北京市燕山区学年九年级上学期期末数学试题.docx
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北京市燕山区学年九年级上学期期末数学试题
北京市燕山区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题
学校:
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
评卷人
得分
一、单选题
1．下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）
A．
B．
C．
D．
2．抛物线
的顶点坐标是（）
A．
B．
C．
D．
3．如图，以点O为圆心作圆，所得的圆与直线a相切的是（）
A．以OA为半径的圆B．以OB为半径的圆
C．以OC为半径的圆D．以OD为半径的圆
4．下列关于二次函数
的说法正确的是（）
A．它的图象经过点（
，
）B．它的图象的对称轴是直线
C．当x<0时，y随x的增大而减小D．当x=0时，y有最大值为0
5．点P（2，﹣1）关于原点对称的点P′的坐标是（）
A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣1，2）D．（1，﹣2）
6．
的半径为5，点
到圆心
的距离为4，点
与
的位置关系是（）
A．无法确定B．点
在
外C．点
在
上D．点
在
内
7．已知二次函数
的图象如图所示，则下列选项中不正确的是（）
A．a<0B．
C．c>0D．-3<
<0
8．如图，A（0，1），B（1，5），曲线BC是双曲线
的一部分．曲线AB与BC组成图形G．由点C开始不断重复图形G形成一线“波浪线”．若点P（2020，m），Q（x，n）在该“波浪线”上，则m的值为，n的最大值为（）
A．m=1，n=1B．m=5，n=1C．m=1，n=5D．m=1，n=4
评卷人
得分
二、填空题
9．二次函数
图象的开口方向是_____
10．已知点A（1，a）与点B（3，b）都在反比例函数
的图象上，则a___b（填“<”或“=”或“>”）．
11．草坪上的自动喷水装置的旋转角为
，且它的喷灌区域是一个扇形．若它能喷灌的扇形草坪面积为
平方米，则这个扇形的半径是__米．
12．请写出一个开口向下，与
轴交点的纵坐标为3的抛物线的函数表达式__．
13．如图，
，
是
的切线，
，
为切点，
是
的直径，
，则
的度数为__________．
14．“阅读让自己内心强大，勇敢面对抉择与挑战．”某校倡导学生读书，下面的表格是该校九年级学生本学期内阅读课外书籍情况统计表．请你根据统计表中提供的信息，求出表中a、b的值：
a＝_____，b＝_____．
图书种类
频数
频率
科普常识
210
b
名人传记
204
0.34
中外名著
a
0.25
其他
36
0.06
15．《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了这样一个问题：
“今有句五步，股十二步．问句中容方几何．”其大意是：
如图，Rt
的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形CDEF的边长为____．
16．在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为a*b=a2
ab．根据这个法则，下列结论中错误的是_______．（把所有错误结论的序号都填在横线上）
①
*
=2
；②若a+b=0，则a*b=b*a；③（x+2）*（x+1）=0是一元二次方程；④方程（x+2）*1=3的根是
．
评卷人
得分
三、解答题
17．用适当的方法解下列方程：
（1）
（2）
18．如图，舞台地面上有一段以点
为圆心的弧
，某同学要站在弧
的中点
的位置上．于是他想：
只要从点
出发，沿着与弦
垂直的方向走到弧
上，就能找到弧
的中点
．老师肯定了他的想法．
（1）请按照这位同学的想法，在图中画出点
；
（2）这位同学确定点
所用方法的依据是 ．
19．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若CD＝8，AP＝2，求⊙O的半径．
20．已知关于x的方程
．
（1）求证：
当n=m-2时，方程总有两个实数根；
（2）若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的m，n的值，并求此时方程的根．
21．已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：
x
……
-3
-2
-1
0
1
……
y
……
0
-3
-4
-3
0
……
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（3）当-322．学完《概率初步》的知识，小聪设计了一个问题：
经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，求三辆汽车经过这个十字路口时，下列事件的概率
（1）三辆车全部继续直行；
（2）两辆车向左转，一辆车向右转；
（3）至少有两辆车向右转．
请你选择列表法或者树状图解决小聪的问题．
23．为了预防“甲型H1N1”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间x（min）成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例，如图所示，现测得药物8min燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6mg，请你根据题中提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧时，求y关于x的函数关系式？
自变量x的取值范围是什么？
药物燃烧后y与x的函数关系式呢？
（2）研究表明，当空气中每立方米的药量低于1.6mg时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要几分钟后，学生才能进入教室？
（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10min时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？
为什么？
24．如图，以四边形
的对角线
为直径作圆，圆心为
，点
、
在
上，过点
作
的延长线于点
，已知
平分
．
（1）求证：
是
切线；
（2）若
，
，求
的半径和
的长．
25．在平面直角坐标系
中，抛物线
经过点
．
（1）求抛物线的表达式及顶点M的坐标；
（2）线段OB绕点O旋转
得到线段OC，点
是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在
，
之间的部分为图象W（包含
，
两点）．结合函数图像：
①若直线
与图象W有公共点，求
的最大值；
②若直线
与图象W没有公共点，直接写出点D纵坐标t的取值范围．
参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解
【详解】
解：
A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误．
故选：
B
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：
轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．A
【解析】
【分析】
已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
【详解】
解：
抛物线
的顶点坐标是
．
故选：
．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，记住顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．
3．D
【解析】
【分析】
根据直线与圆的位置关系进行判断．
【详解】
解：
于
，
以
为圆心，
为半径的圆与直线
相切，
故选：
D．
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系—相切，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
4．C
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象性质即可判断．
【详解】
解：
A、当x=0时，y=0≠2，故此选项错误；
B、它的图象的对称轴是直线x=0，故此选项错误；
C、当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大，故此选项正确；
D、当x=0时，y有最小值是0，故此选项错误；
故选：
C．
【点睛】
此题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
5．A
【解析】
【分析】
根据关于原点对称的点的坐标特点：
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接写出答案．
【详解】
解：
点P（2，﹣1）关于原点对称的点P′的坐标是（﹣2，1），
故选：
A．
【点睛】
本题考查关于原点对称的点的特征，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
6．D
【解析】
【分析】
直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【详解】
的半径为5，点
到圆心
的距离为4，
点
到圆心
的距离小于圆的半径，
点
在
内．
故选：
D．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系：
点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：
点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r．
7．B
【解析】
【分析】
根据图象的开口方向可判断A选项；根据抛物线与y轴的交点可判断C选项；根据对称轴的位置可判断D选项；根据自变量x=2时，函数的值可判断B选项．
【详解】
解：
A、图象开口向下，得a<0，故A选项不合题意；
B、由图象可得，当x=2时，y=4a+2b+c不确定是否大于0，故B选项符合题意；
C、二次函数图象与y轴交于x轴上方，得c>0，故C选项不合题意；
D、由图象可得，-3<
<0，故D选项不合题意．
故选B．
【点睛】
本题考查了图象与二次函数系数之间的关系．二次函数
系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．
8．C
【解析】
【分析】
根据题意利用点B的坐标可以求k的值，然后根据图象可知每5个单位长度为一个循环，从而可以求得m的值和n的最大值．
【详解】
解：
∵点B（1，5）在双曲线
的图象上，
∴k=5，
∵A（0，1），曲线AB与BC组成图形G．由点C开始不断重复图形G形成一线“波浪线”．
∴C的纵坐标为1
∵点C在
的图象上，点C的纵坐标为1，
∴点C的横坐标是5，
∴点C的坐标为（5，1），
∵2020÷5=404，
∴P（2020，m）中m=1
∵点Q（x，n）在该“波浪线”上，
∴n的最大值是5．
综上所述，m=1，n=5．
故选C．
【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9．向下
【解析】
【分析】
根据二次函数的二次项系数即可判断抛物线的开口方向
【详解】
解：
∵
的二次项系数-3，
∴抛物线开口向下，
故答案为：
向下
【点睛】
本题考查二次函数的性质．对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当a＞0时，抛物线开口向上，当a＜0时，抛物线开口向下．
10．＜
【解析】
【分析】
将点A和点B都代入反比例函数解析式可求出a和b的值，比较a、b大小可得结论
【详解】
解：
点A（1，a）与点B（3，b）都在反比例函数
的图象上
当x=1时，a=-12
当x=3时，b=-4
-12<-4
a故答案为：
<
【点睛】
本题考查反比例函数，解题的关键是掌握反比例函数的性质．
11．3
【解析】
【分析】
根据已知得出自动喷水装置它能喷灌的草坪是扇形，面积为5
平方米，圆心角为200°，利用扇形面积公式S扇形=
求出即可．
【详解】
解：
∵草坪上的自动喷水装置它能喷灌的草坪是扇形，面积为5
平方米，圆心角为200°，
∴它能喷灌的草坪的面积为：
=5
．
解得：
R=3，
故答案为3．
【点睛】
此题主要考查了扇形面积求法.
12．
【解析】
【分析】
首先根据开口向下得到二次项系数小于0，然后根据与
轴的交点坐标的纵坐标为3得到
值即可得到函数的解析式．
【详解】
解：
开口向下，
中
，
与
轴的交点纵坐标为3，
，
抛物线的解析式可以为：
（答案不唯一）．
故答案为：
（答案不唯一）．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟知二次函数中各项系数的作用．
13．30°
【解析】
【分析】
先根据等腰三角形的性质求出
的度数，从而可得
的度数，再根据圆的切线的性质可得
，最后根据四边形的内角和即可得．
【详解】
如图，连接OB
是
的切线，
为切点
，即
在四边形OAPB中，
故答案为：
．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、圆的切线的性质、四边形的内角和公式等知识点，通过作辅助线，构造一个四边形，并联系到圆的切线的性质是解题关键．
14．1500.35
【解析】
【分析】
首先计算出总数，然后利用总数减去各组的頻数可得a的值，然后再利用1减去各组的频率可得b的值．
【详解】
解：
36÷0.06＝600，
a＝600﹣210﹣204﹣36＝150，
b＝1﹣0.34﹣0.25﹣0.06＝0.35．
故答案为150，0.35．
【点睛】
此题主要考查了频数分布表，关键是掌握频率＝频数÷总数，各组频率之和为1．
15．
【解析】
【分析】
由题意可判断
，利用三角形相似的性质可得
，又BC=12，AC=5，BF=BC-CF=12-EF，代入可求EF，即得正方形CDEF的边长
【详解】
解：
四边形CDEF为正方形，
又
又BC=12，AC=5，BF=BC-CF=12-EF
解得：
EF=
故答案为：
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，熟记三角形相似的判定定理及性质是解本题的关键
16．③④
【解析】
【分析】
根据新定义的运算逐项判断即可．
【详解】
根据新定义的运算可知
，故①正确但不符合题意；
根据新定义的运算可知
，
，根据
可知
，所以
，故②正确但不符合题意；
，所以原等式为
是一元一次方程，故③错误符合题意；
，所以原等式为
，即
，解得
，
．故④错误符合题意．
故答案为：
③④．
【点睛】
本题考查解一元二次方程，一元一次方程的判定，新定义下的实数运算．理解题意，利用新定义下的运算解决问题是解答本题的关键．
17．
（1）
；
（2）
【解析】
【分析】
（1）化为一般式后，用因式分解法解方程即可；
（2）移项后，提取公因式，利用因式分解法解方程即可．
【详解】
解：
（1）
，
，
，
（2）
，
，
，
，
【点睛】
本题考查了用因式分解法解一元二次方程，解题关键是把方程右边化成0，左边进行因式分解，达到降次的目的．
18．
（1）见解析；
（2）垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧
【解析】
【分析】
（1）连接AB，作弦AB的垂直平分线即可得；
（2）根据垂径定理可得．
【详解】
（1）如图所示，点
即为所求．
（2）这位同学确定点
所用方法的依据是：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧，
故答案为垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧．
【点睛】
本题主要考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是熟练掌握垂径定理及线段中垂线的尺规作图．
19．5.
【解析】
【分析】
连接OC，先由垂径定理求得CP＝4，然后再在Rt△OCP中，利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】
如图，连接OC．设⊙O的半径为r．
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CP＝PD＝4．
∵OC＝OB＝r．AP＝2，
∴OP＝r﹣2．
在Rt△OPC中，由勾股定理得：
OC2＝PC2+OP2，即r2＝42+（r﹣2）2．
解得：
r＝5．
所以圆的半径为5．
【点睛】
本题考查了勾股定理和垂径定理．解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算．
20．
（1）见解析；
（2）n=4，m=
2，方程的根为x1=x2=1
【解析】
【分析】
（1）先计算判别式得到
=
，根据非负数的性质得到△＞0，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）取m=-2，n=4，则方程化为x2-2x+1=0，然后利用完全平方公式解方程．
【详解】
（1）证明：
=
，
∴方程总有两个实数根；
（2）由题意可知，m≠0，
；
即
；
以下答案不唯一，如：
当n=4，m=
2时，方程为x2-2x+1=0，
解得x1=x2=1．
【点睛】
本题考查了根的判别式：
一元二次方程ax
+bx+c=0（a≠0）的根与
=b
-4ac有如下关系：
当
＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当
＜0时，方程无实数根．
21．
（1）
；
（2）见解析；（3）-4≤y<0
【解析】
【分析】
（1）由表格可设二次函数的解析式为
，然后再选择一个合适的值代入求解即可；
（2）根据表格在网格中描出点的坐标，然后用圆滑的曲线连接即可；
（3）由
（2）中的图像可直接进行求解．
【详解】
解：
（1）由表格可设
，
将（0，-3）代入得
，解得：
，
∴二次函数的表达式是
；
（2）由表格可描出与x，y的交点，顶点，对称轴，如图所示：
（3）由
（2）中图像可得：
当-3【点睛】
本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
22．
（1）
；
（2）
；（3）
【解析】
【分析】
画出树状图写出所有可能出现的结果，共有27种．
（1）根据树状图可知，三辆车全部继续直行的结果有1种，即可求出其概率．
（2）根据树状图可知，两辆车向左转，一辆车向右的结果有3种，即可求出其概率．
（3）根据树状图可知，至少有两辆车向右转的结果有7种，即可求出其概率．
【详解】
根据题意，可以画出如下的树状图：
所有可能出现的结果是27种，三辆车全部继续直行的结果有1种，两辆车向左转，一辆车向右转结果有3种，至少有两辆车向右转结果有7种．
（1）三辆车全部继续直行的概率是
；
（2）两辆车向左转，一辆车向右转概率是
；
（3）至少有两辆车向右转概率是
．
【点睛】
本题考查用树状图法求概率，根据题意画出树状图来表示所有可能出现的结果是解答本题的关键．
23．
（1）药物燃烧时y关于x的函数关系式为y=
x（0≤x≤8），药物燃烧后y关于x的函数关系式为y=
（x＞8）；
（2）从消毒开始，至少需要30分钟后学生才能进入教室；（3）这次消毒是有效的．
【解析】
【分析】
（1）药物燃烧时，设出y与x之间的解析式y=k1x，把点（8，6）代入即可，从图上读出x的取值范围；药物燃烧后，设出y与x之间的解析式y=
，把点（8，6）代入即可；
（2）把y=1.6代入反比例函数解析式，求出相应的x；
（3）把y=3代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的x，两数之差与10进行比较，大于等于10就有效．
【详解】
解：
（1）设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y=k1x（k1＞0）代入（8，6）为6=8k1，
∴k1=
，
设药物燃烧后y关于x的函数关系式为y=
（k2＞0）代入（8，6）为6=
，
∴k2=48，
∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为y=
x（0≤x≤8），药物燃烧后y关于x的函数关系式为y=
（x＞8）；
（2）结合实际，令y=
中，y≤1.6得x≥30，
即从消毒开始，至少需要30分钟后学生才能进入教室；
（3）把y=3代入y=
x，得：
x=4，
把y=3代入y=
，得：
x=16，
∵16-4=12，12＞10，
所以这次消毒是有效的．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
24．
（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】
（1）连接OA，根据已知条件证明OA⊥AE即可解决问题；
（2）取CD中点F，连接OF，根据垂径定理可得OF⊥CD，所以四边形AEFO是矩形，利用勾股定理即可求出结果．
（1）
证明：
如图，连接OA，
∵AE⊥CD，
∴∠DAE+∠ADE=90°．
∵DA平分∠BDE，
∴∠ADE=∠ADO，
又∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∴∠DAE+∠OAD=90°，
∴OA⊥AE，
∴AE是⊙O切线；
（2）
解：
如图，取CD中点F，连接OF，
∴OF⊥CD于点F．
∴四边形AEFO是矩形，
∵CD=6，
∴DF=FC=3．
在Rt△OFD中，OF=AE=4，
∴
，
在Rt△AED中，AE=4，ED=EF-DF=OA-DF=OD-DF=5-3=2，
∴
，
∴AD的长是
．
【点睛】
本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质．
25．
（1）抛物线的表达式是
，顶点坐标是
；
（2）①
的最大值是
；②
＜
或
＞
．
【解析】
【分析】
（1）把
代入
，利用待定系数法求解抛物线的解析式即可，再利用配方法求解顶点坐标；
（2）①先画出二次函数的简易图像，如图1，结合图像可得：
当
为
与对称轴的交点时，
的面积最大，再求解
的解析式及
的坐标，再利用三角形的面积公式可得答案；②若直线
与图象W没有公共点，如图1，则
在
与对称轴的交点的上方或在顶点
的下方，从而可得
的范围．
【详解】
解：
（1）∵
经过点
．代入，
得：
，
∴
∴抛物线的表达式是
，
由
顶点坐标是
（2）①如图1，由题意可知
关于原点对称，
，
而二次函数
的最小值是
，
直线
与图象W有公共点时，
如图1所示，可以看出：
连接
与对称轴交于点
时，
面积最大，
此时
为直角三角形，
设
为
直线BC的解析式是
当x=1时，
，
此时：
∴
的最大值
．
②若直线
与图象W没有公共点，如图1，
则
在
与对称轴的交点的上方或在顶点
的下方，
点D纵坐标t的取值范围是
＜
或
＞
．
【点睛】
本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，图像与直线的交点问题，图形与坐标，掌握数形结合解决问题是解题的关键．
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