以小数乘法可以安排在整数后进行教学.关于小数乘法的意义，在学习分数乘法后再作进一步的理解.

　　小数乘法一般按如下三个层次进行教学：

（1）小数乘以整数，

（2）整数乘以小数，（3）小数乘以小数及乘法的运算定律在小数乘法中的运用.教学中还要介绍截取积的近似值的方法.

[小数乘以整数]

　　小数乘以整数的意义与整数乘法相同.计算时，先按整数乘法的法则算出积，再看被乘数有几位小数，积就有几位小数.教学时可以先用同数连加得出计算结果，如

　　1.2×4=1.2+1.2+1.2+1.2=4.8，

　　然后用积的变化规律来说明计算方法，得出：

被乘数有几位小数，积就有几位小数.

　　还可以让学生练习被乘数是小数、乘数是多位数的乘法，使学生加深理解.

　　在学习小数加减法时，强调了小数点对齐.在此则要指出乘法竖式中要把最右边的数字对齐.在学生掌握了“先按整数乘法的法则算”的含义后，对此就较易理解.教学中还要注意培养“先想好积有几位小数，再动手计算”的习惯.当乘积末尾有0时，要强调先点上积的小数点，再去掉小数部分末尾的0.事实上，不先点上小数点，积还不是一个小数，因此就不能用小数基本性质去掉末尾的0.

　　练习时，着重训练根据被乘数的小数位数，确定积的小数点的位置.如：

（1）说出下面各题的积是几位小数.

　　0.32×7，2.043×35，50.08×4，7.7×7.

（2）根据23×15=345，说出下面各题的积.

　　2.3×15，0.23×15，0.023×15.

　　（3）口算.4.2×2，0.23×3，0.007×6等.

[一个数乘以小数]

　　一个数乘以小数时，先按整数乘法的法则算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点.当积的小数位数不够时，要在前面补0占位，再点上小数点.当积的末尾有0时，点上小数点后，再把小数部分末尾的0划去.

　　一个数乘以小数的意义已不同于整数乘法.教学时可从学生熟知的数量关系中，用类比法导入乘数是小数的乘法.如：

“……每千克价24元，买2千克应付几元？

买0.5千克呢？

买0.1千克呢？

”学生由“总价=单价×数量”可解决列式问题.然后再比较求得的积与被乘数的大小，让学生初步了解用乘法不仅可以求24的二倍是多少，还可以求24的一半是多少，24的十分之一是多少.所以，乘数是纯小数时，积比被乘数小；乘数是带小数时，乘得的积比被乘数大.

　　教学时，一般先讲整数乘以小数，再讲小数乘以小数.讲小数乘以小数的计算方法时，可让学生思考：

“把被乘数和乘数都变成整数，分别要扩大多少倍？

这样乘积同原来两个小数的积相比扩大了多少倍？

要得到原来的积，该怎么办？

”然后比较被乘数、乘数和积的小数位数，归纳出小数乘法的法则.

　　学生在学习时，往往认为被乘数扩大100倍，乘数扩大10倍，一共扩大了110倍，可以用如下的方法进行分析：

　　整数乘法的交换律、结合律、分配律在小数乘法里同样适用，可使一些计算简便.

　　练习组织：

（1）下面各题的积最小的是（）

　　a.36×0.24b.3.6×0.24c.0.036×240

（2）在下面空格里填上适当的数.

　　257×（）＜257，（）×0.8＞0.8.

　　3.口算：

8×0.125，4×0.25，2×0.05，2.5×0.4，0.8×12.5，……等，并要求学生在理解的基础上熟记.

　　（4）用简便方法运算.①2.5×0.7×0.8×4×12.5，②31.5×0.2+0.8×31.5等.

[小数除法]

　　小数除法的教学以计算方法为主要内容，一般分三种情况讨论：

（1）小数除以整数，

（2）整数除以整数，商是小数，（3）一个数除以小数.小数除法是以整数除法中被除数和除数同时扩大相同的倍数商不变的性质和小数点位置移动的规律为基础的.小数除法在计算步骤和试商方法上与整数除法基本相同，所不同的是小数点的处理问题，所以教学中，既要重视复习和运用整数除法的知识，又要突出计算中的新特点，在除法计算中，当除不尽时就出现商是无限循环小数的情况.因此无限循环小数的认识也是小数除法教学中的一个重要内容.此外，还要介绍商的近似值截取法.

[除数是整数的小数除法]

　　除数是整数的小数除法在意义上与整数除法相同.计算法则是：

按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐，如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0，再继续除.

　　教学时，先出被除数是小数，后出被除数是整数而商是小数的除法.从商的情况看，先出商是带小数的，后出商是纯小数的，因为商是纯小数时，要先写0再点小数点，对此，学生不易理解.教学时，还要注意讲清每一次除得的余数的意义，让学生理解商的小数点要与被除数的小数点对齐的道理.

　　例如，21.45÷15=1.43，着重讨论商1后，余6，再和十分位上的4合在一起，一共是64个十分之一.所以，15除64个十分之一，商是4个十分之一，要写在十分位上，从而引出商的小数点的位置，在商的个位和十分位之间，也就是和被除数的小数点对齐.然后继续这样分析演算下去，得商1.43.

　　在整数除法里，如果除到被除数的末尾仍有余数，就不能再除，作为有余数的除法处理.而在小数除法里可以在余数后面添0，再继续除，这与学生的原有认识不一致，所以是学习的难点.

　　组织练习时，可按下表排列的情况配备题目：

[除数是小数的除法]

　　一个数除以小数时，先右移除数的小数点使它变成整数，再把被除数的小数点右移同样的位数（位数不够时补“0”），然后按照除数是整数的除法进行计算.其依据是，除数和被除数扩大同样的倍数，商不变.

　　这一内容是小数除法教学中的难点.教学时，先复习“商不变”的规律，然后由应用题引出除数的小数位数小于（或等于）被除数的小数位数的实例，如10.25÷12.5，引导学生将除数的小数点右移一位，使它变成整数，然后因为要使商不变.所以被除数的小数点也要右移一位.这样就变成：

102.5÷125.通过适当练习后，再引导学生做除数的小数位数大于被除数的小数位数的题目，说明在位数不够时要在被除数末尾补“0”.在得出计算法则后，应向学生指出：

小数点移动的位数取决于除数的小数位数，而不是根据被除数的小数位数.

　　练习组织：

（1）专门训练将除数是小数的除法化成除数是整数的除法（只移动小数点）.如：

　　4.76÷2.8=□÷28（填方框），

等.

（2）求商.（3）口算.如：

1.6÷0.4，0.16÷0.4，0.16÷0.04，16÷0.004等.

　　此外，要注意小数除法里余数的数值.如使学生认识下式余下的“68”是0.68，而不是68.

　　说明的途径有：

（1）55.28由5528个0.01组成，余下的是68个0.01，即0.68.

（2）添上单位名称.如：

　　55.28元÷7.8元→552.8角÷78角，

　　余数是6.8角.即0.68元.（3）根据“被除数=商×除数+余数”来验证.

[循环小数]

　　一个数的小数部分，如果从某一位起，一个或几个数字依次不断地重复出现，这样的数就叫做循环小数.循环小数是无限小数，它的位数是无限的，所以，也叫做无限循环小数.循环小数的小数部分中，依次不断重复出现的数字，叫做它的一个循环节.如“3”是2.333……的一个循环节；“432”是0.1432432……的一个循环节.循环小数的简便写法是：

只写出它的不循环部分和第一个循环节，并在这个循环节的首、末两个数字上面各记一个圆点.循环节只有一个数字，就只在其上记一圆点.如：

　　（读作：

零点一四三二，四三二循环）.

　　小学教材里，循环小数常常安排在小数除法部分.教学时，先让学生从“永远除不尽”的计算实践中（如2÷3、25÷22等），认识到商的位数是无限的，随后要求学生观察循环小数的小数部分，得出纯循环小数和混循环小数的概念.应帮助学生正确地判定循环节，指出只看商的小数部分.例如：

2.142142……的循环节是“142”.在认识循环小数的基础上，再让学生学习循环小数的简便写法和读法，并进而学习取循环小数的近似值的方法。

要培养学生正确地使用“=”和“≈”.如：

　　25÷22=1.136≈1.14（精确到0.01）。

　　为了帮助学生加深对循环小数的理解，可组织一组包括有限小数、循环小数等数的大小比较.

　　一个最简分数，如果分母中只含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的小数必是纯循环小数；如果分母既含有质因数2、5，又含有2和5以外的质因数，那么这个分数所化成的小数必是混循环小数.

　　化循环小数为分数，可运用无穷递缩等比数列的求和公式.设有一无穷递缩等比数列：

a1，a1q，a1q2，……（公比|q|＜1），各项和为

　　S=a1+a1q+a1q2……，

（1）

　　两边同乘以q，得

　　Sq=a1q+a1q2+……，

（2）

（1）-

（2），得s（1-q）=a1，

　　把循环小数写成无穷递缩等比数列各项和的形式，如纯循环小数

　　利用无穷递缩等比数列的求和公式（3），就得

　　又如混循环小数

　　利用无穷递缩等比数列的求和公式（3），就得

　　还可以用下面的方法化循环小数为分数，如：

　　由上面可以看出：

（1）纯循环小数化分数.分子是一个循环节的数字所组成的数；分母各位数字都是9，9的个数与循环节中数字的个数相同.

（2）混循环小数化分数.分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节末的数字所组成的数减去不循环数字所组成的数的差；分母的头几位上的数字是9，末几位上的数字是0，9的个数与循环节中的数字的个数相同，0的个数和不循环部分的数字的个数相同.

　　在小学里一般不讲循环小数化分数的内容.

　　在教学中要注意以下几点：

（1）循环小数取循环节，可以取成纯循环小数，也可以取成混循环小数，其大小不变.如，

　　对于小学生来说，不讲循环小数化分数.类似0.47474……既可以表示为

哪个大？

”这类题.（3）圆周率（π）是一个无限不循环小数（即无理数），如果学生尚未学过圆的知识，也不必介绍，待教学圆的知识时再介绍.

[循环节]　　见[循环小数]

[纯循环小数]　　见[循环小数]

[混循环小数]　　见[循环小数]

[循环点]

　　循环节数字顶上的圆点，也叫做循环点.

[循环周期]

一个循环小数的循环节，也叫做这个循环小数的循环周期.

[无限循环小数]　　见[循环小数]

[无限不循环小数]

　　一个无限小数，从小数部分起各位数字的排列，没有一定的规律，这样的无限小数，叫做无限不循环小数.例如，圆周率π的小数形式是3.14159265……，它是无限不循环小数.无限不循环小数是无理数的一种表现形式.

[分数和小数的互化]

　　分、小数互化的教学常安排在认识分数的意义和性质之后.

　　一般分两种情况讨论：

（1）有限小数化分数；

（2）分数化小数.

　　分数化小数又分为十进分数化小数和非十进分数化小数两种情况.十进分数化小数，其结果是有限小数；非十进分数化小数，其结果又有两种情况：

有限小数或循环小数.

[有限小数化分数]

　　根据小数的意义，可以直接写成分母是10、100、1000、……的分数.教学时，要注意引导学生观察分母末尾零的个数与原来小数的位数的联系，从而得出一般方法：

把去掉小数点得到的数作分子，以1后面带若干个0的数为分母，0的个数等于原小数的位数.最后还要强调，能约分的要约分.对于带小数化分数，只要把小数部分化成分数，整数部分不变.如

[分数化小数]

　　一般方法是用分子除以分母.结果有除尽和除不尽两种可能，应要求学生掌握判别的方法.可分三种情况进行教学：

（1）分母是10、100、1000……的分数，可以直接写成小数.但要注

生容易出错，应使学生懂得分子37是千分之三十七，改写成小数时，十分位上没有数就补0。

（2）运用分数的基本性质，能够把分母变成10、100、1000、……

数的方法想到把分数化成分母是10、100、1000……然后直接改写成小数；也可以根据分数与除法的关系，想到用分子除以分母.如：

　　（3）分数不能化成有限小数，既可以用循环小数表示，也可以按精确

　　教学时，可列举几个最简分数，将这些分数的分母分别分解质因数，然后按只含有质因数2和5的，和含有2和5以外的质因数的两种情况进行分类，再让学生运用分子除以分母的方法进行计算.从而发现一个最简分数如果分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数.要强调

　　组织练习，应指导学生先判断是不是最简分数，再看分母的质因数.①选择题.下列分数中能化成有限小数的是（）.

　　（）；能化成循环小数的是（）.

　　应要求学生熟记一些常用的分、小数互化的数据.如

　　并能灵活运用.

[循环小数化分数]