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几种定积分的数值计算方法
几种定积分的数值计算方法
摘要:
本文归纳了定积分近似计算中的几种常用方法，并着重分析了各种数值方法的计算
思想，结合实例，对其优劣性作了简要说明•
关键词:
数值方法;矩形法;梯形法;抛物线法;类矩形;类梯形
SeveralNumericalMethodsforSolvingDefiniteIntegrals
Abstract:
Severalcommonmethodsforsolvingdefiniteintegralsaresummarizedinthis
paper.Meantime,theideaforeachmethodisemphaticallyanalyzed.Afterwards,a
numericalexampleisillustratedtoshowthattheadvantagesanddisadvantagesofthesemethods.
Keywords:
Numericalmethods,Rectanglemethod,Trapezoidalmethod,Parabolicmethod,
Classrectangle,Classtrapezoid
1.引言
在科学研究和实际生产中，经常遇到求积分的计算问题，由积分学知识可知，若函数
f（x）在区间［a,b］连续且原函数为F（x）,则可用牛顿-莱布尼茨公式
b
af（x）
F（b）F（a）
求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用•在科
学研究和实际生产中，经常遇到求积分的计算问题，由积分学知识可知若函数f（x）在区间［a,b］连续且原函数为F（x）,则可用牛顿-莱布尼茨公式
b
af（x）F（b）F（a）
求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用•另外，对于
求导数也有一系列的求导公式和求导法则.但是,在实际问题中遇到求积分的计算，经常会有这样的情况：
（1）
函数f（x）的原函数无法用初等函数给出.例如积分
等，从而无法用牛顿-莱布尼茨公式计算出积分
（2）函数f（x）使用表格形式或图形给出，因而无法直接用积分公式或导数公式。
（3）函数f（x）的原函数或导数值虽然能够求出，但形式过于复杂，不便使用.
由此可见,利用原函数求积分或利用求导法则求导数有它的局限性，所以就有了求解数
值积分的很多方法，目前有牛顿一柯特斯公式法，矩形法梯形法，抛物线法，随机投点法，平均值法,高斯型求积法，龙贝格积分法，李查逊外推算法等等，本文对其中部分方法作一个比较.
2•几何意义上的数值算法
s在几何上表示以［a,b］为底,以曲线yf（x）为曲边的曲边梯形的面积A,因此，计算s的近似值也就是A的近似值，如图1所示.沿着积分区间［a,b］,可以把大的曲边梯形分割成许多小的曲边梯形面积之和.常采用均匀分割,假设［a,b］上等分n的小区间
ba
Xi-1Xih,x。
a,Xnb,其中h——表示小区间的长度•
n
2.1矩形法
矩形法就是用小矩形面积近似代替各个小曲边梯形面积，从面积得到S的近似值.若取
图1分割曲边矩形近似积分
2.2梯形法
梯形法则用小直边梯形的面积近似代替小曲边梯形面积，见图2,从而得到S的近似值,即A匚f⑻f（b）n1f（xi）.
n2ii
图2分割曲边梯形近似积分
2.3抛物线法
抛物线法以抛物线为曲边梯形的曲边，曲边梯形的面积近似代替小曲边梯形的面积，如
图3所示.
图3抛物线积分
y
k
0
£
E
Xo,Xi,X2对应的曲线上的点Po,R,P2可以唯一地确定一条抛物线yax2bxc,这条抛物线将作将代替从Xo至X2的曲线段，此时积分可以转化为对抛物线积分，而抛物线的积分可以利用牛顿一莱布尼玆公式.第1、2个小区边梯形的面积：
X2/2h
A（axbxc）dx[f（x0）4f（xJf（x2）]
X03
上面利用了条件F0,R,P2是抛物线上的点以及等式X2Xo2X1.同理可证：
A2尹QEQf（X4）]
h
An/2-[f（Xn2）4f（Xni）f（Xn）]
n/2n/21
所以,SA1A2An/2普{[f（a）f（b）]4f（X2i1）2f^）}
i1i1
3•概率意义上的数值算法
概率算法是定积分问题数值求解的一类常用方法，其设计思想简单，易于实现•尽管算
法要耗费较多计算时间，但是往往能得到问题的近似解，并且近似程度能随计算时间的增加
而不断提高•概率算法可用于计算定积分的近似值•
3.1平均值法
b
考虑定积分If（x）dx的近似计算，其中f（x）在a,b内可积,用平均值法计算该积a
分,首先随机产生n个独立的随机变量，且服从在a,b上均匀分布，即i（i1,2,n）;其次，计
由中心极限定理知，若i（i1,2,n）相互独立、同分布，且数学期望及标准差
在，则当n充分大时，随机变量Y-——-渐近服从正态分布N（0,1）,即对任意的t0,
i
这表明，用平均值法计算定积分的收敛速度较慢，在概率意义下的误差阶仅为0
（1）.
n
3.2“类矩形”Monte-Carlo方法
1
由于平均值法计算定积分的收敛速度较慢，且在概率意义下的误差阶仅为0（丄），就
Un
有对平均值法的改进，“类矩形”Monte-Carlo方法,改进过程为：
先将积分区间a,bn等
分,随机产生n个相互独立且服从0,1上均匀分布的随机变量序列｛i｝,（i1,2,n）；然后
由这n个随机点类似于矩形公式构造计算公式
，即作变换
ba/
ia（i
n
i1）,i
1,2,n
将｛i｝映射到子区间
i1
{a（ba）,a
n
丄（ba）}n
a,b,i1,2,,n
最后，计算1的近似值~,~口
n
f（i）•
ni1
F面用两个命题证明“类矩阵”方法的可行性.
命题1设f（x）C1a,b,记Mmaxf（x）,x0a,b,有
xa,b
f（x）dx
（ba）2
2
证明：
由Lagrange中值定理得
上式两边在a,b积分，得
由f（x）得连续性，得
命题2设f（x）C1a,b,h
于是
1
O（-）.
n
3.3“类梯形”Monte-Carlo方法
再给出平均值法的另一种改进.首先将a,bn等分,再在每个子区间上随机产生2n个相互独立且服从［0,1］上均匀分布的随机变量序列，并两两分组，得{2i1,2i},（i1,2,3,,n）;做变换
ba.
2i1a（2i22i1）
2n
2ia（2i12i）
2n
将2i1,2i分别映射到子区间
公式构造“类梯形”公式
近类似
aih
a（i1）hf（X）dX.
F面证明“类梯形”方法可行性的两个命题:
所以P（Xi）f（Xi）,i1,2.令
将X看成a,b上的一个定点，构造辅助函数
（t）f（t）P（t）k（x）（tStX2）
由于（xj（X2）（x）0,由Rolle中值定理，'（t）在a,b内至少有两个零点，对'（t）
再用Rolle中值定理，知''（t）在a,b内至少有一个零点，即存在a,b,使
''（）f''（）2k（x）0,所以k（x）—°.将它代入
（1）式,并两段同时从a到b积分,
2
b
bafxdx
a2
bf''（）
fx1fx2
（xx1）（xx2）dxa2
Mb（
7（x
〜a
X）
（X
a
xj（x
x2）dx
Xi）（X
x2）dx
x?
（xN）（X
b
x2）dx（xx1）（xx2）dx
X2
L（Xi，x?
）
Xi
（x
a
xj（x
x2）dx
x?
（xx1）（xx2）dx
X1
b
（X
X2
x1）（xx2）dx
不妨设a
x1x2
a
b、
、2
Lx1
（b
a）（X2
2
）
（X2
X1）
a
b、
、2
LX2
（b
a）（X1
2
）
（X2
X1）
X1
1
—（3a
b）
b,则将L（xi,x?
）分别对求偏导数
0
0
解得唯一驻点:
3b）
x?
，得
；（a
旦）（b
416
a）,L（a,b）
（b
a）3
6
故当ax1x2
b时,
b
fxdx
a
x1fx2
b
结论成立.
命题4设f（x）
2
Ca,b,
b—a,Mmax
xa,b
f（X）,Mixamax’aih
（x）,i1,2,n
I与I如上，则I
的误差满足:
I
证明:
b
af（x）dx
f（2i12i）
aih
由命题3,得
aih
于是
4.例题
a（i1）hf（X）dX
/f（2i门f（-2i）
i1
aih
（i1）hf（x）dx
a（i1）h
f（x）dx
a（i1）h
f（2i1）
h
i112
1
or）.
n
f（2i1）f（2i）h
f（2i）
（ba）3M
12n2
M-h3,i1,2,,n
12
对于积分
01
■^ydx，该积分精确值为3.1416.下面分别给出本文所涉及计算方法对它
x
的计算结果:
4.1用三种基于几何意义的算法：
矩形算法,梯形法，抛物线法作比较，结果如表1:
表1
几何意义算法的比较
分割数
算法
近似值
误差
矩形
3.14241294
8.3e1
101
梯形
3.1399398
1.7e3
抛物线
3.1415569
4.1e8
102
矩形
3.1415528
8.3e1
梯形3.1416496i.7e5
抛物线3.141601284.0e11
4.2用平均值法，及其改进“类矩形”Monte-Carlo方法，“类梯形”Monte-Carlo方法计算
结果如表2:
表2概率意义算法的比较
节点数
算法
近似值
误差
平均值法
3.13849728
3.1e3
104
类矩形法
3.1416903
7.0e5
类梯形法
3.14160029
2.0e9
5.结语
本文介绍的几种求积公式各有特点：
梯形求积公式和抛物线法求积公式是低精度公式
但对于光滑性较差的被积函数有时比用高精度方法能得到更好的效果，尤其是梯形求积公
式.当被积函数为周期函数时，效果更为突出.由表1分析，一般情形下，三种基于几何的算法中矩形算法的误差最大，梯形法次之，抛物线法最高.抛物线法的积分精度远远高于另外两种方法，特别是在积分区间分割份数较小的情况下，仍然保持较高的近似程度.
“类矩形”Monte-Carlo方法；“类梯形”Monte-Carlo方法是平均值法的改进提高了平均值法的精确度.通过表2可以看出，直接用平均值法计算定积分,104节点的计算已
经很可观了，但计算结果只有2位有效数字，而选取同样的节点数，计算量几乎不变，类矩阵法就达到了4位有效数字，类梯形法则达到了8位有效数字，恰好与上述定理中误差阶的估计是一致的，从而也验证了“类矩形”Monte-Carlo方法和”类梯形”Monte-Carlo方法的高效性.从表2中也可以看出随着节点数的增大，积分精度会不断提高，当然计算复杂度就会增加.
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