迭代法求解线性方程组的研究.docx
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迭代法求解线性方程组的研究
迭代法求解线性方程组的研究
【摘要】:
本文总结了解线性方程组的三个迭代法，Jacobi迭代法，Gauss-seidel迭代法，SOR迭代法，并且介绍了现代数值计算软件MATLAB在这方面的应用，即分别给出三个迭代法的数值实验。
【关键字】:
Jacobi迭代法Gauss-seidel迭代法SOR迭代法数值实验
一．引言
迭代法是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法，它是解高阶稀疏方程组的重要方法。
迭代法的基本思想是用逐次逼近的方法求解线性方程组。
设有方程组
…①
将其转化为等价的，便于迭代的形式
…②
（这种转化总能实现，如令
）,
并由此构造迭代公式
…③
式中B称为迭代矩阵，f称为迭代向量。
对任意的初始向量
，由式③可求得向量序列
，若
，则
就是方程①或方程②的解。
此时迭代公式②是收敛的，否则称为发散的。
构造的迭代公式③是否收敛，取决于迭代矩阵B的性质。
本文介绍三种解线性方程组的最主要的三种迭代法：
Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法和SOR迭代法。
本文结构如下：
第二部分介绍Jacobi迭代法及其数值实验，第三部分介绍Gauss-Seidel迭代法及其数值实验，第四部分介绍SOR迭代法及其数值实验，第五部分总结。
二．雅克比（Jacobi）迭代法
1.雅克比迭代法的格式
设有方程组
…①
矩阵形式为
设系数矩阵A为非奇异矩阵，且
从式①中第i个方程中解出x，得其等价形式
…②
取初始向量
，对式②应用迭代法，可建立相应的迭代公式：
…③
也可记为矩阵形式：
…④
若将系数矩阵A分解为A=D-L-U，式中
，
，
。
则方程Ax=b变为
得
于是
于是式中④中的
。
式③和式④分别称为雅克比迭代法的分量形式和矩阵形式，分量形式用于编程计算，矩阵型式用于讨论迭代法的收敛性。
2.雅克比迭代法的程序
雅克比迭代法的MATLAB函数文件
agui＿jacobi.m如下。
Functionx=agui＿jacobi（a,b）
%a为系数矩阵，b为右端向量，
为初始向量（默认为零向量）
%e为精度（默认为1e-6）,n为最大迭代次数（默认为100）
x为返回解向量。
n=length（b）；
N=100;
e=1e-6;
x0=zeros（n,1）;
x=x0;
x0=x+2*e;
k=0;
d=diag（diag,0）;
1=-tril（a,-1）;
u=-triu（a,1）;
whilenorm（x0-x,inf）>e&kk=k+1;
x0=x;
x=inv（d）*（l+u）*x+inv（d）*b;
k
disp（
）
end
ifk=Nwarning（‘以达到最大迭代次数’）;end
3.数值例子
用雅克比迭代法求解如下线性方程组。
解：
在MATLAB命令窗口求解例题
>>a=［10-12;-110-2;-1-15］
a=
10-12
-110-2
-1-15
>>b=［72;83;42］
b=
72
83
42
>>x=agui＿jacobi（a,b）
计算结果为：
k=1
7.200000000000008.300000000000008.40000000000000
k=2
9.71000000000000010.7000000000000011.50000000000000
…
k=16
10.9999996844967011.9999996844967012.99999962583317
x=
10.99999968449670
11.99999968449670
12.99999962583317.
三．高斯—赛德尔（Gauss-Seidel）迭代法
1.高斯—赛德尔迭代法的格式。
雅克比迭代法的优点是公式简单，迭代矩阵容易计算。
在每一步迭代时，用
的全部分量求出
的全部分量，因此称为同步迭代法，计算时需保留两个近似解
和
。
但在雅克比迭代过程中，对已经计算出的信息未能充分利用，即在计算第i个分量
时，已经计算出的最新分量
没有被利用。
从直观上看，在收敛的前提下，这些新的分量
应比旧的分量
更好，更精确一些。
因此，如果每计算出一个新的分量便立即用它取代对应的旧分量进行迭代，可能收敛的速度更快，并且只需要储存一个近似解向量即可。
据此思想可构造高斯—赛德尔（Gauss-Seidel）迭代法，其迭代公式为
（i=1,2,…,n）
也可以写成矩阵形式
仍将系数矩阵A分解为
则方程组变为
得
将最新分量代替为旧分量，得
即
于是有
所以
因为高斯—赛德尔迭代法比雅克比迭代法收敛快，这个结论在多数情况下是成立的，但也有相反的情况，即高斯—赛德尔迭代法比雅克比迭代法收敛慢，甚至还有雅克比迭代法收敛，高斯—赛德尔迭代法发散的情形。
2.高斯—赛德尔迭代法的程序
高斯—赛德尔迭代法在MATLAB的函数文件agui_GS.m如下
Functionx=agui_GS（a,b）
%a为系数矩阵，b为右端向量，x0为初始向量（默认为零向量）
%e为精度（默认为1e-6）,N为最大迭代次数（默认为100），x为返回解向量
n=length（b）;
N=100;
e=1e-6;
x0=zeros（n,1）;
x=x0;
x0=x+2*e;
k=0;
a1=tril（a）;
a2=inv（a1）;
whilenorm（x0-x,inf）>e&kk=k+1;
x0=x;
x=-a2*（a-a1）*x0+a2*b;
formatlong
k
disp（
）
end
ifk=Nwarning（‘已达到最大迭代次数’）；end
4.数值例子
在MATLAB命令窗口求解例1
解：
>>a=［10-12;-110-2;-1-15］
a=
10-12
-110-2
-1-15
>>b=［72;83;42］
b=
72
83
42
>>x=agui_GS（a,b）.
计算结果为：
k=1
7.200000000000009.0200000000000011.64400000000000
k=2
10.4308000000000011.6718800000000012.82053600000000
k=3
10.9999999654565311.9999999788305012.99999998885741
x=
10.99999996545653
11.99999997883050
12.99999998885741
三．超松弛（SOR）迭代法
1.超松弛迭代法的格式
超松弛迭代法（SuccessiveOverRelaxationMethod,SOR方法）是高斯—赛德尔迭代法的一种改进，是解大型稀疏方程组的有效方法之一。
设已知第k次迭代向量
，及第k+1次迭代向量的前i-1个分量
，（j=1,2,…i-1）,现在研究如何求向量
的第i个分量
。
首先，有高斯—赛德尔迭代法求出一个值，记为
（i=1,2,…n）
再将第k次迭代向量的第i个分量
与
进行加权平均，
得
，即：
于是的SOR迭代公式
（i=1,2,…n）…①
或
（i=1,2,…n）…②
当
=1时，式①即为高斯—赛德尔迭代法；
当0<
<1时，式①称为低松弛方法，当某些方程组用高斯—赛德尔迭代法不收敛时，可以用低松弛方法获得收敛；
当
>1时，式①称为超松弛方法，可以用来提高收敛速度。
将式②写成矩阵的形式，得：
即
于是得SOR迭代的矩阵表示
式中
2.SOR迭代法的程序
SOR迭代法的MATLAB函数文件agui_SOR.m如下
functionx=agui_SOR（a,b,omg）
%a为系数矩阵，b为右端向量，x0为初始向量（默认为零向量）
%e为精度（默认为1e-6）,N为最大迭代次数（默认为100）
%omg为松弛因子，x为返回解向量。
n=length（b）;
N=100;
e=1e-6;
x0=x+2*e;
k=0;
L=tril（a,-1）;
U=triu（a,1）;
Whilenorm（x0-x,inf）>e&kk=k+1;
x0=x;
fori=1:
n
x1（i）=（b（i）-L（i,1:
i-1）*x（1:
i-1,1）-U（i,i+1:
n）*x0（i+1:
n,1））/a（i,i）;
x（i）=（1-omg）*x0（i）+omg*x1（i）;
end
formatlong
k
disp（
）
end
ifk==Nwarning（‘已达到最大迭代次数’）；end
3.数值例子
在MATLAB命令窗口求解下方程：
=
解：
>>a=[4-2-4;-21710;-4109]
a=
4-24
-21710
-4109
>>b=[10;3;7]
b=
10
3
-7
取松弛因子为1.46，得
>>x=agui_SOR（a,b,1.46）
k=1
3.650000000000000.88458823529412-0.2021980392157
k=2
2.321669098039220.42309393550173-0.22243214861566
……
k=20
1.999997990284351.00000077908772-1.00000253133178
k=21
1.999997797458841.00000143726811-1.00000259636013
x=
1.99999779745884
1.00000143726811
-1.00000259636013
取松弛因子为1.即用高斯—赛德尔迭代法则需迭代90次，得
>>x=agui_SOR（a,b,1.0）
k=1
2.500000000000000.47058823529412-0.189********013
k=2
2.494660173437570.64588531811546-0.38669027637825
……
k=90
2.000005531926800.99999608340497-0.99999318959361
x=
2.00000553192680
0.99999608340497
-0.99999318959361
四．总结
以上几种解线性方程组的迭代法主要用于解高阶稀疏矩阵方程组，其特点是：
占用内存少，程序设计简单，原始系数矩阵在计算过程中始终不变。
但存在收敛性和收敛速度的问题。
Jacobi迭代法也称简单迭代法，其基本思想是从方程组的第i个方程求出
，并建立相应的迭代公式求出
，Gauss-Seidel迭代法在Jacobi迭代法的基础上进行了改进，再求
时，用已求出的
—
新值代替旧值，因此也称异步迭代法。
在二者都收敛时，Gauss-Seidel迭代法的收敛速度较快，所以，应用比较广泛。
SOR迭代法的松弛因子选择的恰当，收敛速度更快，对一些特殊的方程组，选择松弛因子已有成熟的公式和经验，因此，SOR迭代法应用也比较广泛。
参考文献
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SolutionOfLinearEquationsOfIterationWithTheExperimental
Abstract:
Thissummaryunderstandingoflinearequationsthreeiteration,jacobiiteration,gauss-seideliteration,SuccessiveOverRelaxationMethod,andintroducemodernnumericalsoftwarematlabinthisrespect,whichweregiventhreeiterationofnumericalexperiments
Keywords:
Jacobiiteration,gaussseideliteration,SuccessiveOverRelaxationMethod,experiments
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