高中数学新教材必修第二册第六章平面向量及其应用 63平面向量的基本定理及坐标表示南开题库含详解.docx

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第六章平面向量及其应用6.3平面向量的基本定理及坐标表示

一、选择题（共40小题；共200分）

1.已知向量，，，若，则

A.B.

C.D.

2.已知，，，若，则

A.B.C.D.

3.已知两点，为坐标原点，点在第二象限，且，设，则等于

A.B.C.D.

4.若，，则的坐标是

A.B.C.D.以上都不对

5.已知在上的投影为，在轴上的投影为，，设，则为

A.B.C.D.

6.已知向量，向量，且，则实数等于

A.B.C.D.

7.已知，且，则点的坐标为

A.B.C.D.

8.已知点，，向量，则向量

A.B.C.D.

9.若向量，则等于

A.B.C.D.

10.已知向量，，若与平行，则实数的值是

A.B.C.D.

11.若向量和向量平行，则

A.B.C.D.

12.设向量，向量，向量，则

A.B.C.D.

13.平行四边形的对称中心为，，，则等于

A.B.C.D.

14.在下列向量组中，可以把向量表示出来的是

A.B.

C.D.

15.已知是坐标原点，点，若点为平面区域上的一个动点，则的取值范围是

A.B.C.D.

16.已知向量与向量共线，其中是的内角，则角的大小为

A.B.C.D.

17.已知，，则等于

A.B.

C.D.

18.设两个向量和，其中为实数．若，则的取值范围是

A.B.C.D.

19.已知向量集合，，则

A.B.

C.D.

20.设，，，点是线段上的一个动点，，若，则实数的取值范围是

A.B.

C.D.

21.设、是双曲线的两个焦点，在双曲线上，当的面积为时，的值为

A.B.C.D.

22.已知向量，．若与垂直，则

A.B.C.D.

23.任意向量，，定义运算：

，下列等式中（“”和“”是通常的向量加法和数量积，），不恒成立的是

A.B.

C.D.

24.已知点在单位圆上，点，那么的取值范围是

A.B.C.D.

25.若点和点分别为双曲线的中心和左焦点，点为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为

A.B.

C.D.

26.设是坐标原点，点，若点为平面区域上的一个动点，则的取值范围为

A.B.C.D.

27.已知两点，为坐标原点，点在第二象限，且，设，则等于．

A.B.C.D.

28.过抛物线的焦点作直线，与抛物线交于，，，四点，且，则的最大值等于

A.B.C.D.

29.设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且，则直线的斜率的最大值为

A.B.C.D.

30.如图，在的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量，，满足，则

A.B.C.D.

31.在平行四边形中，，，则等于

A.B.C.D.

32.设，向量，，则向量的模长的最大值为

A.B.C.D.

33.设向量，，若向量与向量共线，则的值为

A.B.C.D.

34.向量，且与方向相同，则的取值范围是

A.B.C.D.

35.已知，，．若点是所在平面内的一点．且，则的最大值等于

A.B.C.D.

36.集合，若，已知定义集合A中元素间的运算，称为“”运算，此运算满足以下运算规律：

任意有

任意有

任意有

任意有，且成立的充分必要条件是为向量．

如果，那么下列运算属于“”正确运算的是

A.B.

C.D.

37.已知抛物线与双曲线有共同的焦点，为坐标原点，在轴上方且在双曲线上，则的最小值为

A.B.C.D.

38.由正整点坐标（横坐标和纵坐标都是正整数）表示的一组平面向量，按照一定的顺序排成如图所示的三角形向量序列图表．

规则是：

对于，第行共有个向量，若第行第个向量为，则，例如，，，，，以此类推，则

A.B.C.D.

39.已知是不等式组表示的平面区域内的一点，，为坐标原点，则的最大值为

A.B.C.D.

40.设双曲线的右焦点为，过点作与轴垂直的直线交两渐近线于，两点，且与双曲线在第一象限的交点为，设为坐标原点，若（），，则双曲线的离心率为

A.B.C.D.

二、填空题（共40小题；共200分）

41.设平面向量，，则 ．

42.若三点，，（）共线，则的值等于 ．

43.已知向量，，若与垂直，则实数等于 ．

44.已知平面向量，．若，则 ．

45.已知向量，，．若向量与向量共线，则实数 ．

46.设向量与的夹角为，，，则 ．

47.设向量与的夹角为，且，，则 ．

48.已知向量，，若，则实数 ．

49.已知向量，，，若与平行，则= ．

50.在平面直角坐标系中，已知，，若，则实数的值为 ．

51.已知点，向量，且，则点的坐标为 .

52.已知向量，，则 ．

53.已知，，若，则 ．

54.已知是坐标原点，点在第二象限，，，向量的坐标为 ．

55.若向量，，，且，则 ．

56.已知向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是 ．

57.如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点，且，则该椭圆的离心率是 ．

58.在中，，，，，，的延长线交的延长线于点，则的值为 ．

59.在平面直角坐标系中，已知，．若，则实数的值为 ．

60.已知向量，，，且，，三点共线，则 ．

61.，是两个向量集合，则等于 ．

62.平面向量，，，且与的夹角等于与的夹角，则 ．

63.在等腰梯形中，已知，，，．点和分别在线段和上，且，，则的值为 ．

64.，，，，是按先后顺序排列的一列向量，若，且，则其中模最小的一个向量的序号为 ．

65.已知向量，，，若，则实数的值为 .

66.定义是向量和的"向量积"，它的长度，其中为向量和的夹角，若，，则 ．

67.关于平面向量，，．有下列三个命题：

①若，则；

②若，，，则；

③非零向量和满足，则与的夹角为．

其中真命题的序号为 ．（写出所有真命题的序号）

68.已知向量，点，点为直线上一个动点，若，则点的坐标为 ．

69.设向量，，则，的夹角等于 ．

70.在直角坐标系中，已知点和点，若点在的平分线上且，则 ．

71.在棱长为的正方体中，正方形所在平面内的动点到直线，的距离之和为，则的取值范围为 ．

72.在中，已知，，，为线段上的点，且，则的最小值为．

73.在平面直角坐标系中，为原点，，动点满足，则的最大值是 ．

74.已知向量，．若，当时，的取值范围为 ．

75.正三角形边长为，，分别为边，的中点，点为线段上的动点，则的取值范围是 ；若，则的最大值为 ．

76.在平面内，若有，，，则的最大值为 ．

77.设双曲线的左焦点为，过点作与轴垂直的直线交两条渐近线于，两点，且与双曲线在第二象限的交点为，设为坐标原点，若，且，则双曲线的离心率为 ．

78.在实数集中，我们定义的大小关系”“为全体实数排了一个“序”，类似的，我们在平面向量上也可以定义一个称“序”的关系，记为“”，定义如下：

对于任意两个向量，，”“当且仅当“”或“”，按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：

①若，，，则；

②若，，则；

③对于，则对于任意；

④对于任意向量，，若，则．

其中真命题的序号为 

79.边长为的正三角形内（包括三边）有点，，求的范围 ．

80.设是全体平面向量构成的集合，若映射满足：

对任意向量，以及任意，均有，则称映射具有性质．现给出如下映射：

①；

②；

③．

其中，具有性质的映射的序号为 ．（写出所有具有性质的映射的序号）

三、解答题（共20小题；共260分）

81.

（1）若向量与共线且方向相同，求．

（2）在直角坐标系中，已知，，，求证：

、、三点共线．

82.已知，，求和的坐标．

83.已知向量，，设函数的图象关于直线对称，其中，为常数，且．

（1）求函数的最小正周期；

（2）若的图象经过点，求函数在区间上的取值范围．

84.

（1）已知向量，，，，且，求的值．

（2）在直角三角形中，，，求实数的值．

85.中，，，所对的边分别为，，，，，且．

（1）求的大小；

（2）若，求的面积并判断的形状．

86.已知向量，，函数．

（1）求的最大值，并求取最大值时的取值集合；

（2）已知、、分别为内角、、的对边，且，，成等比数列，角为锐角，且，求的值．

87.已知向量，（为坐标原点）．

（1）若，求实数的值；

（2）若，，三点能构成三角形，求实数应满足的条件．

88.已知，，．

（1）若，求证：

；

（2）设，若，求的值．

89.已知向量，向量．

（1）若向量与向量垂直，求实数的值；

（2）当为何值时，向量与向量平行?

并说明它们是同向还是反向．

90.已知向量，，．

（1）若，求；

（2）求的最大值．

91.设，，、两点满足，，，求、两点的坐标（其中是坐标原点）．

92.已知点，，．若．

（1）试求为何值时，点在第一、三象限的角平分线上．

（2）试求为何值时，点在第三象限内．

93.设是图形上的一点，将图形按向量平移，得到图形，相应地，点平移后得到点，我们把上述的变换称之为图形按照向量的一个平移变换．

（1）把函数的图象按向量平移变换后得到的图象，则可以是 

A．

B．

C．

D．

（2）若点按照向量平移后得到点，试求平移向量．

94.已知，，，求，并用基底、表示．

95.已知，，三点的坐标分别是，，，其中．

（1）若，求的值；

（2）若，求的值．

96.已知函数，其中，，．

（1）求函数的单调递减区间；

（2）在中，角，，所对的边分别为，，，，，且向量与共线，求边长和的值．

97.己知向量，．记．

（1）若，求的值；

（2）在锐角中，角，，的对边分别是，，，且满足，求函数的取值范围．

98.已知椭圆的左、右焦点分别为，，在第一象限椭圆上的一点满足，且．

（1）求椭圆的离心率；

（2）设与轴的交点为，过点与直线垂直的直线交椭圆于，两点，若，求椭圆的方程．

99.已知椭圆：

的一个顶点为，离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）过的直线交椭圆于，两点，试问：

在椭圆上是否存在定点，使得无论直线如何转动，以为直径的圆恒过定点?

若存在，求出的值及点的坐标；若不存在，请说明理由．

100.在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，三点满足．

（1）求证：

，，三点共线；

（2）已知，，，的最小值为，求实数的值．

答案

第一部分

1.A

2.C【解析】因为，，

所以，

又因为，

所以，

解得．

3.B【解析】因为，

所以设点坐标为，

由，得

解得．

4.B

5.B

【解析】在轴上的投影为，设．在上的投影为，，即，，解得或．，，，故．

6.B

7.C【解析】设，由，所以，．

8.A

9.B【解析】，，

所以．

10.D

【解析】解法一：

因为，，

所以，，

由于与平行，得，解得．

解法二：

因为与平行，

则存在常数，使，即，

根据向量共线的条件知，向量与共线，故．

11.C【解析】依题意得，，得，

又，

所以．

12.C【解析】因为，，

所以．

因为，

所以．

13.B【解析】，，，则．

14.B【解析】提示：

只要非零不共线即可．

15.D

【解析】作出不等式组对应的平面区域如图，设，

因为，，所以，即，平移直线．

由图象可知当经过点时，直线截距最小，此时最小为．

经过点时，直线截距最大，此时最大为，即．

16.C【解析】因为，

所以，

所以，

化为，

所以，

因为，

所以．

所以，解得．

17.C

18.A【解析】提示：

由已知可得，由于①②可得，由此求出的取值范围为，所以．

19.C【解析】设，由，得

消去，得

由，同理可得

联立，解得

20.B

【解析】由得，，于是

解得：

．

因点是线段上的一个动点，所以，即满足条件的实数的取值范围是．

21.B【解析】从双曲线方程可以看出，．

不妨设点为双曲线的右支在轴上方的一个点，且，

则，解出，所以可求出．

22.B【解析】因为与垂直，所以，所以．

23.D

24.A【解析】，，．因为在单位圆上，所以，所以．

25.D

【解析】设，则，，所以．

因为双曲线中，，所以，所以，

所以，

所以．

26.C【解析】设点，则．所以根据线性规划，在点和点处取得最值，所以的取值范围为．

27.C【解析】设且点的坐标为，则由，得，，即点的坐标为．又因为，

所以．

所以解得．

28.D【解析】如图所示，

由抛物线可得焦点．

设直线的方程为：

，

因为，可得直线的方程为．

设，，，．

联立化为，

得，．

同理可得，．

所以

同理可得．

所以

当且仅当时取等号．

所以的最大值等于．

29.C【解析】如图所示，

设，则，即．

设，由，得化简可得

所以直线的斜率为（当且仅当时取等号）．

30.D

【解析】如图建立平面直角坐标系．由图可得，，；而，即，解得，，所以．

31.D【解析】，，

解得，

所以．

32.D【解析】．

33.A【解析】由已知可得，，因为与共线，所以，即，解得．

34.C【解析】因为与同向，所以可设，则有，又因为，所以，所以的取值范围是．

35.A

【解析】因为，所以可以为原点，所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，不妨设，，

则，

故点的坐标为．

，

下面展开用均值不等式求解即可．

36.D【解析】排除法，设，根据④有，且成立的充分必要条件是为向量．

对于选项A，不恒成立；

对于选项B，不符合题意；

对于选项C，不恒成立；

对于选项D，恒成立的．

37.B【解析】依题意，抛物线的焦点为，所以对双曲线，．设，则，所以

故当时，取到最小值．

38.C【解析】由图可知第行的最后一个向量为，又，所以是第行的向量，又因为，所以，，因为，所以．

39.D【解析】点所在的平面区域为，如图所示：

要求的最大值，只需找出在方向上的投影最大值即可，很明显符合所求，所以的最大值为．

40.A

【解析】双曲线的渐近线为：

，设焦点，则

，，，

因为，

所以，

所以，，

解得：

，，

又由，得：

，

解得：

，

所以，．

第二部分

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

【解析】因为，

所以，

所以．

49.

【解析】，又，则．

50.

51.

52.

53.

54.

55.或

【解析】因为，所以，，因为，所以，由，当时，；当时，．

56.

【解析】若与的夹角为钝角，则它们数量积小于且两向量不为反向向量．

由，得，若为反向向量，则，

所以，解得，所以．

所以实数的取值范围是，且，即．

57.

【解析】由题意，得．直线的方程与椭圆方程联立，解得，，则，．由，得，即，再结合可得，则．

58.

【解析】如图，

分别以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系，

则，，，

因为，

所以，

又，得，

设，则，，

由，得，即．

所以，，

则．

59.2

【解析】解：

因为，．

所以．

设，可得

又，，

所以且

将联立，可得，，．

60.

61.

【解析】中，；中，，则得此时．

62.

【解析】根据，即，解之即得．

63.

【解析】分别以所在直线，线段的垂直平分线为轴，轴建立平面直角坐标系，

由所给条件知，，，，，．

设，由，得，，，

从而．

64.

【解析】设．

由，得，

则，

所以

从而，

于是，当时，取得最小值．

65.

【解析】因为，，，所以，因为，所以，所以．

66.

【解析】提示：

向量和的夹角为．

67.②

【解析】由，知命题①明显错误；由两向量平行的充要条件得，得，故命题②正确；由，结合平行四边形法则如图：

可得与的夹角为，且此平行四边形是菱形，所以与的夹角为，命题③错误．

68.

【解析】设点坐标为，则，因为，所以，解得．故点坐标为．

69.；

【解析】由向量数量积公式可知，

因为，所以．

故答案为．

70.

【解析】设，结合题意知．

因为在的平分线上，所以在，上的射影相等，从而有

即

化简得，结合的范围知，．

其他解法：

如图，

可设点坐标为，根据点为平分线上的点可知，再结合可知，，结合二倍角公式，可解得，由题意知，联立即可得到答案．

71.

【解析】由线面垂直的性质定理可知，在面内的动点到直线和的距离，即为点到和的距离．

由椭圆定义知：

点的轨迹为以和为焦点的椭圆，且，．

以所在的直线为轴，的中垂线所在的直线为轴建立直角坐标系，所以点的轨迹方程为．

设，则，，所以．

由在正方形内部可知，所以．

72.

【解析】依题意得：

解得，，，，所以为，所以．

以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立直角坐标系，则由题目条件得点，且满足．

，且点到直线的距离为，则最小值为．

73.

【解析】设，由，得，则点的轨迹是以为圆心的单位圆．

因为，所以．

问题可以转化为：

定点与圆上动点的距离的最大值．

74.

【解析】设，因为，所以，得．所以，所以，当时，在处取到最小值，在处取到最大值；在处取到最小值，在处取到最大值．

故的取值范围为．

75.，

【解析】如图，以直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，则，，，，．

设（），则，．

（i）．

（ii），．

由（i）及已知，得，

解得，

所以．

因此，当时，的最大值为．

76.

77.

【解析】设，不妨设在第二象限，在第三象限，则可得，，由可得点坐标为，由已知可得，所以又

由①②两式可得.因为在双曲线上，所以，从而可求得双曲线的离心率为.

78.①②③

【解析】①因为，，横坐标，