数字图像处理平滑滤波频率滤波器.docx

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数字图像处理平滑滤波频率滤波器

平滑的频域滤波器

边缘和其他尖锐变化（如噪声）在图像的灰度级中主要处于傅里叶变换的高频部分。

因此，平滑（模糊）可以通过衰减指定图像傅里叶变换中高频成分的范围来实现。

在频率域中，基本的滤波“模型”由式（4.2.27）给出，在这里为方便起见再次给出:

（4.3.1）

其中，F（u,v）是被平滑的图像傅里叶变换。

目标是选择一个滤波器变换函数H（u,v）以通过衰减F（u,v）的高频成分产生G（u，v）。

所有在本节中进行的滤波都基于4.2.3节中指出的过程，包括使用“零相移”的滤波器。

这里考虑三种滤波器：

理想滤波器、巴特沃思滤波器和高斯滤波器。

这三种滤波器涵盖了从非常尖锐（理想）到非常平坦（高斯）范围的滤渡器函数。

巴特沃思滤波器有一个参数，称为滤波器的“阶数”。

当此参数的值较高时，巴特沃思滤渡器接近理想滤波器。

因此，巴特沃思滤波器可看做两种“极端”滤波器的过渡。

一．理想低通滤波器

所想像的最简单的低通滤波器是“截断”傅里叶变换中所有高频成分，这些成分处在距变换原点的距离比指定距离D0要远得多的位置。

这种滤波器称为二维理想低通滤渡器（ILPF），其变换函数为：

（4.3.2）

其中，D0是指定的非负数值，D（u,v）是（u,v）点距频率矩形原点的距离。

如果要研究的图像尺寸为M×N，它的变换也有相同的尺寸，所以如式（4.2.21）中讨论的那样，由于变换被中心化了，所以，频率矩形的中心在（u,v）=（M／2,N／2）处。

在这种情况下，从点（u,v）到傅里叶变换中心（原点）的距离如下所示：

（4.3.3）

图4.l0（a）显示了H（u,v）作为u和v函数的三维透视曲线，图4.10（b）将H（u,v）作为图像显示。

“理想滤波器”的名称表明在半径为D0的圆内，所有频率段有衰减地通过滤波器，而在此半径的圆之外的所有频率完全被衰减掉。

在本章所考虑的滤波器是关于原点辐射状对称的。

这意味着从原点沿着半径线延伸的距离函数的横截面足以满足一个指定的滤波器．如图4.10（c）所示。

完整的滤波器变换函数可将此横截面绕着原点旋转360o来实现。

对于理想的低通滤波器横截面，在H（u,v）=1和H（u,v）=0之间的过渡点称为“截止频率”。

例如，在图4.10中，其截止频率为D0。

理想低通滤波器的这种陡峭的截止频率是不能用电子部件实现的，尽管它们可以在计算机上实现。

在数字图像中使用这些“非物理可实现’’的滤波器的作用将在本节后面的部分中讨论。

在本节中介绍的低通滤波器用具有相同截止频率的函数研究它们的特性而加以比较。

一种建立一组标准截止频率位置的方法是计算包含指定总图像功率值Px的范围。

这个值是将每个点（u,v）的功率谱成分相加得到的，其中u=0，l，2，…，M-l,v=0,1,2,…,N-1即：

（4.3.4）

其中，P（u,v）在式（4.2.20）中给出。

如果变换被中心化、原点在频率矩形的中心、半径为r的圆包含a％的功率，其中

（4.3.5）

总和取处于圆之内或边界线上的（u,v）值。

例4.4作为距DFT原点距离函数的图像功率

图4.l1（a）显示了在图3.35中用来说明空问模糊的测试模式。

这幅图像的傅里叶谱示于图4.11（b）。

在谱中叠加的圆周分别有5，15，30，80和230像素的半径（半径为5的圆周不易看见）。

这些圆周包围的图像功率的百分比分别为92.0％，94.6％，96.4％，98%和99.5％。

谱迅速衰落，92％的功率包含在相对较小的半径为5的圆周之内。

图4.12显示了应用图4.11（b）所示半径处截止频率的理想低通滤波器的结果。

图4.12（b）没有实际意义，除非在这种情况下模糊的目标是要消除图像的所有细节，只用“斑点”来代表最大的物体。

在此图像中严重的模糊表明，图像中多数尖锐的细节信息包含在被滤除掉的8％的功率之内。

随着滤波器半径的增加，越来趣少的功率被滤除掉，使得模糊减弱。

注意，在从图4.12（c）到（e）中都有“振铃”特征，而当被滤除的高频内容的数量减少时．图像的质量逐渐变好。

振铃是明显的，因为图像中只有2％的功率被除掉了。

这种振铃现象是理想滤波器的特性，稍后将进行解释。

最后，当a=99.5％时的观察结果在噪声区域内有非常小的模糊，大部分图像与原始图像非常接近。

这表明在此特殊情况下，图像的边缘信息包含在0.5％以上的谱功率中。

从这个例子中，可以清楚地看到理想低通滤波器非常不实用。

然而，因为理想滤波器可以在计算机上实现，所以作为滤波概念发展的一部分，研究滤波器的特性非常有用。

同时，如以下讨论所示，在试图解释ILPF在空间域的振铃特性时可以得到一些有趣的现象。

ILPF模糊和振铃特性可参考如4.2.4节讨论的卷积定理来解释。

原始图像f（x,y）傅里叶变换和模糊的图像g（x，y）在频率域中相互关联，如下式所示：

其中，与前面一样，H（u,v）还表示滤波器函数，而F和G分别是两个刚刚提到的图像的傅里叶变换。

卷积定理指出在空间域的相应过程：

其中h（x,y）是滤波器变换函数H（u,v）的反变换。

在空间域将模糊作为卷积过程来理解的关键是h（x,y）的特性。

例如，在前述例子产生模糊且半径为5的ILPF如图4.13（a）所示。

这是在频率域的函数H（u,v）。

空间滤波器函数h（x,y）可以通过标准方法获得：

（1）使H（x,y）乘以（-1）x+y，从而移到中心；

（2）然后紧接着做反傅里叶变换；（3）反DFT的实部乘以（-1）x+y。

图4.l3（b）显示了此过程的结果。

我们看到滤波器h（x,y）有两个主要特性：

在原点处的一个主要成分，及中心成分周围集中、呈周期性的成分。

中心成分主要决定模糊。

集中的成分主要决定了理想滤波器振铃现象的特性。

中心成分的半径和距原点每单位距离上周期的数量都与理想滤波器的截止频率值成反比。

在顶部的插图是通过空间滤波器中心的水平扫描线的灰度级剖面线。

所示的轴表明了零幅度，所以，我们看到空间域滤波器有负值。

通常这不是严重的问题，因为较大的中心成分决定着卷积的结果。

然而，被滤波的图像能够有负值，因此通常要求做标定。

下面，假定f（x,y）是一幅简单图像，它由在黑色背景下五个明亮的像素组成，如图4.13（c）所示。

这些明亮的点可被近似地看做冲激，其强度决定于点的亮度。

然后，h（x,y）和f（x,y）的卷积仅仅是在每个冲激处“复制”h（x,y）的过程，如4.2.4节中所述。

此操作的结果。

如图4.13（d）所示，解释了原始点如何通过f（x,y）和模糊滤波器函数h（x,y）的卷积而变模糊。

同样注意在此过程中对振铃的介绍。

事实上，振铃在此种情况下很严重，以至于由相互之间的干扰而产生畸变。

这些概念被扩展到更复杂的图像上，这里，考虑将每个像素作为一个脉冲，而且其强度与像素的灰度级成比例。

图4.13底部的插图显示了通过被滤波图像中心的对角扫描线的灰度级剖面线。

H（u,v）和h（x,y）之间的互易性及刚刚讨论的卷积过程，在数学上解释了为什么模糊和振铃比频率域上的窄带滤波更为严重。

这种互易特性应成为读者惯用的方式。

在后面两节中将说明有可能出现很少振铃或没有振铃的模糊，这是我们主要的目标。

二．巴特沃思低通滤波器

n级巴特沃思低通滤波器（BLPF）的传递函数（且截止频率距原点的距离为D0）的定义如下：

（4.3.6）

其中，D（u,v）由式（4.3.3）给出。

其透视图、图像显示以及BLPF的径向横截面如图4.14所示。

不同于ILPF，BLPF变换函数在通带与被滤除的频率之间没有明显的截断。

对于有平滑传递函数的滤波器，定义一个截止频率的位置并使H（u,v）幅度降到其最大值的一部分。

在式（4.3.6）中，当D（u,v）=D0时，H（u,v）=0.5（从最大值1降到它的50％）。

例4.5巴特沃思低通滤波器

图4.15显示了将式（4.36）中的BLPF应用于图4.15（a）中的结果，其中n=2并且D0与图4.11（b）所示的5个半径相等。

与图4.12中所示的ILPF结果不同，这里注意到在模糊处理中作为增加的截止频率函数的平滑传递函数。

而且，用特殊的BLPF在任何图像处理过程中都不会出现振铃，这取决于低频和高频之间的滤波器的平滑过渡。

一个一阶的巴特沃思滤波器没有振铃。

在二阶中振铃通常很微小，但阶数增高时振铃便成为一个重要因素。

图4.16显示了不同阶数（具有5个像素的截止频率）的BLPF在空间表示上的有趣对比。

同时显示了通过每个滤波器中心的水平扫描线的灰度级剖面线。

这些滤波器是通过使用与图4.13（b）相同的过程获得并显示的。

为了便于比较，用伽马变换[参见式（3.2.3）]对图4.16中的图像进行了额外增强，以突出远离原点的成分。

阶数为l的BLPF[图4.16（a）]没有振铃和负值。

二阶的BLPF显示了轻微的振铃和较小的负值，但它们远没有ILPF明显。

如其余图像显示的那样，在BLPF中，振铃对高阶滤波器很明显。

一个20阶的巴特沃思滤渡器已经呈现出ILPF的特性，这可以从图4.16（d）和图4.13（b）的比较中看出。

在此限制F，两种滤波器完全相同。

总之，二阶的BLPF是在有效的低通滤波和可接受的振铃特性之间的折中。

三．高斯低通滤波器

一维高斯低通滤波器（GLPF）在4.2.4节中已介绍过，用来帮助寻找空间域与频率域之间的重要联系。

这些滤波器的二维形式由下式给出：

（4.3.7）

其中，如在式（4.3.3）中那样，D（u,v）是距傅里叶变换原点的距离，假定已使用4.2.3节中的过程将变换移至频率区域的中心。

我们不使用4.2.4节中的滤波器前的常数，以使所有本节讨论的其他滤波器达到一致（即在原点处为1）。

如以前一样，σ表示高斯曲线扩展的程度。

使σ=D0，可以将滤波器表示为本节标记法下更为熟悉的形式：

（4.3.8）

其中，D0是截止频率。

当D（u,v）=D。

时，滤波器下降到它最大值的0.607处。

如4.2.4节中讨论的，高斯低通滤波器的傅里叶反变换也是高斯的。

我们已经看到作为分析工具这种函数特性的优点了。

这也意味着通过计算式（4.3.7）或式（4.3.8）的傅里叶反变换而得到的空间高斯滤波器将没有振铃。

其透视图、图像显示以及GLPF函数的径向横截面如图4.17所示。

例4.6高斯低通滤波器

图4.l8显示了将式（4.3.8）的GLPF应用到图4.18（a）的结果，并且D0等于图4.1（b）所示的5个半径。

如BLPF（图4.l5）的情况那样，注意到作为增大截止频率的函数在模糊中的平滑变换。

GLPF不能达到有相同截止频率的二阶BLPF的平滑效果，如比较图4.15（c）和图4.18（c）时我们所看到的。

这正如我们所料，因为GLPF的剖面线没有二阶BLPF的剖面线紧凑。

然而，结果可在总体上相比较，我们确信在GLPF中没有振铃。

这是实际中的一个重要特性，尤其是在人工图像（如医学图像）不太能接受的情况下。

在需要严格控制低频和高频之间截止频率的过渡的情况下，BLPF为更合适的选择。

额外控制滤波器剖面线的代价是可能产生振铃。

四．低通滤波的其他例子

为了说明和比较滤波效果，迄今为止已经给出了许多质量较好的图像。

在下边的讨论中将列出几个低通滤波的实际应用。

第一个例子来自机器感知领域，即字符识别应用；第二个例子来自印刷和出版业；第三个例子涉及处理卫星和航空图像。

图4.19显示了一幅低分辨率文本。

一些打印文本就类似这样，例如，传真、复印材料、历史记录等。

正如劣质文本那样，做像污点、折痕和断裂纸面那样的特殊取样并不困难。

图4.19（a）中的放大部分显示，在这一特殊文件中，字符由于分辨率不足有了失真形状，并且许多字符断裂了。

尽管人为填充这些裂缝在视觉上并不困难，但机器识别系统阅读这些断裂字符却很困难。

处理这类问题常用的方法是通过模糊输入图像桥接这些裂缝。

图4.19（b）显示了怎样使用D0=80的高斯低通滤波器的简单处理很好地修复字符。

图像尺寸为444×508像素。

低通滤波是印刷和出版业的主题，在这里作为预处理函数应用，包括如3.7.2节讨论过的去尖锐模板。

“美容”处理是在印刷中低通滤波的另一个应用。

如图4.20所示，应用低通滤波从一幅尖锐的原像产生了平滑、看上去很柔和的外观。

对于人脸，主要目的是减少皮肤细纹的锐化程度和小斑点。

图4.20（b）和（c）中的放大部分明显地显示出在这种特殊情况下有效地减少了眼睛周围的细纹。

事实上，平滑后的图像看上去十分柔和、美观。

图4.21显示了相同图像两种低通滤波的应用，但是具有不同目的。

图4.21（a）是一幅588×600的高分辨率辐射计（VHRR）图像，显示了墨西哥湾（暗的）和佛罗里达（亮的）的一部分，该图像取自NOAA卫星（注意水平传感器扫描线）。

水体间的边界是由环形气流引起的。

这幅图像是直观的遥感图像，传感器（对于多数传感器已超出了当前的讨论范畴）具有沿着一个方向产生突出扫描线的倾向，在该线上场景将被扫描。

低通滤波器是减少这些线的粗略但简单的方法，如图4．21（b）所示（在第5章将考虑更有效的方法）。

该图像由D0=30的高斯低通滤波器得到。

这里的目的是尽可能模糊更多的细节，而保留大的可识别特征。

例如,这种类型的滤波器对于图像分析系统是预处理的一部分，该系统寻找图像的边沿特征。

具有这些特征的一个例子可能是给定尺寸的湖[例如佛罗里达下面东部的奥基乔比湖，如图4.2l（c）所示的一个近似环形的暗区]。

低通滤波通过消除比感兴趣特征小的特征来简化分析。