B．当k>0时，y随x的增大而减小
C．当k<1时，函数图象一定交于y轴的负半轴
D．函数图象一定经过点（-1,-2）
2.对任意实数k，直线y=kx+（2k+1）恒过一定点，该定点的坐标
是．
3.直线y=kx+b经过点（2，﹣4），且当3≤x≤6时，y的最大值为8
则k+b的值为．
4.两个一次函数y=ax+b与y=bx+a在同一坐标系中的图象大致是（）
5.如图，函数y=mx﹣4m（m是常数，且m≠0）的图象分别交x轴
y轴于点M、N，线段MN上两点A、B（点B在点A的右侧），作AA1
⊥x轴，BB1⊥x轴，且垂足分别为A1，B1，若OA1+OB1＞4，则△OA1A
的面积S1与△OB1B的面积S2的大小关系是（）
A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．不确定的
6.已知直线y=-
nx+
n+1
1
n+1
（n为正整数）与坐标轴围成的三角形的
面积为Sn，则S1+S2+S3+…+S2019=．
7．如图，在平面直角坐标系中，函数y=﹣2x+12的图象分别交x轴
y轴于A、B两点，过点A的直线交y正半轴于点M，且点M为线段OB的中点．
（1）求直线AM的函数解析式．
（2）试在直线AM上找一点P，使得S△ABP=S△AOM，请直接写出点P
的坐标．
8.点C在直线AM上，在坐标平面内是否存在点D，使以A、O、
C、D为顶点的四边形是正方形？
若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
专题二：
重要公式和结论
1.直线y=kx+b过点（x1，y1），（x2，y2），若x1﹣x2=1，y1﹣y2=﹣2，则k的值为．
2.含45°角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，其中A（﹣2
0），B（0，1），则直线BC的解析式为．
3.如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，且
A（4，0）、B（6，2）、M（4，3）．在平面内有一条过点M的直线将平行四边形OABC的面积分成相等的两部分，请写出该直线的函数表达式．
4．如图，点A的坐标为（﹣2，0），点B在直线上运动，当
点B的坐标是时，线段AB最短，最短距离为.
5．如图，点A、B的坐标分别为（0，2），（3，4），点P为x轴上的
一点，若点B关于直线AP的对称点B′恰好落在x轴上，则点P的坐标为．
6.对于坐标系中的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），我们把|x1﹣
x2|+|y1﹣y2|叫做P1、P2两点间的“转角距离”，记作d（P1，P1）．
（1）令P0（3，﹣4），O为坐标原点，则d（O，P0）=；
（2）已知O为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P）=2，请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中，画出所有符合条件的点P所组成的图形；
7.设P0（x0，y0）是一个定点，Q（x，y）是直线y=ax+b上的动
点，我们把d（P0，Q）的最小值叫做P0到直线y=ax+b的“转角距离”．若
P（a，﹣2）到直线y=x+4的“转角距离”为10，求a的值．
专题三：
直线与x轴正方向夹角和k的关系
1.已知：
一次函数
的图象如图所示，则k=．
2.如图，已知A点坐标为（5，0），直线y=kx+b（b＞0）与y轴交于
点B，∠BCA=60°，连接AB，∠α=105°，则直线y=kx+b的表达式为．
3.如图，点A的坐标为（﹣2
，0），点B在直线y=x上运动，当线
段AB长最短时点B的坐标为．
4.如图，在平面直角坐标系中，直线l：
y=
3x，直线l2：
y=
3
3x，在
直线l1上取一点B，使OB=1，以点B为对称中心，作点O的对称点
B1，过点B1作B1A1∥l2，交x轴于点A1，作B1C1∥x轴，交直线l2于点C1，得到四边形OA1B1C1；再以点B1为对称中心，作O点的对称点B2，过点B2作B2A2∥l2，交x轴于点A2，作B2C2∥x轴，交直线l2于点C2，得到四边形OA2B2C2；…；按此规律作下去，则四边形OAnBnCn的面积是．
5.已知，直线
x+
与x轴，y轴分别交于点A，B，以线段AB
为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，且点P（1，a
为坐标系中的一个动点．
（1）则三角形ABC的面积S△ABC=；点C的坐标为；
（2）证明不论a取任何实数，△BOP的面积是一个常数；
（3）要使得△ABC和△ABP的面积相等，求实数a的值．
6.如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点，
点A的坐标为（1，0）∠ABO=30°，过点B的直线y=x+m与x轴
交于点C．
（1）求直线l的解析式及点C的坐标．
7.点D在x轴上从点C向点A以每秒1个单位长的速度运动（0
＜t＜4），过点D分别作DE∥AB，DF∥BC，交BC、AB于点E、F，连接EF，点G为EF的中点．
①判断四边形DEBF的形状并证明；②求出t为何值时线段DG的长最短．
8.点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、
P、Q为顶点的四边形是菱形？
若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，说明理由．
第五讲《一次函数》
培优资料
（2）
2019.6.1
专题四：
一次函数与几何变换
1.
（1）直线
y=2x+1
向下平移3个单位后的解析式
是.
（2）直线
y=2x+1
向右平移3个单位后的解析式
是.
2.如图，已知点C为直线y=x上在第一象限内一点，直线y=2x+1交y
轴于点A，交x轴于B，将直线AB沿射线OC方向平移32个单位，则平移后的直线的解析式为．
y
A
C
B
Ox
3.如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（1，1），B
（3，1），C（2，2），当直线
与△ABC有交点时，b的取值范围是．
4.在平面直角坐标中，已知点A（-2，3）、B（4，5），直线y=kx+1（k≠0
与线段AB有交点，则k的取值范围为.
5.将函数y=2x+b（b为常数）的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折
至其上方后，所得的折线是函数y=﹣|2x+b|（b为常数）的图象．若该图象在直线y=2下方的点的横坐标x满足0＜x＜3，则b的取值范围为．
6.如图，函数y=﹣2x+2的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，线
段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，则直线AC的函数解析式是．
7.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴
y轴上，点B在第一象限，直线y=x+1交y轴于点D，且点D为CO中点，将直线绕点D顺时针旋转15°经过点B，则点B的坐标为．
8.如图1，已知平行四边形ABCD，AB∥x轴，AB=6，点A的坐标为
（1，﹣4），点D的坐标为（﹣3，4），点B在第四象限，点P是平行四边形ABCD边上的一个动点．
（1）若点P在边BC上，PD=CD，求点P的坐标．
（2）若点P在边AB，AD上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线
y=x﹣1上，求点P的坐标．
解：
（1）∵CD=6，∴点P与点C重合，∴点P坐标为（3，4）．
（2）①当点P在边AD上时，∵直线AD的解析式为y=﹣2x﹣2，设P（a，﹣2a﹣2），且﹣3≤a≤1，
若点P关于x轴的对称点Q1（a，2a+2）在直线y=x﹣1上，
∴2a+2=a﹣1，解得a=﹣3，此时P（﹣3，4）．
若点P关于y轴的对称点Q3（﹣a，﹣2a﹣2）在直线y=x﹣1上时，
∴﹣2a﹣2=﹣a﹣1，解得a=﹣1，此时P（﹣1，0）
②当点P在边AB上时，设P（a，﹣4）且1≤a≤7，
若等P关于x轴的对称点Q2（a，4）在直线y=x﹣1上，
∴4=a﹣1，解得a=5，此时P（5，﹣4），
若点P关于y轴的对称点Q4（﹣a，﹣4）在直线y=x﹣1上，
∴﹣4=﹣a﹣1，解得a=3，此时P（3，﹣4），
综上所述，点P的坐标为（﹣3，4）或（﹣1，0）或（5，﹣4）或
（3，﹣4）．
9.若点P在边AB，AD，CD上，点G是AD与y轴的交点，如图
2，过点P作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，求点P的坐标．（直接写出答案）
（3）①如图1中，当点P在线段CD上时，设P（m，4）．
在Rt△PNM′中，∵PM=PM′=6，PN=4，
∴NM′=
=2
，
在Rt△OGM′中，∵OG2+OM′2=GM′2，
∴22+（2
+m）2=m2，
解得
，∴P（﹣
，4）
根据对称性可知，P（，4）也满足条件．
②如图2中，当点P在AB上时，易知四边形PMGM′是正方形，边
长为2，此时P（2，﹣4）．
③如图3中，当点P在线段AD上时，设AD交x轴于R．易证∠M′RG=
∠M′GR，推出M′R=M′G=GM，设M′R=M′G=GM=x．
∵直线AD的解析式为y=﹣2x﹣2，∴R（﹣1，0），
在Rt△OGM′中，有x2=22+（x﹣1）2，解得x=，∴P（﹣
，3）．点P坐标为（2，﹣4）或（﹣，3）或（﹣，4）或（，4）
10.如图，直线l1与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线l2与直线l1
关于x轴对称，已知直线l1的解析式为y=x+3，
（1）求直线l2的解析式；
y=﹣x﹣3
（2）过A点在△ABC的外部作一条直线l3，过点B作BE⊥l3于E，
过点C作CF⊥l3于F，请画出图形并求证：
BE+CF=EF；
（2）如图．BE+CF=EF．
∵直线l2与直线l1关于x轴对称，∴AB=AC，
∵l1与l2为象限平分线的平行线，
∴△OAC与△OAB为等腰直角三角形，
∴∠EBA=∠FAC，
∵BE⊥l3，CF⊥l3∴∠BEA=∠AFC=90°
∴△BEA≌△AFC∴BE=AF，EA=FC，
∴BE+CF=AF+EA=EF；
（3）△ABC沿y轴向下平移，AB边交x轴于点P，过P点的直线与
AC边的延长线相交于点Q，与y轴相交于点M，且BP=CQ，在△ABC平移的过程中，①OM为定值；②MC为定值．在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．
（3）①对，OM=3
过Q点作QH⊥y轴于H，直线l2与直线l1关于x轴对称
∵∠POB=∠QHC=90°，BP=CQ，
又∵AB=AC，∴∠ABO=∠ACB=∠HCQ，
则△QCH≌△PBO（AAS），∴QH=PO=OB=CH
∴△QHM≌△POM∴HM=OM
∴OM=BC﹣（OB+CM）=BC﹣（CH+CM）=BC﹣OM
∴OM=BC=3．
例1对于坐标平面内的点,现将该点向右平
移1个单位,再向上平移2的单位,这种点的运动称为点A的斜平移,如点P（2,3）经1次斜平移后的点的坐标为（3,5）,已知点A的坐标为（1,0）.
（1）分别写出点A经1次，2次斜平移后得
到的点的坐标.
（2）如图，点M是直线l上的一点，点A关于点M的对称点的点B，点B关于直线l的对称轴为点C.
①若A.B.C三点不在同一条直线上，判断
△ABC是否是直角三角形?
请说明理由.
②若点B由点A经n次斜平移后得到,且点C
的坐标为（7,6），求出点B的坐标及n的值.
例2已知，在平面直角坐标系中，正方
形ABOC的顶点在原点.
（1）如图，若点C
的坐标为（-1,3），求A点坐标;
（2）如图，点F在AC上，AB交x轴于点E。
EF、OC的延长线交于点G，若EG＝OG，
求
的大小.
（3）如图，将正方形ABOC绕O点旋转时，过C点作轴于N，M为AO中点.
问
的大小是否发生变化？
请说明理由。
1.如图，点A的坐标为（﹣4，0），直线y=3x+n与坐标轴交于点B、C，连接AC，如
果∠ACD=90°，则n的值为．
2.如图，直线y=﹣x+8与x轴、y轴交于A，B两点，∠BAO的平分线所在的直线AM的
解析式是．
3.如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，将△AOB沿直线AB翻折，得△ACB．若
3
C（2，
），则该一次函数的解析式为．
2
4.若平面直角坐标系中,两点关于过原点的一条直线对称,则这两点就是互为镜面点,这条直线
叫镜面直线,如A（2,3）和B（3,2）是以y=x为镜面直线的镜面点。
（1）M（4,1）和N（−1,−4）是一对镜面点，则镜面直线为；
（2）以y=3x为镜面直线,E（−2,0）的镜面点为.
5.已知点A（-1,3）,B（1,3）,C（1,0），将线段AB沿水平方向向右平移t个单位，得线段A1B1,若
A1C+B1C有最小值，则t=.
6.已知A（-4,8）,B（2,2）,C（-2,0）,D（-4,0），将线段AB沿水平方向向右平移t个单位，得线段A1B1,
若A1D+B1D有最小值，则t=.
7.如图，直线y=﹣x+4与x轴、y轴交于A，B两点，点P是线段OB上的动点，过点B作
BQ⊥AP于点Q,求AQ的取值范围.
8.如图，在平面直角坐标系中，直线l：
y=-
3
x+4
与x轴、y轴分别交于点M，N，
高为3的等边三角形ABC，边BC在x轴上，将此三角形沿着x轴的正方向平移，在平移过程中，得到△A1B1C1，当点B1与原点重合时，解答下列问题：
（1）求出点A1的坐标，并判断点A1是否在直线l上
（2）求出边A1C1所在直线的解析式；
（3）在坐标平面内找一点P，使得以P、A1、C1、M
为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出P点坐标
9.操作：
“如图1，P是平面直角坐标系中一点（x轴上的点除外），过点P作PC⊥x轴于点
C，点C绕点P逆时针旋转60°得到点Q．”我们将此由点P得到点Q的操作称为点的T变换．
（1）点P（a，b）经过T变换后得到的点Q的坐标为；若点M经过T变换后得到点N（6
），则点M的坐标为．
（2）A是函数y=
x图象上异于原点O的任意一点，经过T变换后得到点B．
2
①求经过点O，点B的直线的函数表达式；
②如图2，直线AB交y轴于点D，求△OAB的面积与△OAD的面积之比．
升级会员 