动力学有限元.docx
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动力学有限元
6・2结构动力有限元法理论与模型
一、基本原理
在实际问题的求解中，应用最广的是基于位移的有限元素法。
此法的基本思想是把本来为连续的工程结构分割成在结点上相联的单元组合体。
取这些结点的位移为基本未知量，并假定每个单元中的位移用单元位移函数来描述，这实质上是假定了单元的模态。
在此基础上，利用能量变分原理进行单元分析的全结构分析，得到全结构的振动平衡方程，从而把连续体的动力学问题化为多自由度系统的振动问题。
有限元动力分析的基本过程是首先将工程结构离散化，通过选择合理的单元确定出分析模型，在此基础上选择位移函数，进行单元分析，确定单元的刚度、质量、阻尼、载荷矩阵，再经过坐标变换，通过能量变分原理，进行全结构分析，建立系统的振动平衡方程。
最后运用有限元数值方法进行方程的求解。
结构动力有限元法采用的单元位移函数与静力分析相同，基本原理和求解过程也与静力分析相同，不同之处仅在分析模型的确定与运动方程的建立方面。
二、动态分析模型的确定
由于结构动态分析中除考虑弹性力外，还要考虑惯性力和阻尼力，其运动方程是常微分方程组，所以动态分析的复杂程度高，计算工作量大，有限元分析模型要尽量精炼、简单。
1・模型确定的基本原则
•分析模型应与分析的目的相适应。
动力分析的目的各不相同，有的是为了提供固有特性计算动态响应或供控制系统用；有的是为了舱内提供振动环境。
不同的目的，通常要求不同的模态数与计算精度。
显然，用于估算基本固有频率的模型应当比计算冲击响应的模型简单。
用于设计计算的模型应当比用于校核计算的模型简单。
•分析模型要与选用的计算工具与计算条件相适应。
计算机软件种类日益丰富，选择分析模型要与所用程序、所用计算机容量相适应。
如对于容量大的计算机，可选用较为复杂的有限元模型，而对于容量小的计算机则在能反映结构动态性能的前提下尽量简化模型，使求解规模尽量小。
对于大模型，可选用子结构模型，采用模态综合方法求解。
应注意，不一定模型愈精细精度就愈高。
模型愈复杂，往往带来了更繁杂的运算。
虽然模型误差小了，但计算误差加大。
不恰当的精细模型反而得到不佳的结果。
•模型应正确反映结构的实际特性。
一个具体结构的动态特性，主要取决于质量、刚度的大小与分布，取决于结构边界条件与阻尼特性。
因此，模型应尽量保持整个飞行器、甚至各部件的质量、质心位置不变，保证构造的刚度特和传力路线基本不变。
真实反映分析对象的边界条件与阻尼特t生O因此，选取的单元应保持其几何形状、受力特性、变形特性与实际结构的几何形状特点、受力传力特点、变形特性相一致。
例如，对于薄壁结构翼面或舱段，不应选用板、壳单元来模拟蒙皮。
2.影响分析模型的主要因素
（1）刚度分布。
飞行器属于三维物体，但根据动态行为特征对于具有互相正交的两个对称面的飞行器，有时可按二维处
理；对于轴对称性强的导弹或发射器，当长细比很大时，往往可按一维模型处理。
但是当具有明显的局部非对称性或当因内部装载而引起严重耦合现象时，则需考虑采用三维模型。
刚度的具体模型可分为：
（8）冈IJ体一一刚度视为无穷大，如舱体内部设备在进行全弹固有特性分析时可视为刚体；
（b）集中刚度模型一一例如运载器级间连接接头或发动机连接支座处、设备支承处等简化为集中线弹簧或集中扭转弹簧（如图6・1所示）；
图6・1刚度集中分布模型示意图
（c）分段连续模型（有限元模型）
1—板；2—集中质量；3—线弹簧；4—梁。
对于刚度变化复杂，又不连续变化的复杂结构，常采用
分段连续体有限元模型（如图6-2所示）
图6-2刚度分段连续模型示意图
1—板；2—线弹簧。
（d）连续分布模型一一例如有限元素法的单元可采用杆、梁、板、壳等连续体。
有限元模型实际上是上述各种典型刚度模型的复合。
如多级运载器可简化为分段连续、各段间用集中刚度连接的复合模型
（如图6・3所示）°
图6・3动态分析模型示意图
（a）集中参数模型；（b）有限元模型。
1—板；2—梁；3—集中质量。
此外，舱体内部压力、轴向载荷、定轴旋转等，将在飞行器数学模型中引起附加修正刚度。
质量分布。
集中质量模型
将质量人为集中到选定的结点上。
质量矩阵是一个对角矩阵，其形式为
当质量均匀分布时，可将质量平均分配给各相矢结点上。
如果质量分布不均匀（如图6・4所示），较简便的方法是酌情规定各结点所分担的区域，然后再把各区域质量分配给各结点。
图6・4集中质量分配模型
因为此种质量矩阵是一个对角线矩阵，便于一维存贮和进行对称分解。
对于结构本身集中质量占相当优势的系统，或网格划分较细的系统可采用此模型。
（b）—致质量模型。
此类单元质量矩阵为
a
式中「质量密度；
匸一一单元位移函数矩阵。
它之所以被称为一致质量矩阵是因为建立刚度矩阵和质量矩阵所用的位移插值函数是一致的。
把所有单元质量矩阵叠加起来得到整个结构的总体质量矩阵。
一致质量矩阵总是正定满秩的。
飞行器往往存在非结构质量。
例如贮箱中液体晃动质量，对它无论是选用当量摆模型，还是采用弹簧质量系统，都要确定有效质量，一般以集中质量方式处理。
许多复杂结构常采用一致质量与集中质量的复合模型。
例如，图6-5所示为“土星W所采用的复合模型。
质量模型的选择通常要结合模型网格的疏密、单元的种类及结构特点，酌情决定。
一般说来，单元划分较细、结构包含的集中质量（例如内部设备或配重块）多，则采用集中质量为宜。
如果能用位移函数矩阵丁组成动态时单元的真实变形，则采用一致质量矩阵得到的固有频率与振型比较可靠，而且接近真实值的上界。
与一致质量矩阵相比，集中质量矩阵的形成以及以后的运算都比较方便，存储量少，但给出的固有频率往往偏低，振型计算的误差较一致质量矩阵的大。
总之，两种质量矩阵在计算精度上的优劣很难得出明确的结论。
（3）边界条件。
它包括全系统的边界条件和多级发射器级间的边界条件。
由于振型、频率对于边界条件很敏感，因而必须正确模拟边界条件，才能准确求得实际飞行器的动力分析结果。
自由、固支
边界条件较易解决，难处理的是弹性支撑条件。
发射器或导弹与发射架之间、其各级之间连接边界均属于弹性连接边界。
这些边界的支撑刚度对固有特性及动态响应的影响较大，一般均需通过地面静力实验来解决。
总之，一个好的分析模型的确定，依赖于综合考虑分析对象、采用的解法以及精度要求，综合平衡有效性与经济性，经过实验验证逐步修正，才能完善、合理地解决。
另外，对同一个飞行器，其飞行阶段不同，任务要求不同，一般要采用不同的分析模型。
如图6-5所示，其中30个自由度的集中质量一维模型，是在初步设计阶段和确定实验要求时采用的模型；而300个自由度的三维一维复合、集中质量一致质量复合模型，则是为确立控制系统敏感元件的位置和计算固有特,性而确定的分析模型。
今后，我们将连续模型以外的其他模型称为离散模型，因为它们都是用离散参数来描述动态性能的。
（t»）（£]（d）細
图6・5土星在不同设计阶段的动力学模型
（a）土星・V火箭；（b）梁•杆模型；（c）梁-杆・1/4壳模型；（d）1/4壳模型；（e）三维模型。
（3）合理地进行结点布置与单元划分
在具体实施模型化工作时，必须正确布置结点或分割线、分割剖面的位置，确定有限元网格，实现工程结构的离散化。
通常情况下，结点、分割线或分割剖面应置于结构几何形状、载荷以及材料特性突变处。
因此，结点位置宜取在以下位置：
・结构几何形状的拐点、结构开口处、厚度突变处；
・载荷作用点；
・应力集中点；
・结构的约束点或支承处；
・结构单元（部件或零构件）之间连接点；
・结构中主要受力元件之间的相交点（连接点）；
・要求输出位移或应力的点。
在进行网格划分时，首先应选择合理的单元。
可供选择的单元很多。
按形状分可分为一维、二维和三维单元，也可分为直线边单元和曲线边单元。
直线边单元计算简单，曲线边单元容易较好地拟合复杂几何形状，但计算工作量大。
另外，单元也有高低精度之分。
高精度单元虽然计算精度高，但自由度多,相应的计算规模大。
确定模型时,应该在满足精度要求的情况下,尽量选用简单的单元。
而在具体划分网格时应考虑以下内容：
•结构特性（几何形状、材料性能、边界条件等）和外力变化剧烈部位网格应相对较密。
•二维和三维单元在各方向的长度比应尽量接近于1，避免畸形单元。
例如三角形单元的边长比不应超过1:
3，多边形单元的相邻两边夹角不要接近180。
等。
・相邻单元的尺寸不宜相差太大。
・选取不同元素相组合时，应考虑同一结点上不同元素间自由度的协调。
•单元的疏密要视需要而定，除应力梯度大的区域夕卜，不应片面追求密网格，以减小计算规模。
对于大型复杂结构，可考虑先进行整体粗网格计算，再根据粗算结果，对应力梯度大的区域进一步加密网格进行“细算”。
•在条件合适时，应充分利用结构的对称性确定网格与模型，以减小计算规模。
・网格划分的结果应保证各单元的尺寸与单元的力学特性相符合。
例如，对于普通的板单元，其边长应远大于板厚；对于梁单元，通常梁的长度应远大于其截面尺寸。
如果出现了粗短梁，则应在单元分析中考虑剪切效应。
三、运动方程的建立
采用瞬时最小势能原理建立运动方程。
1•单元分析
取单元内任意一点的位移向量丿、为基本未知量，它是位置」和时间：
的函数。
由有限元素法知
曲f（如f）
（6-1）
而且
（6-2）
cr=De
（6-3）
式中j——单元位移插值函数矩阵，即位移函数矩阵；
%"）一单元结点位移向量；
「〔丁一一分别为应变、应力变量；
根据瞬时最小势能原理，系统在外力作用下，在满足位移边界条件和协调条件的所有位移场中，真实位移场必满足平衡条件并使总势能取极值，即有变分式而单元总势能■二为式中弹性体应变能；
——外载荷势能。
由弹性力学的基本理论，有
S1fff小刖Q=4/（川@DBS）免
（6-6）
3如皿
（6-7）
式中的第一项为体力项，第二项为外激励力项。
式中」一体力向量；
人……外激力向量。
而且
丄丄心'「丁（6-8）
式中L单元内力向量；
〔：
一一阻尼系数；
L，体积密度；
一一依次为速度向量与加速度向量。
将（6・1）式代入，考虑到%仅仅是时间一的函数，可得
匕二■衬（出矿加亠jffMC7Va-nn
（6-9）
川矿吨3）■训M晟
将（6-9）（6-6）式代入式（6・5）得单元总势能的表达式:
（6-10）
式中
Ce=[jjCiVTNdQ
17
Q
并依次称食」「•上丁约为单元的刚度矩阵、质量矩阵、阻尼矩阵、结点力向量。
考虑到在瞬时变分情况下:
（6-11）
则由式（6-4）得
首先进行坐标变换，通过有限元静力分析中采用的坐标变换矩阵丄得
（6-13）
式中
£%£K,=ZT
KfLF,=KF
电Cg—I»
CgL
设全结构具有的单元数为二，结点的全部自由度为N,则全结构的总势能一为
4]f-L
式中？
为全结构的结点位移向量，而刚度矩阵、质量矩阵、阻尼矩阵、结点力矩阵的集合（组装）采用
与静力分析相同的方法。
故全结构的各系数矩阵可写出
E
f_
C二迟E
£•1
F占严気
此时因为人对于结构来说是内力，所以在全结构的运动方程中不出现。
通过与单元分析相同的方法可
导岀全结构的运动方程为
上式表明在有限元素法中，系统的运动方程与多自由度情况相同。
因此，用有限元素法进行固有特性分析时，主振型方程也与多自由度情况相同。
系统的主振型方程有•坤・“0和并』两种形式，前者属于标准特征值问题，后者属于广义特征值问题。
式中i为特征值，0为特征向量。
因此，飞行器结构固有特性的有限元分析问题可以归结为数学上的特征值问题。
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