第2章行列式.docx

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第2章行列式

第二章行列式

行列式

第二章方阵的行列式

1,行列式的定义

2，行列式的性质

3，行列式的展开定理

4，克莱姆法则

行列式

第一节行列式的定义

二、三阶行列式

2.1.1二、三阶行列式

二元一次线性方程组：

⎧a11x1+a12x2=b1,

⎨

⎩a21x1+a22x2=b2.

（1）

（2）

排列与逆序

（1）×a22:

（2）×a12:

a11a22x1+a12a22x2=b1a22,

a12a21x1+a12a22x2=b2a12,

n阶行列式

（aa

−aa）x

=ba

−ab;

1122

12211

122

（a11a22−a12a21）x2=a11b2−b1a21,

第一节二三阶行列式版权归《线性代数》课程组

行列式

二元一次线性方程组：

⎧a11x1+a12x2=b1,

⎨

（1）

行列式

二阶行列式

⎩a21x1+a22x2=b2.

（2）

A=11

a12

=aa

-aa

当a11a22-a12a21≠0时，方程组的解为

a21

a22

1122

2112

x=b1a22−a12b2，x=

a11b2−b1a21.

（3）

⎛aa⎞

1aa

−aa

2aa

−aa

称为A=

1112

所确定的二阶行列式。

1122

1221

1122

1221

⎜aa⎟

由方程组的四个系数确定.这就是二元方程组的解的公式。

但这个公式不不好记，为了便于记这个公式，于是引进二阶

⎝2122⎠

元素

aij

所在的列数

行列式的概念。

所在的行数

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二阶行列式的计算:

对角线法则

行列式

⎧a11x1+a12x2=b1,

⎨

⎩a21x1+a22x2=b2.

⎧a11x1+a12x2=b1,

⎨

⎩a21x1+a22x2=b2.

主对角线

副对角线

a11

a21

a12

a22

＝a11a22－a12a21

b1a12

Aba

x=1=222,

A=11

a12,

Aa11a12

a21a22

x=A2

a21

a11

=a21

a22

b2.

由于行列式|A|中的元素就是二元方程组中未知量的系数，所

Aa11a12

以又称它为二元方程组的系数

行列式.

a21

a22

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行列式

⎧a11x1+a12x2=b1,

⎨

⎩a21x1+a22x2=b2.

⎧a11x1+a12x2=b1,

⎨

⎩a21x1+a22x2=b2.

⎧a11x1+a12x2=b1,

⎨

⎩a21x1+a22x2=b2.

⎧a11x1+a12x2=b1,

⎨

⎩a21x1+a22x2=b2.

b1a12

a11

a12

b1a12

x=A1=b2

a22,

A=,

x=A1=b2

a22,

A1=ba,

Aa11a12

2122

Aa11a12

222

x=A2

a21

a11

=a21

a22

b2.

x=A2=

a21a11a21

a22

b2.

如果将|A|中第一列的元素a11,a21换成常数项b1,b2则可得到行列式|A1|.

Aa11a12

a21

a22

a21

a22

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行列式

⎧ax+a

x=b,

⎧ax+a

x=b,

111

⎨

1221

⎧a11x1+a12x2=b1,

111

⎨

1221

⎧a11x1+a12x2=b1,

⎩a21

x1+a22x2

=b2.

⎨

⎩a21x1+a22x2=b2.

⎩a21

x1+a22x2

=b2.

⎨

⎩a21x1+a22x2=b2.

x1=

A1=b2

Aa11

a21

a12

a22,

a12

a22

A=11

a21

a12,

a22

x1=

A1=b2

Aa11

a21

a12

a22,

a12

a22

A=11

a21

b1,

x=A2=

a11b1

a21b2.

x=A2=

a11b1

a21b2.

如果将|A|中第二列的元素

a12,a22换成常数项b1,b2，

Aa11a12

则可得到行列式|A2|.

a21

a22

a21

a22

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行列式

三阶行列式

a11

A=a21

a31

a12a22a32

a13a23a33

行列式

三阶行列式的计算:

对角线法则

a11a12a13

a21a22a23

a31a32a33

a11a12a13

a21a22a23

a31a32a33

=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32

−a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31,

=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32

−a13a22a31−a12a21a33−a11a23a32.

⎛a11

a12

a13⎞

1,三阶行列式是3！

项的代数和。

称为由A=⎜aaa⎟

说2,每项都是位于不同行、不同列的三

⎜212223⎟

确定的三阶行列式.

明:

个元素的乘积。

⎜31a32

a33⎟

⎝⎠

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3,三项为正、三项为负。

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2.1.2排列与逆序

对角线法则只适用于二阶与三阶

定义2.1

定义2.2

由自然数1,2,…,n所构成的一个有序数组，称为这n个数的一个n级排列。

在排列j…j中，

行列式，为研究1n

四阶及更高阶行列式，下面我们要介绍全排列的知识。

数j1前面比j1大的数字的个数，称为j1的逆序

数j2前面比j2大的数字的个数，称为j2的逆序，

所有这n个数的逆序之和称为该排列的逆序数，

记为τ（j1,…,jn）.

版权归《线性代数

第一节二三阶行列式第二章行列式》课程组

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例1求排列32514的逆序数.

解在排列32514中,

3排在首位,逆序数为0;

32514

01031

t=0+1+0+3+1=5.

排列的奇偶性逆序数为奇数的排列称为奇排列逆序数为偶数的排列称为偶排列

说明：

2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;

5的前面没有比5大的数,其逆序数为0;

1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;

4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;

所以排列32514的逆序数为5。

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任何排列不是奇排列就是偶排列。

规定逆序数为零的排列为偶排列。

例如：

排列32514的逆序数为5，排列为奇排列。

排列12345的逆序数为0，排列为偶排列。

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对换的定义

定义2.3

在一个排列中，某两个数互换位置，其

对换与排列的奇偶性的关系:

定理2.1对换改变排列的奇偶性。

余的数不动，就得到一个新排列，这样

证明a1…alabb1…bm

a1…albab1…bm

的对换称为一个对换。

若对换的两个数

相邻，则称为相邻对换。

例如

除a,b外，其它元素的逆序数不改变.

当a

经对换后a的逆序数增加1,b的逆序数不变;

a1…al

b1…bm

a1…al

b1…bm

c1…cn

当a>b时，

经对换后a的逆序数不变，b的逆序数减少1.

因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.

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设排列为a…aab…bbc…c

对换相邻两个元

1l1

m1n

素，排列改变奇

偶性.

定理2.1对换改变排列的奇偶性。

a1…alab1…bmbc1…cn

m次相邻对换

a1…alabb1…bmc1…cn

1l1m1n

m+1次相邻对换a…abb…bac…c

∴a1…alab1…bmbc1…cn,

推论2.1:

奇排列经过奇数次对换可变成自然排列；偶排列经过偶数次对换可变成自然排列；

证明：

对换改变排列的奇偶性，对换的次数就是排列奇偶性的变化次数，

自然排列是偶排列，

2m+1次相邻对换

a…abb…bac…c,

所以结论成立。

1l1

m1n

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2.1.3n阶行列式

式的定义:

a11

a12

a13=aa

a33

+a12a23

a31

+a13a

21a32

a11a12a13

A=a21

a22

a23

（123）0

（231）2

（312）2

taaa

−a13a22a31−a11a23a32−a12a21a33

A=a21

a22

a23=∑（−1）

1p2p

3p.

a31

a32

a33

（321）3

（132）1

（213）1

aaa

123

说明：

=∑（−1）ta

a2p2

a3p3

313233

其中P1P2P3为1，2，3三个数的某个排列。

1p1

1,三阶行列式共有6项，即3！

项。

2,每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．

3,三项为正、三项为负。

t为的P1P2P3逆序数。

类似地，我们引出n阶行列式的定义。

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n阶行列式

定义2.4:

设n阶方阵A＝（aij），称

n阶行列式是一个数，其值按如下代数式运算：

aa…a

a11

a12

…a1n

11121n

A=21

a22

…a2n

=det（a）

A=21

a22

…a2n

###ij

###

an1

an2

…ann

an1an2

…ann

τ（jj…j）

为方阵A的行列式，也称为n阶行列式。

=∑

（j1j2…jn）

（−1

）12

1j1

2j2

…anjn

其中，和号是对所有的n级排列求和（共n!

项）。

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说明:

1，n阶行列式是n!

项的代数和；

2，n阶行列式的每项都是位于不同行，不同列的

n个元素的乘积。

请问：

一阶行列式|a|与绝对值|a|是否相等？

答：

一阶行列式与绝对值记号含义不同;

一阶行列式：

|-5|=-5

绝对值：

|-5|=5

3、每项的行标排列为标准排列，正负号都取决于

列标排列的逆序数．

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定理2.2:

n阶方阵A的行列式可定义为

对于行列式的任意一项（−1）τ（j1j2…jn）aa…a

1j12j2njn

将其元素做r次对换，化为

∑j11

j22

jnn

i1i2in

12n

（j1j2…jn）

（−1）τ（j1j2…jn）aa…a

（−1）τ（jj…j）aa…a

12n

其中t为行标排列的逆序数。

证明：

n阶行列式的定义为

此时，列标排列由j1j2…jn变为自然排列；

同时行标排列由自然排列变为i1i2…in。

由于列标排列j1j2…jn的逆序数与对换次数r有相同的

A=（−

）τ（j1j2…jn）aa…a

奇偶性，行标排列ii…i的逆序数与对换次数r有相

∑1

（j1j2…jn）

1j1

2j2

njn

12n

同的奇偶性，于是

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（−1）τ（j1j2…jn）aaa

例2计算上三角行列式

∑j11

j22…

jnn

aa...aa

（j1j2…jn）

11121,n−11n

τ（j1j2…jn）

0a22

...

a2,n−1

a2n

12n

=（−1）ai1ai2…ain

...............

r00...aa

12n

=（−1）ai1ai2…ain

i1i2in

=（−1）τ（i1i2…in）aa…a

12n

n−1,n−1

00...0

∑

n−1,n

ann

i11i22

inn

∴A=∑

τ（i1i2…in）

12n

解：

（i1i2…in）

（−1）τ（i1i2…in）aa…a

（−1）ai1ai2…ain

（i1i2…in）

由于第一行除了a11外其余都为零，故非零项的

第一个数必为a11，第二行只能选a22，

类似地，第三行只能选a33，第n行只能选ann。

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因此，行列式只有一个非零项。

类似可得下三角行列式：

a11

a12

a22

...

a1,n−1

a2,n−1

a1n

a2n

a11

0#0

...............

a21

a22#

=a11a22

…ann

00...

an−1,n−1

an−1,n

……#…

00...0

ann

an1

an2

#ann

=（−1）τ（12…n）

a11a22…ann

特别地，对角行列式

=a11a22…ann

a11

a22#

=aa…a

……#…

1122nn

00#

ann

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例3：

计算右下三角行列式

因此，行列式只有一个非零项。

0…0

0…a2,n−1

a1n

a2n

0…0

0…a2,n−1

a1n

a2n

=（−1）τ（n（n−1）…1）

a1na2,n−1…an1

0………

an1

…an,n−1

∑

ann

1j1

2j2

njn

an1

…an,n−1

ann

n（n−1）

1n2,n−1n1

解：

（j1j2…jn）

（−1）τ（j1j2…jn）aa…a

=（−1）2aa…a

由于第一行除了a1n外其余都为零，故非零项的第一个数必为a1n，第二行只能选a2,n-1，类似地，第三行只能选a3,n-2，第n行只能选an1。

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n阶行列式

定义2.4:

设n阶方阵A＝（aij），称

a11

A=21

a12

a22

…a1n

…a2n

=det（a）

###ij

an1

an2

…ann

为方阵A的行列式，也称为n阶行列式。

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说明:

n阶行列式的另外一种表达方式：

1、n阶行列式是n!

项的代数和;

2、n阶行列式的每项都是位于不同行、不同列n个元素的乘积;

定理2.2:

n阶方阵A的行列式可定义为

3、每项的行标排列为标准排列，正负号都取决于列

A=∑

（−1）τ（j1j2…jn）

aj1aj2…ajn

12n

（jj…j）

标排列的逆序数．

12n

其中t为行标排列的逆序数。

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作业：

习题2.1A：

3,5,6

习题2.1B：

1，3

预习行列式的性质

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第二节行列式的性质

行列式的性质应用举例

对n阶行列式而言，三角形与对角形行列式的计算是容易的，这就提示我们，计算行列式的值时，将行列式化为以上类型的行列式是我们努力的方向。

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2.2.1行列式的性质

性质1设A=（aij）为n阶行列式，则|A|=|AT|。

即

转置行列式的定义：

a11

a12

…a1n

…a

a11

a12

a21

…an1

…a

a11

A=21

a12…

a22…

a1n

a2n

a11

a12

AT=

a21…

a22…

an1

an2

2122

#fi

#=#

22n2

fi#

a…

#fi#

an1

an2

…ann

1n2n

ann

an1

an2

…ann

a1na2n

…ann

说明行列式中行与列具有同等的地位,因此行列

行列式|AT|称为行列式|A|的转置行列式。

式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.

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证明：

设A=（aij）,AT=（bij），则aij=bji。

由行列式的定义:

性质

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