高考数学理一轮复习题库32 第1课时导数与函数的单调性.docx

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高考数学理一轮复习题库32第1课时导数与函数的单调性

1．函数的单调性

在某个区间（a，b）内，如果f′（x）>0，那么函数y＝f（x）在这个区间内单调递增；如果f′（x）<0，那么函数y＝f（x）在这个区间内单调递减．

2．函数的极值

（1）一般地，求函数y＝f（x）的极值的方法

解方程f′（x）＝0，当f′（x0）＝0时：

①如果在x0附近的左侧f′（x）>0，右侧f′（x）<0，那么f（x0）是极大值；

②如果在x0附近的左侧f′（x）<0，右侧f′（x）>0，那么f（x0）是极小值．

（2）求可导函数极值的步骤：

①求f′（x）；

②求方程f′（x）＝0的根；

③考察f′（x）在方程f′（x）＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值．

3．函数的最值

（1）在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．

（2）若函数f（x）在[a，b]上单调递增，则f（a）为函数的最小值，f（b）为函数的最大值；若函数f（x）在[a，b]上单调递减，则f（a）为函数的最大值，f（b）为函数的最小值．

（3）设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，求f（x）在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：

①求函数y＝f（x）在（a，b）内的极值；

②将函数y＝f（x）的各极值与端点处的函数值f（a），f（b）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．

【知识拓展】

1.在某区间内f′（x）>0（f′（x）<0）是函数f（x）在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件．

2.可导函数f（x）在（a，b）上是增（减）函数的充要条件是对∀x∈（a，b），都有f′（x）≥0（f′（x）≤0）且f′（x）在（a，b）上的任何子区间内都不恒为零．

3.对于可导函数f（x），f′（x0）＝0是函数f（x）在x＝x0处有极值的必要不充分条件．

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）若函数f（x）在（a，b）内单调递增，那么一定有f′（x）>0.（　×　）

（2）如果函数f（x）在某个区间内恒有f′（x）＝0，则f（x）在此区间内没有单调性．（　√　）

（3）函数的极大值不一定比极小值大．（　√　）

（4）对可导函数f（x），f′（x0）＝0是x0点为极值点的充要条件．（　×　）

（5）函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．（　√　）

（6）三次函数在R上必有极大值和极小值．（　×　）

1．（教材改编）f（x）＝x3－6x2的单调递减区间为（　　）

A．（0,4）B．（0,2）

C．（4，＋∞）D．（－∞，0）

答案　A

解析　f′（x）＝3x2－12x＝3x（x－4），

由f′（x）<0，得0

∴单调递减区间为（0,4）．

2．如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象，则下面判断正确的是（　　）

A．在区间（－2,1）上f（x）是增函数

B．在区间（1,3）上f（x）是减函数

C．在区间（4,5）上f（x）是增函数

D．当x＝2时，f（x）取到极小值

答案　C

解析　在（－2,1）上，导函数的符号有正有负，所以函数f（x）在这个区间上不是单调函数；同理，函数在（1,3）上也不是单调函数；在x＝2的左侧，函数在（－

，2）上是增函数，在x＝2的右侧，函数在（2,4）上是减函数，所以当x＝2时，f（x）取到极大值；在（4,5）上导函数的符号为正，所以函数在这个区间上为增函数．

3．已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f

（1）＝3，且f（x）的导数f′（x）在R上恒有f′（x）<2（x∈R），则不等式f（x）<2x＋1的解集为（　　）

A．（1，＋∞）B．（－∞，－1）

C．（－1,1）D．（－∞，－1）∪（1，＋∞）

答案　A

解析　令g（x）＝f（x）－2x－1，∴g′（x）＝f′（x）－2<0，

∴g（x）在R上为减函数，g

（1）＝f

（1）－2－1＝0.

由g（x）<0＝g

（1），得x>1，故选A.

4．函数f（x）＝

＋x2－3x－4在[0,2]上的最小值是________．

答案　－

解析　f′（x）＝x2＋2x－3，

令f′（x）＝0，得x＝1（x＝－3舍去），

又f（0）＝－4，f

（1）＝－

，f

（2）＝－

，

故f（x）在[0,2]上的最小值是f

（1）＝－

.

5．设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________．

答案　（－∞，－1）

解析　∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.

∵函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，

则方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解，

∵x>0时，－ex<－1，∴a＝－ex<－1.

第1课时　导数与函数的单调性

题型一　不含参数的函数的单调性

例1　

（1）函数y＝

x2－lnx的单调递减区间为（　　）

A．（－1,1）B．（0,1）

C．（1，＋∞）D．（0，＋∞）

（2）已知定义在区间（－π，π）上的函数f（x）＝xsinx＋cosx，则f（x）的单调递增区间是________________．

答案　

（1）B　

（2）

和

解析　

（1）y＝

x2－lnx，y′＝x－

＝

＝

（x>0）．

令y′<0，得0

（2）f′（x）＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx.

令f′（x）＝xcosx>0，

则其在区间（－π，π）上的解集为

和

，

即f（x）的单调递增区间为

和

.

思维升华　确定函数单调区间的步骤

（1）确定函数f（x）的定义域；

（2）求f′（x）；

（3）解不等式f′（x）>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；

（4）解不等式f′（x）<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．

（1）函数y＝4x2＋

的单调增区间为（　　）

A．（0，＋∞）B.

C．（－∞，－1）D.

（2）已知函数f（x）＝xlnx，则f（x）（　　）

A．在（0，＋∞）上递增B．在（0，＋∞）上递减

C．在（0，

）上递增D．在（0，

）上递减

答案　

（1）B　

（2）D

解析　

（1）由y＝4x2＋

，得y′＝8x－

，

令y′>0，即8x－

>0，解得x>

，

∴函数y＝4x2＋

的单调增区间为

.故选B.

（2）因为函数f（x）＝xlnx，定义域为（0，＋∞），所以f′（x）＝lnx＋1（x>0），

当f′（x）>0时，解得x>

，

即函数的单调递增区间为（

，＋∞）；

当f′（x）<0时，解得0

，

即函数的单调递减区间为（0，

），故选D.

题型二　含参数的函数的单调性

例2　已知函数f（x）＝ln（ex＋1）－ax（a>0）．

（1）若函数y＝f（x）的导函数是奇函数，求a的值；

（2）求函数y＝f（x）的单调区间．

解　

（1）函数f（x）的定义域为R.

由已知得f′（x）＝

－a.

∵函数y＝f（x）的导函数是奇函数，

∴f′（－x）＝－f′（x），

即

－a＝－

＋a，解得a＝

.

（2）由

（1）知f′（x）＝

－a＝1－

－a.

①当a≥1时，f′（x）<0恒成立，

∴当a∈[1，＋∞）时，

函数y＝f（x）在R上单调递减．

②当0

由f′（x）>0，得（1－a）（ex＋1）>1，

即ex>－1＋

，解得x>ln

，

由f′（x）<0，得（1－a）（ex＋1）<1，

即ex<－1＋

，解得x

.

∴当a∈（0,1）时，

函数y＝f（x）在（ln

，＋∞）上单调递增，

在（－∞，ln

）上单调递减．

综上，当a≥1时，f（x）在R上单调递减；

当0

上单调递增，

在

上单调递减．

思维升华　

（1）研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．

（2）划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．

（3）个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f（x）＝x3，f′（x）＝3x2≥0（f′（x）＝0在x＝0时取到），f（x）在R上是增函数．

　讨论函数f（x）＝（a－1）lnx＋ax2＋1的单调性．

解　f（x）的定义域为（0，＋∞），

f′（x）＝

＋2ax＝

.

①当a≥1时，f′（x）>0，故f（x）在（0，＋∞）上单调递增；

②当a≤0时，f′（x）<0，故f（x）在（0，＋∞）上单调递减；

③当0

，则当x∈（0,

）时，f′（x）<0；当x∈（

，＋∞）时，f′（x）>0，故f（x）在（0,

）上单调递减，在（

，＋∞）上单调递增．

题型三　已知函数单调性求参数

例3　（2016·西安模拟）已知函数f（x）＝lnx，g（x）＝

ax2＋2x（a≠0）．

（1）若函数h（x）＝f（x）－g（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；

（2）若函数h（x）＝f（x）－g（x）在[1,4]上单调递减，求a的取值范围．

解　

（1）h（x）＝lnx－

ax2－2x，x∈（0，＋∞），

所以h′（x）＝

－ax－2，由于h（x）在（0，＋∞）上存在单调递减区间，

所以当x∈（0，＋∞）时，

－ax－2<0有解，

即a>

－

有解．

设G（x）＝

－

，所以只要a>G（x）min即可．

而G（x）＝（

－1）2－1，所以G（x）min＝－1.

所以a>－1.

（2）由h（x）在[1,4]上单调递减得，

当x∈[1,4]时，h′（x）＝

－ax－2≤0恒成立，

即a≥

－

恒成立．

所以a≥G（x）max，而G（x）＝（

－1）2－1，

因为x∈[1,4]，所以

∈[

，1]，

所以G（x）max＝－

（此时x＝4），

所以a≥－

，即a的取值范围是[－

，＋∞）．

引申探究

1．本例

（2）中，若函数h（x）＝f（x）－g（x）在[1,4]上单调递增，求a的取值范围．

解　由h（x）在[1,4]上单调递增得，

当x∈[1,4]时，h′（x）≥0恒成立，

∴当x∈[1,4]时，a≤

－

恒成立，

又当x∈[1,4]时，（

－

）min＝－1（此时x＝1），

∴a≤－1，即a的取值范围是（－∞，－1]．

2．本例

（2）中，若h（x）在[1,4]上存在单调递减区间，求a的取值范围．

解　h（x）在[1,4]上存在单调递减区间，

则h′（x）<0在[1,4]上有解，

∴当x∈[1,4]时，a>

－

有解，

又当x∈[1,4]时，（

－

）min＝－1，

∴a>－1，即a的取值范围是（－1，＋∞）．

思维升华　根据函数单调性求参数的一般思路

（1）利用集合间的包含关系处理：

y＝f（x）在（a，b）上单调，则区间（a，b）是相应单调区间的子集．

（2）f（x）为增函数的充要条件是对任意的x∈（a，b）都有f′（x）≥0且在（a，b）内的任一非空子区间上f′（x）不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．

（3）函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题．

　已知函数f（x）＝exlnx－aex（a∈R）．

（1）若f（x）在点（1，f

（1））处的切线与直线y＝

x＋1垂直，求a的值；

（2）若f（x）在（0，＋∞）上是单调函数，求实数a的取值范围．

解　

（1）f′（x）＝exlnx＋ex