九年级圆全章教案.docx

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九年级圆全章教案

第二十四章圆

24.1圆的有关性质

第一课时24.1.1圆

教学目标

【知识与能力】

了解圆的有关概念．

【过程与方法】

从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，讲授圆的有关概念．

利用操作几何的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴

【情感态度与价值观】

培养通过动手实践发现问题的能力．

渗透“观察→分析→归纳→概括”的数学思想方法．

教学重难点

以点的集合定义圆所具备的两个条件．

观察车轮，你发现了什么？

观察

观察画圆的过程，你能由此说出圆的形成过程吗？

知识要点

动态定义：

在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆（circle）．

如何在操场上画一个半径是5m的圆？

首先确定圆心，然后用5米长的绳子一端固定为圆心端，另一端系在一端尖木棒，木棒以5米长尖端划动一周，所形成的图形就是所画的圆

圆心、半径

固定的端点O叫做圆心（centerofacircle）．

线段OA叫做半径（radius），一般用r表示．

以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”

同圆内，半径有无数条，长度都相等．

确定一个圆的要素是什么？

一是圆心，圆心确定其位置，

二是半径，半径确定其大小.

圆的特点

（1）图上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）．

（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．

圆的新定义，静态定义

圆心为O，半径为r的圆是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．

车轮为什么圆的，而不是椭圆或其他图形？

把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持不变，因此，当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳，这也是车轮都做成圆形的数学道理

弦、直径

连接圆上任意两点的线段叫做弦．

经过圆心的弦叫做直径

圆弧（弧）

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．

（大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．）

小练习

请用正确的方式表示出以点A为端点的优弧及劣弧．

课堂小结

1．圆

动态定义：

在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆

静态定义

圆心为O，半径为r的圆是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．

2．圆心、半径

固定的端点O叫做圆心．

线段OA叫做半径，一般用r表示．

以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”

3．圆的特点

（1）图上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）．

（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．

4．弦、直径

连接圆上任意两点的线段叫做弦

经过圆心的弦叫做直径．

5．圆弧（弧）

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧

随堂练习

1．填空：

（1）根据圆的定义，“圆”指的是_______，而不是“圆面”．

（2）圆心和半径是确定一个圆的两个必需条件，圆心决定圆的_______，半径决定圆的_______，二者缺一不可．

（3）______是圆中最长的弦，它是______的2倍．

（4）图中有_______条直径，_______条非直径的弦，圆中以A为一个端点的优弧有_______条，劣弧有_______条．

2．判断下列说法的正误

（1）弦是直径

（2）半圆是弧；

（3）过圆心的线段是直径；

（4）过圆心的直线是直径

（5）半圆是最长的弧

（6）直径是最长的弦；

（7）圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆;

（8）半径相等的两个圆是等圆

教后反思：

第二课时24.1.2垂直于弦的直径

教学目标

【知识与能力】

理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题

【过程与方法】

通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解

【情感态度与价值观】

培养通过动手实践发现问题的能力．

渗透“观察→分析→归纳→概括”的数学思想方法

教学重难点

垂径定理及其运用

思考圆是否是轴对称图形，有哪些对称轴

任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．

已知：

在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E．

上图是轴对称图形吗？

已知：

在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E．

求证：

AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD．

知识要点

垂径定理：

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧

垂径定理三角形

d+h=r

在a，d，r，h中，已知其中任意两个量，可以求出其它两个量

实际问题

赵州桥主桥拱的半径是多少？

你知道赵州桥吗?

它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m．

垂径定理的推论

课堂小结

1．圆是轴对称图形

任何一条直径所在的直线都是它的对称轴

2．垂径定理

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．

3．垂径定理的推论

略

4．解决有关弦的问题

经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件．

随堂练习

1．判断：

（1）垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对的两弧．

（2）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一弧．

（3）经过弦的中点的直径一定垂直于弦．

（4）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行

（5）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧．

2．在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．

3．在直径是20cm的⊙O中，角AOB的度数是60°，那么弦AB的弦心距是

4．弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则这弓形所在的圆的半径为

教后反思：

第三课时24.1.3弧，弦，圆心角

教学目标

【知识与能力】

理解弦、弧等概念．

初步会运用这些概念判断真假命题．

【过程与方法】

逐步培养阅读教材、亲自动手实践，总结出新概念的能力．

进一步提高观察、比较、分析、概括知识的能力

【情感态度与价值观】

培养通过动手实践发现问题的能力．

渗透“观察→分析→归纳→概括”的数学思想方法．

教学重难点

对“等圆”、“等弧”的定义中的“互相重合”这一特征的理解．

学生容易把长度相等的两条弧看成是等弧

圆心角

顶点在圆心的角

弦心距

圆心到弦的距离（即圆心到弦的垂线段的距离）．

探究

在⊙O中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′OB′，将∠AOB旋转一定角度，使OA和O′A′重合．

知识要点

弧、弦、圆心角的关系定理

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等

弧、弦、圆心角关系定理的推论

1.在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．

2在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦的弦心距相等．

3在同圆或等圆中，相等的弦心距所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦相等

（在同圆或等圆中，有一组关系相等，那么所对应的其它各组关系均分别相等）

课堂小结

1．圆心角

顶点在圆心的角

2．弦心距

圆心到弦的距离（即圆心到弦的垂线段的距离）．

3．弧、弦、圆心角的关系定理

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等

随堂练习

1．AB、CD是⊙O的两条弦．

（1）如果AB=CD，那么___________，_________________．

（2）如果，那么____________，_____________．

（3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，_________．

（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？

为什么？

教后反思：

第四课时24.1.4圆周角

教学目标

【知识与能力】

理解圆周角的概念．

掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用．

【过程与方法】

继续培养学生观察、分析、想象、归纳和逻辑推理的能力．

【情感态度与价值观】

渗透由“特殊到一般”，由“一般到特殊”的数学思想方法．

教学重难点

圆周角的概念和圆周角定理．

圆周角定理的证明中由“一般到特殊”的数学思想方法和完全归纳法的数学思想

圆周角

顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角．

圆中有多少个圆周角？

下列圆中的是圆周角吗?

知识要点

圆周角定理①

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．

你能画出几种同弧（等弧）所对的圆周角和圆心角?

根据这三种情况，我们分别探究圆周角与圆心角的关系？

知识要点

圆周角定理②：

圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．

圆周角定理的推论

半圆（或直径）所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径．

例题：

⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．

思考：

在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对弧___________

因为，在同圆或等圆中，如果圆周角相等，那么它所对的圆心角也相等，所以它所对的弧也相等

课堂小结

1．圆周角

顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角

2．圆周角定理

在同圆（或等圆）中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半

3．圆周角定理的推论

半圆（或直径）所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径．

教后反思：

24.2.1点与圆的位置关系

教学目标：

1.理解点与圆的位置关系由点到圆心的距离决定．

2.理解不在同一条直线上的三个点确定一个圆．

3.会画三角形的外接圆，熟识相关概念．

4.经历探索点与圆的位置关系的过程，体会数学分类思考的数学思想．

5.通过本节课的教学，渗透数形结合的思想和运动变化的观点的教育．

教学重难点：

用数量关系判定点和圆的位置关系．

教学过程：

一．导入新课：

你玩过掷飞镖吗？

下图中A、B、C、D、E分别是落点，你认为哪个成绩最好？

你是怎么判断出来的？

二．讲授新课：

探究：

由位置判断距离：

⊙O的半径为r，点A、B、C、D在圆上，则OA__OB__OC__OD=___．

点E在圆内，点F在圆外，则OE__r，OF__r．

由距离判断位置：

⊙O的半径为5，OA=7，OB=5，OC=2，则点A在圆____，点B在圆__，

点C在圆___．

知识要点：

点和圆的位置关系

点P在圆外d>r

点P在圆上d=r

点P在圆内d

思考：

平面上的一个圆把平面上的点分成哪几部分？

（圆外的点，圆上的点，圆内的点）

小练习：

1．A站住教室中央，若要B与A的距离为3m，那么B应站在哪里？

有几个位置？

请通过画图来说明．

2．A站住教室中央，若要求Ｂ与A距离等于3m，B与C距离2m，那么B应站在哪儿？

有几个位置？

3．现在要求Ｂ与A距离3m以外，B与C距离2m以外，那么B应站在哪儿？

有几个位置？

回顾：

画圆的关键是什么？

（确定圆心；确定半径的大小）

探究：

1．过一点可以作几个圆?

2．过两点可以作几个圆？

3．过不在同一条直线上的三点可以作几个圆?

知识要点：

过已知一点可作无数个圆．

过已知两点也可作无数个圆．

过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆．

外接圆、外心：

经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．

外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．

思考：

不在同一直线上的三个点确定一个圆．为什么要这样强调？

经过同一直线的三点能作出一个圆吗？

证明：

假设经过同一直线l的三个点能作出一个圆，圆心为O．

则O应在AB的垂直平分线l1上，l1⊥l

且O在BC的垂直平分线上l2上，l2⊥l

所以l1、l2同时垂直于l，

这与“过一点有且只有一条直线垂直于已知直线”矛盾，

所以经过同一直线的三点不能作圆．

反证法：

假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾判定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．

例如：

命题：

经过同一直线的三点不能作出一个圆．

假设：

经过同一直线的三点能作出一个圆．

矛盾：

过一点有两条直线垂直于已知直线．

定理：

过一点有且只有一条直线垂直于已知直线

探究：

分别画锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，各三角形与它的外心有什么位置关系？

归纳：

锐角三角形的外心位于三角形内．

直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点．

钝角三角形的外心位于三角形外．

三．课堂小结：

1.点和圆的位置关系；

2.三点定圆；

3.外接圆、内接三角形；

4.外心；

5.反证法；

四．随堂练习：

1．判断下列说法是否正确

（1）任意的一个三角形一定有一个外接圆。

（）

（2）任意一个圆有且只有一个内接三角形。

（）

（3）经过三点一定可以确定一个圆。

（）

（4）三角形的外心到三角形各顶点的距离相等。

（）

2．若一个三角形的外心在一边上，则此三角形的形状为（）

A．锐角三角形B．直角三角形

C．钝角三角形D．等腰三角形

3．⊙O的半径10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系是：

点A在_____；点B在_____；点C在________．

4．⊙O的半径6cm，当OP=6时，点A在____；当OP_____时点P在圆内；当OP_____时，点P不在圆外．

5．正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作⊙A，则点B在⊙A_____；点C在⊙A____；点D在⊙A_____．

6．已知AB为⊙O的直径P为⊙O上任意一点，则点关于AB的对称点P｀与⊙O的位置为（）

A．在⊙O内B．在⊙O外

C．在⊙O上D．不能确定

7．已知⊙O的面积为9π，判断点P与⊙O的位置关系．

（1）若PO=4.5，则点P在_____；

（2）若PO=2，则点P在_____；

（3）若PO=_____，则点P在圆上．

8．爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点120m以外的的安全区域，已知这个导火索的长度为18cm，如果点导火索的人以每秒6.5m的速度撤离，那么是否安全？

为什么？

五．布置作业：

习题24.21、7、8、9题。

课后反思：

24.2.2直线与圆的位置关系

（1）

教学目标：

1.理解直线和圆的位置关系；

2．经历探索直线和圆的位置关系的过程；

3.通过观察，比较和动手操作，感受到数学活动充满想象和探索；

教学重难点:

直线和圆的位置关系的性质和判定．

教学过程：

一．导入新课：

我们已经学习过点和圆的位置关系，请同学们回忆：

（1）点和圆有哪几种位置关系？

（2）怎样判定点和圆的位置关系？

（数量关系——位置关系）

二．讲授新课：

1.观察三幅太阳升起的照片,地平线与太阳经历了哪些位置关系?

通过这个自然现象，你猜想直线和圆的位置关系有哪几种?

2.归纳：

（1）直线和圆有两个公共点，叫做直线和圆相交.

（2）直线和圆有唯一公共点，叫做直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫切点.

（3）直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离.

3.请你想一想：

通过前面复习知道：

点和圆的位置关系可以用圆心到点之间的距离，这一数量关系来刻画它们的位置关系；那么直线和圆的位置关系是否也可以用数量关系来刻画它们的三种位置关系呢?

当直线与圆相交、相切、相离时，d与r有何关系？

（d是圆心到直线的距离，r是圆的半径）

1．直线与圆相交<=>d＜r

2．直线与圆相切<=>d＝r

3．直线与圆相离<=>d＞r

4.典型例题：

例1　在△ABC中，∠A＝45°，AC＝4，以C为圆心，r为半径的圆与直线AB有怎样的位置关系？

为什么？

（1）r＝2；

（2）r＝2　；（3）r＝3．

例2　已知：

如图示，∠AOB＝30°，M为OB上一点，以M为圆心，5cm长为半径作圆，若M在OB上运动，问：

①当OM满足时，⊙M与OA相离？

②当OM满足时，⊙M与OA相切？

③当OM满足时，⊙M与OA相交？

三．随堂练习：

1．已知⊙O的直径为10cm，点O到直线的距离为d：

（1）若直线与⊙O相切，则d＝____；

（2）若d＝4cm，则直线与⊙O有_____个公共点；

（3）若d＝6cm，则直线与⊙O的位置关系是____．

2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？

为什么？

（1）r＝2cm；

（2）r＝2.4cm；（3）r＝3cm．

3.在平面直角坐标系中有一点A（－3，－4），以点A为圆心，r长为半径时，思考：

随着r的变化，⊙A与坐标轴交点的变化情况．

四．课堂小结

1．这节课你有哪些收获和困惑？

2．直线与圆的位置关系中的d与点和圆的位置关系中的d，两者有何区别与联系？

3.判定直线与圆的位置关系的方法有两种：

（1）根据定义，由直线与圆的公共点的个数来判断；

（2）根据性质，由圆心到直线的距离与半径的关系来判断．

在实际应用中，常采用第二种方法判定．

五．布置作业：

1.课本P96练习题；

2.习题24.22题。

课后反思：

24.2.2直线与圆的位置关系

（2）

教学目标：

1．理解切线的判定定理与性质定理；

2．会应用切线的判定定理和性质定理解决简单问题．

教学重难点：

切线的判定定理和性质定理的应用．

教学过程：

一.导入新课:

复习直线和圆的位置关系:

（1）．直线和圆有哪些位置关系？

（2）．如何判断直线和圆相切？

二．讲授新课：

1．探究切线的判定定理。

思考：

如图，在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA，则圆心O到直线l的距离是多少？

直线l和⊙O有什么位置关系？

总结：

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的

切线．

下面图中直线l与圆相切吗？

下雨天当你快速转动雨伞时飞出的水珠，在砂轮上打磨工件时飞出的火星中，存在与圆相切的现象吗？

已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点画出圆的切线？

2.探究切线的性质定理:

思考：

如图，在⊙O中，如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？

总结：

圆的切线垂直于过切点的半径．

3.例：

　已知：

△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D.

　　求证：

AC是⊙O的切线．

分析：

根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作得垂线段OE是⊙O的半径就可以了。

而OD是⊙O的半径，因而需要证明OE=OD.

注意：

在解决有关圆的切线问题时，常常需要作过切点的半径。

三．随堂练习：

教科书第98页　练习第1，2题．

四．课堂小结：

1.切线的判定定理与性质定理是什么？

2.在应用切线的判定定理和性质定理时，需要注意什么？

五．布置作业：

教科书习题24.2　第4，5，12题．

课后反思：

24.2.2直线与圆的位置关系（3）

教学目标：

1．知道三角形内切圆、内心的概念，理解切线长定理，并会用其解决有关问题；

2．经历探究切线长定理的过程，体会应用内切圆相关知识解决问题，渗透转化思想．

教学重难点：

切线长定理及其应用．

教学过程：

一．导入新课：

圆的切线长定理和三角形的内切圆是在学习了切线的性质和判定的基础之上，继续对切线的性质的研究，是在垂径定理之后对圆的对称性又一次的认识．在切线长定理的探究过程中，同学们将要经历实验操作、归纳猜想、推理论证的过程，其中体现了图形的认识、图形的变换、图形的证明的有机结合．

今天，咱们就一起来探究圆的切线长定理和三角形的内切圆等知识。

二．讲授新课：

1.切线长：

经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做切线长．

2．思考：

已知⊙O和⊙O外一点P，你能够过点P画出⊙O的切线吗？

3.探究：

如图，PA,PB是⊙O的两条切线，切点分别是A,B.在半透明的纸上画出这个图形，沿着直线PO将图形对折，图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？

已知：

如图，PA,PB是⊙O的两条切线，切点分别是A,B.

求证：

PA=PB，∠APO=∠BPO．

证明：

∵PA、PB是⊙O的两条切线，

∴OA⊥AP，OB⊥BP

又OA=OB，OP=OP，

∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL）

∴PA=PB，∠APO=∠BPO．

知识要点：

切线长定理：

从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．

注意：

连接圆心和切点是我们解决切线长定理相关问题时常用的辅助线．

4.探究新知，挖掘内涵

切线与切线长有什么区别？

表示切线长的线段的两个端点分别是什么？

过圆外一点能作几条圆的切线？

它们的切线长有什么关系？

∠APO和∠BPO有什么关系？

　　定理有几个条件？

分别是什么？

定理有几个结论？

分别是什么？

　　5．应用新知，迁移拓展

一块三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使截下来的圆与三角形的三边都相切？

（问题：

与三条边相切的圆的圆心必须满足什么条件？

满足这样条件的点怎样作？

要不要三条角平分线都作出来？

）

知识要点：

三角形的内切圆：

与三角形各边都相切的圆．

三角形的内心：

三角形内切圆的圆心．（即三角形三个内角角平分线的交点，到三角形三边的距离相等。

）

例　△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=9，BC=14，CA=13．求AF，BD，CE的长．

三．课堂小结：

1.切线长：

经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做切线长．

2.切线长定理：

从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．

3．三角形的内切圆：

与三角形各边都相切的圆．

4．三角形的内心：

三角形内切圆的圆心．（即三角形三条角平分线的交点,到三角形三边的距离相等）

四．随堂练习：

课本P1001.2题

五．布置作业：

习题24.2第3.6.10题．、

课后反思：

24.2.2圆与圆的位置关系

教学目标：

1.掌握圆和圆的五种位置关系．

2.观察两圆位置关系的变化过程，感受在两圆和各种关系中两圆的半径与圆心距之间的数量关系，从而得到图形的“位置关系”与“数量关系”之间的联系．

3.通过观察，比较和动手操作，让学生感受到数学活动充满想象和探索，感受证明的必要性、严谨性及数学结论的确定性．

教学重难点：

1.圆和圆的“位置关系”所对应的“数量关系”．

2.两圆相交的判定及有关计算和两圆或三个圆相切的画法．

教学