数值分析试题库与答案解析.docx
《数值分析试题库与答案解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数值分析试题库与答案解析.docx（39页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
数值分析试题库与答案解析
模拟试卷
（一）
一、填空题（每小题
3分，共30分）
1．有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是
次的.
1
5
2
3
2．设A
2
1
0
，x
4
，则A
=
.，x1=______.
1
4
2
2
3．已知y=f（x）的均差（差商）f[x0,x1,x2]
14
x2,x3
]
15
91
3
，f[x1
，f[x2,x3,x4]
，
8
3
15
f[x0,x2,x3]
f[x4,x2,x3]=
.
那么均差
3
7
16
2
4．已知n=4时Newton－Cotes
求积公式的系数分别是：
C0（4）
C1（4）
C2（4）
则
90
45
15
C3（4）＝
.
5．解初始值问题
y
f（x,y）
的改进的Euler
方法是
阶方法；
y（x0）
y0
5x1
3x2
0.1x3
3
6．求解线性代数方程组
2x1
6x2
0.7x3
2的高斯—塞德尔迭代公式为
，
x1
2x2
3.5x3
1
若取x（0）
（1,
1,1）,
则x
（1）
.
7．求方程x
f（x）根的牛顿迭代格式是
.
8．0（x）,
1（x）,
n（x）是以整数点x0,
x1,
xn,为节点的Lagrange
插值基函数，则
n
xkj（xk）=
.
k0
9．解方程组Ax
b的简单迭代格式x（k1）
Bx（k）
g收敛的充要条件是
.
10．设f（-1）
1f,
（0）
f0,
（1f）
1,，则f（x）
的三次牛顿插值多项式
为
，其误差估计式为
.
二、综合题（每题10分，共60分）
1．求一次数不超过
4次的多项式
p（x）满足：
p
（1）15，p
（1）
20，p
（1）30
p
（2）
57
，p
（2）
72
.
2．构造代数精度最高的形式为
1
xf（x）dx
A0f
（1）
A1f
（1）的求积公式，并求出
0
2
其代数精度.
3．用Newton法求方程x
lnx
2在区间（2,
xk
xk1
10
8.
）内的根,要求
xk
4．用最小二乘法求形如
y
abx2的经验公式拟合以下数据：
xi
19
25
30
38
yi
19.0
32.3
49.0
73.3
5．用矩阵的直接三角分解法解方程组
1
0
2
0
x1
5
0
1
0
1
x2
3
x3
.
1
2
4
3
17
0
1
0
3
x4
7
6试用数值积分法建立求解初值问题
y
f（x,y）
y（0）
的如下数值求解公式
y0
yn1
yn1
h（fn1
4fn
fn1），
3
其中fi
f（xi,yi）,
i
n
1,n,n1.
三、证明题（10分）
设对任意的x，函数f（x）的导数f（x）都存在且0m
f（x）M,对于满足
0
2
的任意
，迭代格式xk1
xk
f（xk）均收敛于f（x）
0的根x*.
M
参考答案
一、填空题
1．5；2.8,9;3.
91
16
5.二；
；4.
；
15
45
x1（k1）
6.x2（k1）x3（k1）
（33x2（k）
0.1x3（k））/5
（2
2x1（k1）
0.7x3（k））/6,（0.02，0.22，0.1543）
（1
x1（k1）
2x2（k1））*2/7
7.
xk1
xk
xk
f（xk）;
8.
xj;9.
（B）1;
1
f
（xk）
10.
1x3
x2
1x,
f（4）（
）（x
1）x（x
1）（x2）/24
（1,2）
6
6
二、综合题
1．差商表：
1
15
20
1
15
15
20
7
1
15
22
1
42
8
2
57
30
72
2
57
p（x）
15
20（x
1）
15（x
1）2
7（x
1）3
（x
1）3（x
2）
5
4x3x2
2x3
x4
其他方法：
设p（x）
15
20（x
1）
15（x
1）2
7（x
1）3
（x
1）3（ax
b）
令p
（2）
57，p
（2）
72
，求出a和b.
2．取f（x）
1,x，令公式准确成立，得：
A0
A1
1
1
1
A0
1
1
.
A0
A1
A1
6
2
2
3
3
f（x）
x2时，公式左右
1
；f
（x）
x3时，公式左
1
公式右
5
4
5
24
∴公式的代数精度
2
.
3．此方程在区间（2,）内只有一个根s，而且在区间（2，4）内。
设f（x）xlnx2
则f'（x）
1
f''（x）
1
，Newton
法迭代公式为
1，
x2
x
xk1
xk
xk
lnxk
2
xk（1lnxk）
k
0,1,2,
1
1/xk
xk
1
，
取x0
3
，得s
x4
3.146193221。
4．
2
}
，
T
1
1
1
1
T
span{1,x
A
192
252
302
，y19.032.349.073.3.
382
解方程组
T
T
T
4
3330
，
AAC
Ay
，其中AA
3330
3416082
解得：
C
1.41665
0.0504305
所以a0.9255577，b0.0501025.
5．解设
1
0
2
0
1
1
0
2
0
0
1
0
1
l21
1
u22
u23
u24
1
24
3
l31
l32
1
u33
u34
0
1
0
3
l41
l42
l43
1
u44
由矩阵乘法可求出
uij和lij
1
1
l21
1
0
1
l31
l32
1
1
2
1
l41
l42
l43
1
0
1
0
1
1
0
2
0
1
0
2
0
u22
u23
u24
1
0
1
u33
u34
2
1
u44
2
1
y1
5
解下三角方程组
0
1
y2
3
1
2
1
y3
17
0
1
0
1
y4
7
有y15，y2
3，y3
6，y4
4.
1
0
2
0
x1
5
再解上三角方程组
1
0
1
x2
3
2
1
x3
6
2
x4
4
得原方程组的解为x1
1，x2
1，x3
2，x42.
x
6解初值问题等价于如下形式
取xxn1，有y（xn1）y（xn1）
利用辛卜森求积公式可得yn1yn
三、证明题
y（x）y（xn1）f（x,y（x））dx，
xn1
xn1
f（x,y（x））dx，
xn1
1
h（fn14fnfn1）.
3
证明
将f（x）
0
写成x
x
f（x）（x），
由于
（x）[x
f（x）]
1
f（x），所以|
（x）||1
f（x）|1
所以迭代格式xk
1
xk
f（xk）均收敛于f（x）
0的根x*
.
模拟试卷
（二）
一、填空题（每小题3分，共30分）
1．分别用2.718281和2.718282作数e的近似值，则其有效位数分别有位和
位；
1
0
2
1
2．设A1
1
0
，x
3，则A1=________，x2=
.
3
8
2
1
3．对于方程组
2x1
5x2
1
Jacobi迭代法的迭代矩阵是
GJ=________.
4x2
10x1
3
4．设f（x）x3
x
1，则差商
f0,1,2,3=__________，f
0,1,2,3,4
=_______.
1
2
5．已知A
则条件数Cond（A）_________.
0
1
1
f（x1）具有最高的代数精确度，则其求积
6．为使两点的数值求积公式
f（x）dxf（x0）
1
基点应为x0=__________，x1=__________
7．解初始值问题
y
f（x,y）
yk1
y（x0）y0
近似解的梯形公式是
8．求方程f（x）
0根的弦截法迭代公式是
1
xdx，取4
9.计算积分
位有效数字，用梯形公式计算求得的近似值是
，用辛
0.5
卜生公式计算的结果是
10．任一非奇异矩阵
A的条件数Cond（A）＝
，其Cond（A）一定大于等于
二、综合题（每题10分，共60分）
1证明方程1xsinx在区间[0,1]有且只有一个根，若利用二分法求其误差不超过
1104近似解，问要迭代多少次？
2
2已知常微分方程的初值问题：
dyx
1x1.2
dxy,
y
（1）2
试用改进的Euler方法计算y（1.2）的近似值，取步长h0.2.
3
3
5
x1
10
3
用矩阵的LDLT分解法解方程组
3
5
9
x2
16.
5
9
17
x3
30
4
用最小二乘法求一个形如
y
1
的经验公式，使它与下列数据拟合.
bx
a
x
1.0
1.4
1.8
2.2
2.6
y
0.931
0.473
0.297
0.224
0.168
x0.4y0.4z1
5设方程组0.4xy0.8z2，试考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯－赛德尔迭代
0.4x0.8yz3
法的收敛性。
4
1
1
6按幂法求矩阵A13
2的按模最大特征值的近似值，取初始向量
1
2
3
（0）
T
（2）
x
（1,0,0，）迭代两步求得近似值
即可.
三、证明题（10分）
已知求a（a
0）的迭代公式为：
xk1
1（xk
a）
x00k0,1,2
2
xk
证明：
对一切k
1,2,
xk
a，且序列xk是单调递减的，从而迭代过程收敛.
参考答案
一、填空题
0
2.5
1
1
1．6，7；2.9,11;3.
0
;4.1,0;5.9;6.
;
2.5
3
3
7.
yk
h
f（xk
1,yk1）];
[f（xk,yk）
2
8.
xk1
xk
f（xk）
（xkxk1）；9.0.4268,0.4309;10.A1A,1
f（xk）
f（xk
1）
二、综合题
1解令f（x）
1xsinx，则f0）（
10
，f
（1）
sin1
0，且f（x）
1
cos0x
故1
xsinx在区间[0,1]
内仅有一个根
x*.
利用二分法求它的误差不超过
1
104的近似解，则
|xk1
x*|
1
1
104
4ln10
2
2k1
2
解此不等式可得
k
13.2877
ln2
所以迭代
14次即可.
2、解：
k1
f（x0,y0）
0.5,k2
f（x1,y0
h1k）0.571429,
y1
y0
h（k1
k）220.1（0.50.571429）2.1071429
2
3
3
5
1
d1
1l21
l31
3解设35
9
l21
1
d2
1
l32
5
9
17
l31
l32
1
d3
1
利用矩阵乘法可求得
d1
3，d2
2
2
，l21
1，l31
5
2
，d3
，l32
3
3
1
y1
10
4
解方程组1
1
y2
16
得y1
10,
y26,y3
，
5
y3
30
3
3
2
1
5
d1
1
1
1
3
x1
1
10
再解方程组
1
2
x2
d2
6
得x1
1,x2
1,x32.
1
x3
d3
1
4
3
4解
令Y
1
，则Y
a
bx容易得出正规方程组
y
5
9
a
16.971
，解得
a
2.0535,
b
3.0265.
9
17.8
b
35.3902
故所求经验公式为
y
1
.
2.0535
3.0265x
5
解
升级会员 