向量的概念与性质.docx
《向量的概念与性质.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《向量的概念与性质.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
向量的概念与性质
向量的概念与性质
1.知识点
1.与向量概念有关的问题
⑴向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数量
可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小•记号“a>b”错了，而|a|
>|b|才有意义.
⑵有些向量与起点有关，有些向量与起点无关•由于一切向量有其共性（力和方向），故
我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）•当遇到与起点有关向量时，可平移向量
⑶平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是向
量相等的必要条件•
一・22
⑷单位向量是模为1的向量，其坐标表示为（x,y），其中x、y满足xy=1（可用（cos,sin）（0ww2n）表示）.
⑸零向量0的长度为0,是有方向的，并且方向是任意的，实数0仅仅是一个无方向的
实数•
⑹有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段
2•与向量运算有关的问题
⑴向量与向量相加，其和仍是一个向量•（平行四边形法则：
起点相同，三角形法则：
首
尾相连）
—►>—*—*
①当两个向量a和b不共线时，a
—»—¥■—*—1-
b的方向与a、b者E不相同，且|a
—a.—ft.f
b|v|a|+|b|;
——W
②当两个向量a和b共线且同向时，
—*
a
—►—►—W
b、a、b的方向都相同，且|a
b||a||b|;
③当向量a和b反向时，若|a|>|b|,
——「・f
ab与a方向相同，且|a
■f—
b|=|a|-|b|；
f—*—fc-—fc-
若|a|v|b|时,ab与b方向相同，
且
—w—■—w—r
|a+b|=|b|-|a|・
⑵向量与向量相减，其差仍是一个向量
.向量减法的实质是加法的逆运算
•（三角形法则：
起点相同，减向量重点指向被减向量的终点）
⑶围成一周首尾相接的向量（有向线段表示）的和为零向量
如，ABBCCA0,（在厶ABC中）
ABBCCDDA0•（口ABCD中）
⑷判定两向量共线的注意事项
如果两个非零向量a,b，使a=入b（入€R）,那么a//b；
反之，如a//b，且b丰0,那么a=Ab.
这里在“反之”中，没有指出a是非零向量，其原因为a=0时，与入b的方向规定为平行
（4）向量的数乘运算的定义：
数乘运算模的大小为：
rur
（5）当0,a与a的方向相同；
ruu
当0,a的方向与a的方向相反；
rr
当0,a0.
（6）数量积的8个重要性质（ababcos）
1两向量的夹角为0W量在其上的射影值，其射影值可正、可负、可以为零，故向量的数量积是一个实数
2设a、b都是非零向量，e是单位向量，是a与b的夹角，贝U
—►—F—*■*■
eaae|a|cos.（|e|1）
—r—fc-—r—*■
3abab0（v=90°,cos0）
4在实数运算中ab=0a=0或b=0.而在向量运算中ab=0a=0或b=0是错
■7F—"p
误的，故a0或b0是ab=0的充分而不必要条件.
—T—P-—»—
5当a与b同向时ab=|a||b|（=0,cos=1）;
当a与b反向时，ab=-|a||b|（=n,cos=-1），即a//b的另一个充要条件是
|ab||a||b|.
22
特殊情况有aaa=|a|
如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为（X1,y!
）,（x2,y2）,则
|a|=（人x2）2（%y2）2
6|ab||a||b|。
（因|cos
7数量积不适合乘法结合律.
如（ab）ca（bc）.（因为（ab）c与c共线，而a（bc）与a共线）
⑧数量积的消去律不成立
若a、b、c是非零向量且
bc并不能得到ab这是因为向量不能作除数,
是无意义的.
•课堂训练
A.
1个
B.
2个
C.3个
D.4个
11--[-（2a32
—ar
―k-
―■-
2.化简
8b）
（4a
2b）］的结果是
（
）
A.
2ab
B.
2ba
C.ba
D.ab
（
）
（2）7（a+b）—8b=7a+15b
⑷若a=m+n,b=4m+4n，则a〃b
1.下列各式计算正确的有
（1）（—7）6a=-42a
（3）a—2b+a+2b=2a
3.下列各式叙述不正确的是
A.若azd则a、b不共线（入€R）
B.
b=3a（a为非零向量），则a、b共线
3
C.若m=3a+4b,n=a+2b,则m//n
2
4.对于菱形ABCD，给出下列各式：
若a+b+c=0,贝Ua+b=-c
①ABBC
③|ABCD||ADBC|
②|AB||BC|
P2""2P2
④|AC|2|BD|24|AB|
其中正确的个数为
6.在△ABC中AB=AC,D、E分别是AB、AC的中点则
7.已知向量ei、e2不共线，实数x、y满足（3x-4y）ei+（2x-3y）e2=6ei+3e2则x-y的值等于
A.3
B.—3
C.
0
D.
2
&已知正方形
ABCD的边长为1,AB=a,
BC=
b,AC_c,则|a+b+c|等于
A.0
B.3
C.
2
D.
2.2
9•已知a、b是非零向量且满足（a2b）
a,（b
2a）b,
则a与b的夹角是
2
5
A.
B.
C.
D.
6
3
3
6
10.若非零向量
a,b互相垂直，则下列各式中
疋成立的疋
―I-—*
-t-—b
—*—r―ir
_p
A.ab
ab
B.
|ab||a
b|
（）
—¥■—li-
2
11.已知菱形ABCD的边长为2,求向量AB—CB+CD的模的长.。
12.已知|a|4,|b|3,a,b的夹角为120°，且ca2b,d2akb，当ca时，
k=.
向量的坐标形式
•知识点
若a（xi,yj,b化也）
特别地：
若a//b，贝H
若ab，贝H
rr
贝Hab
rr
ab
r
a=
rr
ab
r
a=
cos
uun
A（X,yi）,B（X2，y2）,AB
2.课堂训练
uuuuuuuuuUJU
1.已知AB（2,3）,BC（x,y）,CD（1,4）,则DA
2.设A（1,3）和B（8,1）,若点C（2a1,a2）在直线AB上，贝Ua
mj/nuwhiit
3.设点A（2,3）,B（5,4）,C（7,10）,点P满足APABAC（R）
（1）当时，点P在第一、三象限角平分线上；
（2）当时，点P在第四象限.
rrrr
4.已知向量a（1,1）,b（1.3,1,3）,则向量a与b的夹角为
5.设向量a（x,3）,b（2,1）,与01与b的夹角为钝角，则x的取值范围为
rrrrrr
6.已知向量a（3,1）,b（1,2）,若（2ab）（akb），则实数k=
rrrrrrrr
7•已知向量a（1,2）,b（x,1）,ia2b,v2ab，根据下列情形求x:
（1）若i//V_2）若iV.
rrrrrr一
8.已知向量a（1,2）,b（x,1）,右a2b与2ab平行，贝Vx=
rrrrrr
9.设向量a（3,4）,向量b满足b//a,b1,则b=
unJ
10.
11.平面内给定三个向量
在ABC中，已知AB（1,2）,AC（2,1），贝UABC的面积为
11.
a（3,2）,b（1,2）,c（4,1）.
（3）若akc//2ba，求实数k；
uurrruru
（4）设d（x,y）满足dc//ab且dc1,求d.
ririnririDitin
12.设向量aee2,b4e3e2,其中e（1,0）,◎（0,1）.
rrrr
（1）试计算ab及ab的值；
（2）求向量；与b夹角的大小
单元测试题
、选择题：
（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1、若向量方程2x3（x2a）0，则向量X等于
6r
a
5
B、6a
C、6a
D、
6r
a
2、两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的
位移向量分别为a和b，那么下列命题中错误的一个是
A、a与b为平行向量
C、a与b为共线向量
urnujuujur
3、ABBCAD
b、a与b为模相等的向量
D、a与b为相等的向量
uur
A、AD
uuiu
B、CD
uuur
C、DB
uujr
D、DC
4、下列各组的两个向量，平行的是
A、a（2,3），b（4,6）
B、a（1,2），b（7,14）
2）
G
rb
a（3,2）,
5、若P分AB所成的比为-，
4
则A分BP所成的比为
3
c7
3
7
A、-
B、
c、一
D、-
7
3
7
3
r
r
rr
&已知a（6,0），
b（5,5），
则a与b的夹角为
A、
45
0
B、600
C、1350
D、
1200
r
A、i
r
j1
B、
r2r2ij
r
rr
r
rr
C、i
〃ji
j
D、
ij0
uuu
r
unrr
8、如图,
在四边形
ABCD中,
设
AB
a，
ADb，D
；C
uuu
ruur
/\
BC
c，则DC
/
\
rrr
r
r
r
A、
abc
B、
b
（a
c）
A
B
小r
rr
r
r
r
C、a
bc
D、
b
a
c
7、已知r,j都是单位向量，则下列结论正确的是
9、a（2,1）,b（3,4）,则向量a在向量b方向上的投影为
D、10
A、2,5B、2C5
10、在ABC中，b3,c3.3,B300，则a
D、6或4
A、6B、3C、6或3
、填空题：
（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
11、已知M（3,2），N（1,0），则线段MN的中点P的坐标是。
12、设O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，下列向量组：
uuu一uuuuuu,uuuULD,UULTUUU一UUU
（1）AD与AB；
（2）DA与BC；（3）CA与DC；（4）OD与OB，
其中可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底的向量组可以是。
13、已知A（7,8），B（3,5），则向量AB方向上的单位向量坐标是。
UUUUUU
14、在ABC中，AC8，BC5，面积Sabc1^3，则BCCA=。
三、解答题：
（本大题共3小题，共44分）
15、已知a3，b（1^/3），
（1）若ab，求a；
（2）若a〃b，求a
16、已知a3，b4，a与b的夹角为寻，求©ab）（a2b）。
17、已知：
a（cos,sin）.b（cos,sin）求证：
a与b互相垂直
参考答案
一、选择题：
CDDDBCBABC
43
二、填空题：
11、（1,-1）12、
（1）、（3）13、（-,-）14、20
55
三、解答题
r3.33r“3,33r33.3r,33、3、
15、
（1）a（,—）或a（,-）
（2）a（—,）或a（-,）
22222222
16、37242
17.证明：
由已知条件得：
a+b=（cosa+cosB,sina+sin®
a—b=（cosa—cosp,sina—sin®
•（a+b）（a—b）=（cosa+cos®（cosa—cos®+（sina+sin®（sina—sinB）=cosa—
•（a+b）丄（a—b）.
升级会员 