关于行列式的一般定义和计算方法.docx
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关于行列式的一般定义和计算方法
关于行列式的一般定义和计算方法
n阶行列式的定义
a
aa
11121n
n阶行列式
aaa
21222n（
=
（
1）
jjj
12
n
）
a
1
j
1
a
2
j
2
a
nj
n
j
1
j
2
j
n
aaa
n1n2nn
aaa
111213
Daaaaaaaaaaaa
212223112233122331132132
aaa
313233
a
13aaaaaaaa
22311221331123
32
（1
2N阶行列式是N!
项的代数和;
3、N阶行列式的每项都是位于不同行、不同列N个元素的乘积;
特点:
（1）（项数）它是3!
项的代数和;
（2）（项的构成）展开式中的每一项都是取自行列式不同行不同列的三个元素之积.
其一般项为:
（3）（符号规律）三个正项的列标构成的排列为123,231,312.
它们都是偶排列;
三个负项的列标构成的排列为321,213,132,
它们都是奇排列.
§行列式的性质
性质1：
行列式和它的转置行列式的值相同。
a
11
a
12
a
1n
aa
11
21
a
n1
即
aaa
2122
2
n
=
aa
12
22
a
n
2
；
aaa
n1n2
nn
a
1
n
a
2
n
a
nn
行列式对行满足的性质对列也同样满足。
性质2互换行列式的两行（列），行列式的值变号.
如:
D=
a
c
b
d
=ad-bc,
c
a
d
b
=bc-ad=-D
以r
i表第i行，Cj表第j列。
交换i,j两行记为r
ir,交换i,j两列记作
j
C
iCj。
性质3：
如果一个行列式的两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值
等于零。
性质4：
把一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素同乘以某一个常数k
的结果等于用这个常数k乘这个行列式。
（第i行乘以k，记作r
ik）
推论1：
一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素的公因式可以提到行
列式符号的前面。
推论2：
如果一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素都为零，那么行
列式值等于零。
推论3：
如果一个行列式的某二行（或某二列）的对应元素成比例，那么行列
式值等于零。
a
11
a
12
a
1n
a
11
a
12
a
1n
kakakakaaa
i1i2ini1i2in
a
n1
aaa
n2nn
n1
a
n
2
a
nn
性质5：
如果行列式D的某一行（或某一列）的所有元素都可以表成两项的和，那么
行列式D等于两个行列式D1和D2的和。
a
1
a
12
a
1
j
ba
1
1n
aaa
1112
1
j
a
1n
aab
11121
a
1n
a
aa
2212
2j
baaaaa
22n21222j
=
2
n
+
a
a
b
a
212222n
aaa
n1n2nj
baaaaaaa
nnnn1n2njnn
n1
n2
ba
n
nn
性质6：
把行列式的某一行（或某一列）的元素乘同一个数后，加到另一行（或
另一列）的对应元素上，行列式值不变。
推论如果行列式的某一行（列）的每个元素都是m个数之和（m>2），则此行列
式等于m个行列式之和。
定义：
行列式aaa（i,j1,,n）
如果满足：
；
ijijji
则称此行列式为对称行列式。
一个n阶行列式，如果它的元素满足：
aiai,j1,2n；试证：
当n
jji
为奇数时，此行列式为零。
nD每一行（或列）提出一个（-1），再转置得D=（-1）
性质7行列式的某一行（列）的各元素与另一行（列）的对应元素的代数
余子式的乘积之和等于零。
按行：
aAaAaAij
i11220
jijinjn
按列：
aAaAaAij
1jijninj
i1220
将性质7与Laplace定理合并为下列结论：
n
Dij
（1）aA
ijk
k
0ijk1
和
n
Dij
aA
kj
k1
ki
0ij
（2）
行列式的计算
1．利用行列式定义直接计算
例1计算行列式
0010
0200
D
n
n1000
000n
解Dn中不为零的项用一般形式表示为
aaaan.
1n12n2n11nn!
（n1）（n2）
该项列标排列的逆序数t（n－1n－2⋯1n）等于
，故2
（n1）（n2）
2
D
（1）n!
.
n
2．利用行列式的性质计算
例2一个n阶行列式
Da的元素满足
nij
aa,i,j1,2,,n,
ijji
则称Dn为反对称行列式，证明：
奇数阶反对称行列式为零.
证明：
由aa知
ijji
aa，即
iiii
a0,i1,2,,n
ii
故行列式Dn可表示为
0
aaa
12131n
a0aa
12232n
Daa0a
n13233n
aaa
1n2n3n
0
由行列式的性质AA
0
aaa
12131n
a0aa
12232
n
Daa0a
n13233n
aaa
1n2n3n
0
0
aaa
12131n
a0aa
12232
n
n
（1）aa0a
13233
n
aaa
1n2n3n
0
n
（1）D
n
当n为奇数时，得Dn=－Dn，因而得Dn=0.
3．化为三角形行列式
若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元
素的乘积。
因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
例3计算n阶行列式
abbb
babb
Dbbab
bbba
解：
这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，
把第2，3，⋯，n列都加到第1列上，行列式不变，得
a（n1）bbbb
a（n1）babb
Da（n1）bbab
a（n1）bbba
1bbb
1abb
[a（n1）b]1bab
1bba
1bbb
0ab00
[a（n1）b]00ab0
000ab
n1
[a（n1）b]（ab）
4．降阶法
降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是
用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式
的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。
例4计算n阶行列式
a0001
0a000
00a00D
n
000a0
1000a
解将Dn按第1行展开
a0000a00
0a0000a0
Da00a0
n
（1）
n1
000a
000a1000
nn1nn2
a
（1）
（1）a
nn2
aa.
5．逆推公式法
逆推公式法：
对n阶行列式Dn找出Dn与Dn－1或Dn与Dn－1,Dn
－2之间的一
种关系——称为逆推公式（其中Dn,Dn－1,Dn
－2等结构相同），再由递推公式求出
Dn的方法称为递推公式法。
例5证明
x1000
0x100
D
n
000x1
aaaaax
nn1n221
nn1n2
xaxaxaxan
121,
（2）
nn
证明：
将Dn按第1列展开得
x1000
0x100
Dx
n
000x1
aaaaax
n1n2n321
1000
x100
n1
（1）
a
n
00x1
axD
nn
1
由此得递推公式：
DaxD，利用此递推公式可得
nnn1
DaxD1ax（a1xD2）
nnnnnn
2
aaxxD
nn1n2
n1naaxaxx
nn11
6．利用范德蒙行列式
例6计算行列式
111
x1x1xn1
12
222
Dxxxxxx
1122nn
n1n2n1n2n1n2
xxxxxx
1122nn
解把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以
此类推直到把新的第n－1行的－1倍加到第n行，便得范德蒙行列式
111
xxx
12n
222
Dxxx（xx）
12nij
nij1
n1n1n1xxx
12n
7．加边法（升阶法）
加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变
的方法。
例7计算n阶行列式
xaaa
12
n
axaa
12
n
Daaa
n12n
aaxa
12
n
1
aa
1
n
0解：
D
n
D
n
0
1
aaa
12
n
1x00第行减第1行
i
i2,,n110x0
（箭形行列式）
100x
1
n
a
j1
j
x
aaa
12
n
0x00
00x0
000x
n
a
n
j
x1
xj1
8．数学归纳法
例8计算n阶行列式
x1000
0x100
D
n
000x1
aaaaax
nn1n221
解：
用数学归纳法.当n=2时
x1
Dx（xa）a
212
axa
21
2
xaxa
12
假设n=k时，有
kk1k2
Dxaxaxaxa
k12k1k
则当n=k+1时，把Dk+1按第一列展开，得
DxDa
k1kk1
kk
1
x（xaxaxa）a
1k1kk1
k1k2
xaxaxaxa
1k1kk1
由此，对任意的正整数n，有
nn12
Dxaxaxaxa
n1n2n1n
9．拆开法
把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列
式写成两行列式之和，使问题简化以利计算。
aaa
112
n
例9计算行列式
D
n
aaa
122
n
aaa
12
nn
aaa
12
n
aa
12n
解：
D
n
aaa
122
n
0
aa
22n
aaa
12
00a
nnnn
aaa
12n
0
2
a
n
1Dn1
00
n
aD
12n1n1
⋯⋯
1
12n
n
a
i
i1i
上面介绍了计算n阶行列式的常见方法，计算行列式时，我们应当针对具体
问题，把握行列式的特点，灵活选用方法。
学习中多练习，多总结，才能更好地
掌握行列式的计算。
axbyaybzazbxxyz
（1）
aybzazbxaxby（a
33;
b）yzx
azbxaxbyaybzzxy
证明
axbyaybzazbx
aybzazbxaxby
azbxaxbyaybz
xaybzazbxyaybzazbx
ayazbxaxbybzazbxaxby
zaxbyaybzxaxbyaybz
xaybzzyzazbx
22
ayazbxxbzxaxby
zaxbyyxyaybz
xyzyzx
33
ayzxbzxy
zxyxyz
xyzxyz
33
ayzxbyzx
zxyzxy
xyz
（
33
ab）
y
z
x
zxy
关于行列式的消项（其中C代表列··R代表行）
（2）
22
aabb
2aab2b
11
1
（ab）3;
3;
证明
22
aabb
c
2
c
222
aababa
1
2
2
a
1
a
1
b2b
1
c
3
c
1
2a
1
b
a2b
00
2
a
（1）
31
ab
b
a
a
2
2
b
2b
a
2
2
a
aba
（ba）（ba）（ab）
12
3
1111
（3）
a
2
a
a
4
b
2
b
b
4
c
2
c
c
4
d
d
d
2
4
（ab）（ac）（ad）（bc）（bd）（cd）（abcd）;
证明
1111
a
2
4
a
a
b
2
b
b
4
c
2
c
c
4
d
2
4
d
d
1111
0
0
b
b（b
a
a
）c
c
（c
a
a
）
d
d
（d
a
a
）
（c2,c3,c4减数字去第一
0b
2ba2c2ca2d2d2a
22
（）（）（
2
）
列的）
111
（ba）（ca）（da）
b
bcd
2baccadda
22
（）（）（
）
111
（ba）（ca）（da）0cbdb
0c（cb）（cba）d（db）（dba）
（ba）（ca）（da）（cb）（db）
c（c
1
b
a
）
d
（d
1
b
a）
=（ab）（ac）（ad）（bc）（bd）（cd）（abcd）
x1000
（4）
0x100
000x1
na1xn1an1xan
x
a
n
a
n
aax
1n22
a
1
证明用数学归纳法证明
当n2时
x1
2
D命题成立
xaxa
2aa1
x
2
21
假设对于（n1）阶行列式命题成立即
Dn1x
n1a1xn2an2xan1
则Dn按第一列展开有
1000
n1
x100
DxDa
（1）
nn1n
11x1
xDn1anx
na1xn1an1xan
因此对于n阶行列式命题成立6设n阶行列式Ddet（aij）,
把D上下翻转、或逆时针旋转90、或依副对角线翻转依次得
aa
n1
nn
aa
1n
nn
a
nn
a
1n
DDD
123
a
11
a
1n
a
11
a
n1
a
n1
a
11
n（n1）
证明D1D
（1）DD3D
22
证明因为Ddet（aij）所以
a
a
n1
nn
D1
（1）
aa
111n
n1
a
11
a
n1
a
21
a
1n
a
nn
a
2n
a
11
a
1n
aa
212n
（1）
n
1n
（1）
2
a
n1
a
nn
aa
313n
n（n1）
（1）
12
（1）
（1）
n2）（n2
D
D
同理可证
n（n1）
a
11
a
n1
n
（
n
1）
n
（
n
1）
T
D2
（1）DD
222
（1）
（1）aa
1nnn
n（n1）n（n1）n（n1）
D
n（n1）
3
（1）2D
（1）2
（1）2D
（1）D
2
D
7计算下列各行列式（Dk为k阶行列式）
a1
（1）,其中对角线上元素都是a未写出的元素
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