数列求和与数列的极限专项训练.docx

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数列求和与数列的极限专项训练

数列求和与数列的极限专项训练

【例题精选】：

例1：

等差数列200，，……，－100的后200项和是。

分析：

把问题改写成，求数列－100，……，200，的前200项的和，改写后的数列为首项是－100，公差是的等差数列，其200项的和为

答案：

。

例2：

求和：

解：

所求的和＋

当

当

小结：

通过将式子展开、整理，将问题转化为两个等比数列和一个常数列的和，在运用等比数列求和公式时要注意公比的条件。

例3：

求数列。

分析：

由于是等差数列，是等比数列，因此，可采用推导等比数列求和公式的方法（错项相减）求和。

解：

两式相减得

于是

例4：

数列是首项为3，公差为2的等差数列，前，求

解：

由已知

例5：

求下列极限

解：

（2）

小结：

本例

（1）、

（2）、（3）是分子，分母由多项式组成的分式的极限，这类问题往往与数列求和、求积相联系，一般应先对极限式子变形，再运用极限法则求极限，（4）是类型的极限，这类问题要特别注意极限存在的条件。

例6：

若，则实数的取值范围是。

分析：

将式子变形为，若极限值为，解得。

答案：

。

例7：

已知数列都是由正数组成的等比数列，公比分别为，其中，且。

分析：

这是1997年理科数学高考试题，主要考查等比数列概念、求和公式，数列极限的运算等基础知识，考查文字运算能力和逻辑推理能力，在推理过程中要运用分类讨论的数学思想。

分两种情况讨论：

（1）

（2）

例8：

一个公比绝对值小于1的无穷等比数列的所有项的和是9，各项平方和是27，则此数列的首项，公比。

分析：

设这个等比数列的首项为，公比为，且，则各项平方也组成等比数列，其首项是2，公比是2（）

例9：

在直角三角形ABC中，斜边AB=5，直角边AC=4，⊙O1是的内切圆，作⊙O2和AB、AC、及⊙O1都相切，再作⊙O3和AB、AC、及⊙O2都相切，如此无限继续下去，求所有这些圆面积的和。

解：

如图所示，AB=5，AC=4，可求得⊙O的半径

又设

的面积组成的数列里以为首项为公比的等比数列，且。

所有这些圆的面积和为

数学归纳法及其应用专项训练

【例题精选】：

例1：

用数学归纳法证明对于任意自然数，

证明：

（1）当=1时，左式=1＋1=2，右式=21，所以等式成立。

（2）假设当时等式成立，即

，

那么，当＋1时，

由

（1）、

（2），可知等式对任意成立。

小结：

使用数学归纳法证明的关键是第二步，假设时命题成立（可称为归纳假设），证明＋1时命题成立，第二步的实质是演绎推理。

本题在使用数学归纳法证明的第二步时，要特别注意由到＋1时，等式左端的变化，这时多了一个因式，把握这一点是完成用数学归纳法证明本题的关键。

例2：

是否存在自然数对任意自然数，都能被整除。

若存在，求出的最大值，并证明结论；若不存在，说明理由。

分析：

本题是开放性题型，先求出……再归纳、猜想、证明。

猜想，能被36整除，

用数学归纳法证明如下：

（1）当，能被36整除。

（2）假设当能被36整除，那么，当时，

由归纳假设，能被36整除，当为自然数时，为偶数，则能被36整除。

所以＋能被36整除，这就是说当时命题成立。

由

（1）、

（2）对任意都能被36整除。

当取大于36的自然数时，不能被整除，所以36为最大。

例3：

设是正数组成的数列，其前项和为，并且对于所有的自然数，与2的等差中项等于与2的等比中项。

（1）写出数列的前3项；

（2）求数列的通项公式（写出推证过程）；

（3）令

分析：

由题意再作归纳，证明。

解：

（1）当

故该数列的前3项为2，6，10。

（2）由

（1）猜想数列。

下面用数学归纳法证明数列的通项公式是。

①当，又在

（1）中已求出，所以上述结论成立。

②假设时结论成立，即有，由题意有

将代入上式，得。

由题意有，代入，得

整理得

由，解得，所以

这就是说，当时，上述结论成立。

根据①、②上述结论对任意成立。

（3）令，则

【专项训练】：

（90分钟）

一、选择题：

1、设等差数列的公差是，如果它的前，那么

A．B．

C．D．

2、在等差数列中，已知

A．8B．9C．10D．11

3、设无穷等比的各项和是首项的3倍，则此数列的公比为

A．B．C．D．

4、已知是等比数列，且等于

A．212B．216C．220D．248

5、已知都成等差数列，则

A．1B．2C．3D．4

6、等比数列的首项等于

A．B．C．－2D．2

7、等差数列，

A．1B．C．D．

8、设数列的前项和，则

A．B．－C．D．－

9、的值是

A．－11B．－13C．－11D．－13

10、某工厂产量第二年的增长率为，第三年的增长率为，第四年的增长率为，设这三年的平均增长率为，则

A．B．

C．D．

二、填空题：

11、等差数列，公差顺次组成等比数列，则

。

12、的取值范围是。

13、若三边成等比数列，则公比的取值集合是。

14、已知集合中各元素的和等于。

15、已知数列的前的值是。

三、解答题：

16、在等比数列中，若，求项数的取值范围。

17、已知是一次函数，成等比数列，求

＋……＋以的式子的表示式。

18、已知等比数列的首项为1，公比为项和，又设

1，2，……，求。

19、已知数列的各项均为正数，它的前有如下关系：

。

（1）写出数列的前4项；

（2）猜想数列的通项公式，并证明。

【答案】：

一、选择题：

1、C2、B3、D4、B5、B

6、A7、C8、A9、D10、C

二、填空题：

11、

14、891

15、67

三、解答题：

16、当时，

当时，

17、设由已知求得

18、

19、，由此归纳出，用数学归纳法证明。