届高三理科数学一轮复习讲义教师用书第11讲 函数与方程.docx

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届高三理科数学一轮复习讲义教师用书第11讲函数与方程

第 8 讲函数与方程

1．函数的零点

（1）函数零点的定义：

对于函数 y＝f（x），把使 f（x）＝0 的实数 x 叫做函数 y＝f（x）的零点．

（2）三个等价关系：

方程 f（x）＝0 有实数根⇔函数 y＝f（x）的图象与 x 轴有交点⇔函数 y＝f（x）

有零点．

2．函数零点的判定

如果函数 y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f（a）· f（b）＜0，那么函

数 y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在 c∈（a，b），使得 f（c）＝0，这个 c 也就是 f（x）＝0 的

根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．

3．二次函数 y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象与零点的关系

Δ＞0Δ＝0Δ＜0

二次函数

y＝ax2＋

bx＋c

（a＞0）

的图象

与 x 轴

的交点

零点个数

（x1，0），（x2，0）

两个

（x1，0）

一个

无交点

零个

导师提醒

1．关注两个易错点

（1）函数的零点不是点，是方程 f（x）＝0 的实根．

（2）函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变

号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充

分不必要条件．

2．记牢三个结论

（1）若连续不断的函数 f（x）在定义域上是单调函数，则 f（x）至多有一个零点．

（2）连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．

（3）连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．

判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点．（）

（2）函数 y＝f（x）在区间（a，b）内有零点（函数图象连续不断），则 f（a）· f（b）<0.（）

（3）只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值． （）

（4）二次函数 y＝ax2＋bx＋c（a≠0）在 b2－4ac<0 时没有零点．（）

（5）若函数 f（x）在（a，b）上连续单调且 f（a）· f（b）<0，则函数 f（x）在[a，b]上有且只有一个零

点．（）

答案：

（1）×

（2）×（3）×（4）√（5）√

（教材习题改编）已知函数 y＝f（x）的图象是连续曲线，且有如下的对应值表：

x

y

1

124.4

2

35

3

－74

4

14.5

5

－56.7

6

－123.6

则函数 y＝f（x）在区间[1，6]上的零点至少有（）

A．2 个

C．4 个

B．3 个

D．5 个

解析：

 选 B.由零点存在性定理及题中的对应值表可知，函数f（x）在区间 （2，3），（3，4），

（4，5）内均有零点，所以 y＝f（x）在[1，6]上至少有 3 个零点．故选 B.

2

x

A．（1，2）

⎛1⎫

B．（2，3）

D．（4，＋∞）

2

3

B.

若函数 f（x）＝ax＋b 有一个零点是 2，那么函数 g（x）＝bx2－ax 的零点是（）

A．0，2

C．0，－

1

2

1

B．0，

2

D．2，－

1

2

1

2

（教材习题改编 ）函数 f（x）＝3x－7＋ln x 的零点位于区间 （n，n＋1）（n∈N ）内，则 n＝

________．

解析：

因为 f

（2）＝6－7＋ln 2＝ln 2－1<0，

f（3）＝9－7＋ln 3＝2＋ln 3>0，又 f（x）＝3x－7＋ln x 为增函数，所以函数 f（x）的零点位于区间

（2，3）内，故 n＝2.

答案：

2

函数零点所在区间的判断（自主练透）

1．设 f（x）＝ln x＋x－2，则函数 f（x）的零点所在的区间为（）

A．（0，1）

C．（2，3）

B．（1，2）

D．（3，4）

解析：

选 B.因为 f

（1）＝ln 1＋1－2＝－1＜0，f

（2）＝ln 2＞0，所以 f

（1）· f

（2）＜0，

因为函数 f（x）＝ln x＋x－2 的图象是连续的，且为增函数，所以 f（x）的零点所在的区间是（1，

2）．

2．若 a＜b＜c，则函数 f（x）＝（x－a）（x－b）＋（x－b）（x－c）＋（x－c）（x－a）的两个零点分别位于

区间（）

A．（a，b）和（b，c）内

C．（b，c）和（c，＋∞）内

B．（－∞，a）和（a，b）内

D．（－∞，a）和（c，＋∞）内

解析：

选 A.因为 a＜b＜c，所以 f（a）＝（a－b）（a－c）＞0，

f（b）＝（b－c）（b－a）＜0，f（c）＝（c－a）（c－b）＞0，

由函数零点存在性定理可知，在区间 （a，b），（b，c）内分别存在零点，又函数 f（x）是二次函

数，最多有两个零点．因此函数 f（x）的两个零点分别位于区间（a，b），（b，c）内，故选 A.

1

3．若 x0 是方程⎝2⎭ ＝x3的解，则 x0 属于区间（）

⎛2⎫

⎛11⎫

⎛1 2⎫

⎛ 1⎫

1

解析：

选 C.令 g（x）＝⎝2⎭ ，f（x）＝x3，

11 111 111 111 1

⎝2⎭ ⎝2⎭⎝2⎭ ⎝2⎭⎝3⎭ ⎝2⎭⎝3⎭ ⎝3⎭

30 2

1

3

⎛1⎫

⎛1⎫

⎛1⎫

⎛1⎫

11

33

1

⎝e⎭

法二：

 当 x∈⎝e⎭3x3x

⎝e⎭⎝e⎭3e33

区间（1，e）内．

确定函数零点所在区间的方法

（1）解方程法：

当对应方程 f（x）＝0 易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区

间上．

（2）图象法：

把方程转化为两个函数，看它的交点所在区间．

（3）利用函数零点的存在性定理：

 首先看函数 y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是否连续，再看

是否有 f（a）· f（b）＜0.若有，则函数 y＝f（x）在区间（a，b）内必有零点．

（4）数形结合法：

通过画函数图象，观察图象与 x 轴在给定区间上是否有交点来判断．

数为（）

A．1

C．3

函数零点的个数（师生共研）

（1）设函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x＞0 时，f（x）＝ex＋x－3，则 f（x）的零点个

B．2

D．4

⎪

⎧x2＋x－2，x≤0，

（2）（一题多解）函数 f（x）＝⎨的零点个数为（）

⎪⎩－1＋ln x，x＞0

A．3

C．7

B．2

D．0

【解析】 

（1）因为函数 f（x）是定义域为 R 的奇函数，所以 f（0）＝0，所以 0 是函数 f（x）的一个

零点．

当 x＞0 时，令 f（x）＝ex＋x－3＝0.

则 ex＝－x＋3.

分别画出函数 y＝ex 和 y＝－x＋3 的图象，如图所示，有一个交点，所以函数 f（x）在（0，＋∞）

上有一个零点．

又根据对称性知，当 x＜0 时函数 f（x）也有一个零点．

综上所述，f（x）的零点个数为 3.

⎧x≤0，

（2）法一：

由 f（x）＝0 得⎨

⎩x2＋x－2＝0

⎧x>0，

或⎨解得 x＝－2 或 x＝e.

⎩－1＋ln x＝0，

因此函数 f（x）共有 2 个零点．

法二：

函数 f（x）的图象如图所示，

由图象知函数 f（x）共有 2 个零点．

【答案】

（1）C

（2）B

判断函数零点个数的方法

（1）解方程法：

所对应方程 f（x）＝0 有几个不同的实数解就有几个零点．

（2）零点存在性定理法：

利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断．

（3）数形结合法：

 转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交

点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．

1．（一题多解）已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时，f（x）＝x2－3x，则函数 g（x）＝f（x）

－x＋3 的零点的集合为（）

A．{1，3}

C．{2－ 7，1，3}

B．{－3，－1，1，3}

D．{－2－ 7，1，3}

解析：

选 D.法一：

求出当 x＜0 时 f（x）的解析式，分类讨论解方程即可．

令 x＜0，则－x＞0，所以 f（－x）＝（－x）2＋3x＝x2＋3x.因为 f（x）是定义在 R 上的奇函数，所以

f（－x）＝－f（x）．所以当 x＜0 时，f（x）＝－x2－3x.所以当 x≥0 时，g（x）＝x2－4x＋3.令 g（x）＝0，即

x2－4x＋3＝0，解得 x＝1 或 x＝3.当 x＜0 时，g（x）＝－x2－4x＋3.令 g（x）＝0，即 x2＋4x－3＝0，

解得 x＝－2＋ 7＞0（舍去）或 x＝－2－ 7.所以函数 g（x）有三个零点，故其集合为{－2－ 7，1，

3}．

法二：

令 g（x）＝0，即 f（x）－x＋3＝0，

所以 f（x）＝x－3，

作 y＝f（x）与 y＝x－3 的图象，有 3 个交点．

y 轴右侧有 2 个交点，其零点为 1 或 3.

y 轴左侧零点 x＜－3.

结合各选项，D 项符合题意．

2．偶函数 f（x）满足 f（x－1）＝f（x＋1），且当 x∈[0，1]时，f（x）＝－x＋1，则关于 x 的方程 f（x）

＝lg（x＋1）在 x∈[0，9]上解的个数是（）

A．7

C．9

B．8

D．10

解析：

选 C.依题意得 f（x＋2）＝f（x），所以函数 f（x）是以 2 为周期的函数．在平面直角坐标系

中画出函数 y＝f（x）的图象与 y＝lg（x＋1）的图象（如图所示），

观察图象可知，这两个函数的图象在区间[0，9]上的公共点共有 9 个，因此，当 x∈[0，9]

时，方程 f（x）＝lg（x＋1）的解的个数是 9.

函数零点的应用（多维探究）

角度一根据函数零点个数求参数

⎛1⎫

A．（2，＋∞）

⎡5⎫

B．[2，＋∞）

⎡ 10⎫

⎪

⎧ex， x≤0，

（2）（2018· 高考全国卷Ⅰ）已知函数 f（x）＝⎨g（x）＝f（x）＋x＋a.若 g（x）存在 2 个零点，

⎪⎩ln x， x>0，

则 a 的取值范围是（）

A．[－1，0）

C．[－1，＋∞）

B．[0，＋∞）

D．[1，＋∞）

【解析】

⎛1 ⎫               1 ⎛1 ⎫

x

110

x⎝2⎭⎣3 ⎭

10⎫

（2）函数 g（x）＝f（x）＋x＋a 存在 2 个零点，即关于 x 的方程 f（x）＝－x－a 有 2 个不同的实根，

即函数 f（x）的图象与直线 y＝－x－a 有 2 个交点，作出直线 y＝－x－a 与函数 f（x）的图象，如图

所示，由图可知，－a≤1，解得 a≥－1，故选 C.

【答案】

（1）D

（2）C

角度二根据函数零点的范围求参数

2

x

A．（1，3）

C．（0，3）

B．（1，2）

D．（0，2）

所以 m＝g（x）－f（x）＝log （2x－1）－log （2x＋1）

（2）设函数 f（x）＝log2（2x＋1），g（x）＝log2（2x－1），若关于 x 的函数 F（x）＝g（x）－f（x）－m 在[1，

2]上有零点，则 m 的取值范围为________．

【解析】

（1）由题意，知函数 f（x）在（1，2）上单调递增，又函数一个零点在区间（1，2）内，

⎧f

（1）<0， ⎧－a<0，

所以⎨即⎨

⎩f

（2）>0， ⎩4－1－a>0，

解得 0

（2）令 F（x）＝0，即 g（x）－f（x）－m＝0.

22

＝log

2

2x－1

2x＋1

⎛ 2 ⎫

⎪.

因为 1≤x≤2，

所以 3≤2x＋1≤5.

52x＋1332x＋15

⎛2 ⎫

2 32 ⎝2x＋1⎭535

⎣2 32 5⎦

⎡13⎤

根据函数零点的情况求参数的方法

（1）直接法：

直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．

（2）分离参数法：

先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．

（3）数形结合法：

 先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结

合求解．

1．（2019· 石家庄质量检测）已知 M 是函数 f（x）＝|2x－3|－8sin π x（x∈R）的所有零点之和，则

M 的值为（）

A．3

C．9

B．6

D．12

解析：

选 D.将函数 f（x）＝|2x－3|－8sin πx 的零点转化为函数 h（x）＝|2x－3|与 g（x）＝8sin πx

图象交点的横坐标．在同一平面直角坐标系中，画出函数 h（x）与 g（x）的图象，如图，因为函数

3

2

点之和 M＝8×3＝12，故选 D.

2

⎧ex－a，x≤0，

2．（2019· 郑州模拟）已知函数 f（x）＝⎨（a∈R），若函数 f（x）在 R 上有两个零点，

⎪2x－a，x＞0

则实数 a 的取值范围是（）

A．（0，1]

C．（0，1）

B．[1，＋∞）

D．（－∞，1]

解析：

选 A.画出函数 f（x）的大致图象如图所示．因为函数 f（x）在 R 上有两个零点，所以 f（x）

在（－∞，0]和（0，＋∞）上各有一个零点．当 x≤0 时，f（x）有一个零点，需 0＜a≤1；当 x＞0

时，f（x）有一个零点，需－a＜0，即 a＞0.综上，0＜a≤1，故选 A.

利用转化思想求解函数零点问题

⎧⎪x2－1，x＜1，

（1）已知函数 f（x）＝⎨log x，x≥1， 若关于 x 的方程 f（x）＝k 有三个不同的实根，则实

1

2

数 k 的取值范围是______．

（2）若关于 x 的方程 22x＋2xa＋a＋1＝0 有实根，则实数 a 的取值范围为________．

【解析】

（1）

关于 x 的方程 f（x）＝k 有三个不同的实根，等价于函数 y ＝f（x）与函数 y ＝k 的图象有三个不

12

同的交点，作出函数的图象如图所示，由图可知实数 k 的取值范围是（－1，0）．

（2）由方程，解得 a＝－

22x＋1

2x＋1

，设 t＝2x（t＞0），

t2＋1⎛

则 a＝－＝－çt＋⎪

t＋1⎝t＋1⎭

＝2－⎢（t＋1）＋

⎣

⎥，其中 t＋1＞1，

t＋1⎦

由基本不等式，得（t＋1）＋ 2 ≥2 2，

t＋1

当且仅当 t＝ 2－1 时取等号，故 a≤2－2 2.

【答案】

（1）（－1，0）

（2）（－∞，2－2 2]

（1）函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，利用数形结合求解参数范围．

（2）“a＝f（x）有解”型问题，可以通过求函数 y＝f（x）的值域解决．

⎧⎪|x2＋5x＋4|，x≤0，

已知函数 f（x）＝⎨若函数 y＝f（x）－a|x|恰有 4 个零点，则实数 a 的取值范

⎩

⎪2|x－2|，x＞0

围为________．

解析：

在同一平面直角坐标系内画出函数 y＝f（x）和 y＝a|x|的图象可知，若满足条件，则 a

＞0.

当 a≥2 时，在 y 轴右侧，两函数图象只有一个公共点，

此时在 y 轴左侧，射线 y＝－ax（x≤0）与抛物线 y＝－x2－5x－4（－4＜x＜－1）需相切．

⎧y＝－x2－5x－4，

由⎨消去 y，

⎩y＝－ax

得 x2＋（5－a）x＋4＝0.

由 Δ＝（5－a）2－16＝0，解得 a＝1 或 a＝9.

a＝1 与 a≥2 矛盾，a＝9 时，切点的横坐标为 2，不符合题意．

当 0＜a＜2，此时，在 y 轴右侧，两函数图象有两个公共点，若满足条件，则－ a＜－1，即

a＞1.故 1＜a＜2.

答案：

（1，2）

[基础题组练]

⎛1⎫⎛1⎫

在区间[－1，1]内（）

A．可能有 3 个实数根

C．有唯一的实数根

B．可能有 2 个实数根

D．没有实数根

⎛1⎫ ⎛1⎫

⎣22⎦

2．设 f（x）＝3x－x2，则在下列区间中，使函数 f（x）有零点的区间是（）

A．[0，1]

C．[－2，－1]

B．[1，2]

D．[－1，0]

2

3

f

1）·（0）＜0.

南

3．（一题多解）（2019·宁模拟）设函数 f（x）＝lnx－2x＋6，则 f（x）零点的个数为（）

A ．3

C ．1

B ．2

D ．0

1－2x

xx

1

2222

111

2ee102

＝5－ln 2＞0，f（e ）＝8－2e2＜0，

所以函数 f（x）在

1  1   1

2 2

法二：

令 f（x）＝0，则 ln x＝2x－6，令 g（x）＝ln x，h（x）＝2x－6（x＞0），在同一平面直角坐标

系中画出这两个函数的图象，如图所示，两个函数图象的交点个数就等于函数 f（x）零点的个数，

容易看出函数 f（x）零点的个数为 2，故选 B.

1 x

3

4．已知函数 f（x）＝ 5 －log x，若 x0 是函数 y＝f（x）的零点，且 0＜x1＜x0，则 f（x1）的值（）

A ．恒为正值

C ．恒为负值

B ．等于 0

D ．不大于 0

1 x

＞f（x ）．又 x 是函数 f（x）的零点，因此 f（x ）＝0，所以 f（x ）＞0，即此时 f（x ）的值恒为正值，故选

00011

A.

5．已知函数 f（x）＝

（）

0，x≤0，

ex，x＞0，

则使函数 g（x）＝f（x）＋x－m 有零点的实数 m 的取值范围是

A ．[0，1）

C ．（－∞，1]∪（2，＋∞）

B ．（－∞，1）

D ．（－∞，0]∪（1，＋∞）

解析：

选 D.函数 g（x）＝f（x）＋x－m 的零点就是方程 f（x）＋x＝m 的根，画出 h（x）＝f（x）＋x＝

⎧x，x≤0，

⎨

⎩ex＋x，x＞0

的大致图象（图略）．观察它与直线 y＝m 的交点，得知当 m≤0 或 m＞1 时，有交

点，即函数 g（x）＝f（x）＋x－m 有零点．

6．（2019· 安徽黄山一模）已知函数 f（x）＝e|x|＋|x|.若关于 x 的方程 f（x）＝k 有两个不同的实根，

则实数 k 的取值范围是（）

A．（0，1）

C．（－1，0）

B．（1，＋∞）

D．（－∞，－1）

解析：

选 B.方程 f（x）＝k 化为方程 e|x|＝k－|x|.令 y＝e|x|，y＝k－|x|，y＝k－|x|表示过点（0，k），

斜率为 1 或－1 的平行折线系，折线与曲线 y＝e|x|恰好有一个公共点时，有 k＝1.若关于 x 的方程

f（x）＝k 有两个不同的实根，则实数 k 的取值范围是（1，＋∞）．

⎛1⎫x

________．

解析：

如图，作出 g（x）＝⎝2⎭

以函数 f（x）在[0，2π]上的零点个数为 3.

答案：

3

8．函数 f（x）＝⎝2⎭

解析：

可转化为两个函数 y＝⎝2⎭

为两个函数均关于 x＝1 对称，所以两个函数在 x＝1 两侧的交点对称，则每对对称点的横坐标的

和为 2，分别画出两个函数的图象易知两个函数在 x＝1 两侧分别有 5 个交点，所以 5×2＝10.

答案：

10

9．若函数 f（x）＝（m－2）x2＋mx＋（2m＋1）的两个零点分别在区间 （－1，0）和区间（1，2）内，

则 m 的取值范围是________．

⎧⎪m≠2，

解析：

依题意，结合函数 f（x）的图象分析可知 m 需满足⎨f（－1）· f（0）＜0，

⎩

⎪f

（1）· f

（2）＜0，

⎧⎪m≠2，

即⎨[m－2－m＋（2m＋1）]（2m＋1）＜0，

⎪⎩[m－2＋m＋（2m＋1）][4（m－2）＋2m＋（2m＋1）]＜0，

11

42

⎛11⎫

⎧⎪－x2－2x＋3，x≤1，1

2

数根，则实数 k 的取值范围是________．

11

22

有 4 个交点．作出函数 f（x）的图象，如图，故点（1，0）在直线 y＝kx－1的下方．所以 k·1－1＞0，

22

2

1

2

2mm

时，k＝ 1 ＝ e，f（x）的图象和直线 y＝kx－1有 3 个交点，不满足条件，故要求的 k 的取值范围是

me2

⎝2e ⎭

⎛1e⎫

2e ⎭

⎪1⎪

（1）作出函数 f（x）的图象；

11

ab

（3）若方程 f（x）＝m 有两个不相等的正根，求 m 的取值范围．

解：

（1）如图所示．

⎪1⎪

＝⎨

x

⎩1－1，x∈（1，＋∞），

故 f（x）在（0，1]上是减函数，而在（1，＋∞）上是增函数，

由 0

且1－1＝1－1，所以1＋1＝2.

abab

（3）由函数 f（x）的图象可知，当 0

4x

⎪⎩x＋1，x≤0.

（1）求 g（f

（1））的值；

（2）若方程 g（f（x））－a＝0 有 4 个实数根，求实数 a 的取值范围．

解：

（1）利用解析式直接求解得 g（f

（1））＝g（－3）＝－3＋1＝－2.

（2）令 f（x）＝t，则原方程化为 g（t）＝a，易知方程 f（x）＝t 在 t∈（－∞，1）内有 2 个不同的解，

则原方程有 4 个解等价于函数 y＝g（t）（t<1）与 y＝a 的图象有 2 个不同的交点，作出函数 y＝

5

4

5

⎣4⎭

[综合题组练]

1．（应用型）已知函数 f（x）＝2x＋x，g（x）＝log2x＋x，h（x）＝x3＋x 的零点依次为 a，b，c，则

a，b，c 的大小关系为（）

A．a＜b＜c

C．a＞b＞c

B．a＜c＜b

D．c＞a＞b

可知 a＜0，g（x）＝log x＋x 的零点 b 为函数 y＝log x 与 y＝－x 图象的交点的横坐标，由图象（图

解析：

选 B.f（x）＝2x＋x 的零点 a 为函数 y＝2x 与 y＝－x 图象的交点的横坐标，由图象（图略）

22

略）知 b＞0，令 h（x）＝0，得 c＝0.故选 B.

2．（创新型）（2019· 兰州模拟）已知奇函数 f（x）是 R 上的单调函数，若函数 y＝f（2x2＋1）＋f（λ－

x）只有一个零点，则实数 λ 的值是（）

8

1

A.

4

C．－

7

8

1

B.

D．－

3

8

解析：

选 C.因为函数 y＝f（2x2＋1）＋f（λ－x）只有一个零点，所以方程 f（2x2＋1）＋f（λ－x）＝0

只有一个实数根，又奇函数 f（x）是定义在 R 上的单调函数，所以 f（－x）＝－f（x），所以 f（2x2＋1）

＋f（λ－x）＝0⇔f（2x2＋1）＝－f（λ