中考数学二轮复习重难题型突破类型三新解题方法型.docx

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中考数学二轮复习重难题型突破类型三新解题方法型

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类型三新解题方法型

例1、求两个正整数的最大公约数是常见的数学问题，中国古代数学专著《九章算术》中便记载了求两个正整数最大公数最大公约数的一种方法——更相减损术，术曰：

“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少成多，更相减损，求其等也．以等数约之”，意思是说，要求两个正整数的最大公约数，先用较大的数减去较小的数，得到差，然后用减数与差中的较大数减去较小数，以此类推，当减数与差相等时，此时的差（或减数）即为这两个正整数的最大公约数．

例如：

求91与56的最大公约数

解：

 91－56＝35

56－35＝21

35－21＝14

21－14＝7

14－7＝7

所以，91与56的最大公约数是7.

请用以上方法解决下列问题：

（1）求108与45的最大公约数；

（2）求三个数78、104、143的最大公约数．

[解答]解：

（1）108－45＝63

63－45＝18

45－18＝27

27－18＝9

18－9＝9

所以，108与45的最大公约数是9；

（2）①先求104与78的最大公约数，

104－78＝26

78－26＝52

52－26＝26

所以，104与78的最大公约数是26；

②再求26与143的最大公约数，

143－26＝117

117－26＝91

91－26＝65

65－26＝39

39－26＝13

26－13＝13

所以，26与143的最大公约数是13.综上所述，78、104、143的最大公约数是13.

例2、数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．

探究：

求不等式|x－1|

（1）探究|x－1|的几何意义

[解答]如图①，在以O为原点的数轴上，设点A′对应的数是x－1，由绝对值的定义可知，点A′与点O的距离为|x－1|，可记为A′O＝|x－1|.将线段A′O向右平移1个单位得到线段AB，此时点A对应的数是x，点B对应的数是1.因为AB＝A′O，所以AB＝|x－1|.因此，|x－1|的几何意义可以理解为数轴上x所对应的点A与1所对应的点B之间的距离AB.

第2题图

（2）求方程|x－1|＝2的解

[解答]因为数轴上3和－1所对应的点与1所对应的点之间的距离都为2，所以方程的解为3，－1.

（3）求不等式|x－1|

因为|x－1|表示数轴上x所对应的点与1所对应的点之间的距离，所以求不等式解集就转化为求这个距离小于2的点对应的数x的范围．

请在图②的数轴上表示|x－1|

[解答]解：

在数轴上表示如解图所示．

第2题解图

所以，不等式的|x－1|

例3、古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如x2＋ax＝b2（a＞0，b＞0）的方程的图解法是：

如图，以a2和b为两直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取BD＝a2，则AD的长就是所求方程的解．

（1）请用含字母a、b的代数式表示AD的长．

（2）请利用你已学的知识说明该图解法的正确性，并说说这种解法的遗憾之处．

第3题图

 [解答]解：

（1）∵∠C＝90°，BC＝a2，AC＝b，

∴AB＝b2＋a24，

∴AD＝b2＋a24－a2＝

4b2＋a2－a2；

（2）用求根公式求得：

x1＝－4b2＋a2－a2；

x2＝4b2＋a2－a2

故AD的长就是方程的正根，

遗憾之处：

图解法不能表示方程的负根．

例4、请你阅读引例及其分析解答，希望能给你以启示，然后完成对探究一和探究二的解答．

引例：

设a，b，c为非负实数，求证：

a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥2（a＋b＋c），

分析：

考虑不等式中各式的几何意义，我们可以试构造一个边长为a＋b＋c的正方形来研究．

解：

如图①，设正方形的边长为a＋b＋c，

则AB＝a2＋b2，BC＝b2＋c2，CD＝a2＋c2，

显然AB＋BC＋CD≥AD，

∴a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2≥2（a＋b＋c）．

探究一：

已知两个正数x，y，满足x＋y＝12，求x2＋4＋y2＋9的最小值（图②仅供参考）；

探究二：

若a，b为正数，求以a2＋b2，4a2＋b2，a2＋4b2为边的三角形的面积．

第4题图

[解答]解：

探究一：

如解图①，构造矩形AECF，并设矩形的两边长分别为12，5，

第4题解图①

则x＋y＝12，AB＝x2＋4，

BC＝y2＋9，

显然AB＋BC≥AC，

当A，B，C三点共线时，AB＋BC最小，

即x2＋4＋y2＋9的最小值为AC，

∵AC＝122＋52＝13，

∴x2＋4＋y2＋9的最小值为13；

第4题解图②

探究二：

如解图②，设矩形ABCD的两边长分别为2a，2b，E，F分别为AB，AD的中点，

则CF＝4a2＋b2，CE＝a2＋4b2，

EF＝a2＋b2，

设以a2＋b2，4a2＋b2，a2＋4b2为边的三角形的面积为S△CEF，

∴S△CEF＝S矩形ABCD－S△CDF－S△AEF－S△BCE

＝4ab－12×2a×b－12ab－12a×2b

＝32ab，

∴以a2＋b2，4a2＋b2，a2＋4b2为边的三角形的面积为32ab.