小学四年级培优数学解题解题方法综合.docx

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小学四年级培优数学解题解题方法综合

小学四年级培优数学.解题方法综合

一、观察法

在解答数学题时，第一步是观察。

观察是基础，是发现问题、解决问题的首要步骤。

小学数学教材，特别重视培养观察力，把培养观察力作为开发与培养学生智力的第一步。

观察法，是通过观察题目中数字的变化规律及位置特点，条件与结论之间的关系，题目的结构特点及图形的特征，从而发现题目中的数量关系，把题目解答出来的一种解题方法。

观察要有次序，要看得仔细、看得真切，在观察中要动脑，要想出道理、找出规律。

例你能从400÷25=（400×4）÷（25×4）=400×4÷100=16中得到启发，很快算出

（1）600÷25

（2）900÷25（3）1400÷25（4）1800÷25（5）7250÷25的得数吗？

二、尝试法

解应用题时，按照自己认为可能的想法，通过尝试，探索规律，从而获得解题方法，叫做尝试法。

尝试法也叫“尝试探索法”。

一般来说，在尝试时可以提出假设、猜想，无论是假设或猜想，都要目的明确，尽可能恰当、合理，都要知道在假设、猜想和尝试过程中得到的结果是什么，从而减少尝试的次数，提高解题的效率。

例三个连续自然数的积是120，求这三个数.

例在下面式子里的适当位置上加上括号，使它们的得数分别是47、75、23、35。

（1）7×9+12÷3-2＝47

（2）7×9+12÷3-2=75

（3）7×9+12÷3-2=23（4）7×9+12÷3-2=35

例王明和李平一起剪羊毛，王明剪的天数比李平少。

王明每天剪20只羊的羊毛，李平每天剪12只羊的羊毛。

他俩共剪了112只羊的羊毛，两人平均每天剪14只羊的羊毛。

李平剪了几天羊毛？

三、列举法

解应用题时，为了解题的方便，把问题分为不重复、不遗漏的有限情况，一一列举出来加以分析、解决，最终达到解决整个问题的目的。

这种分析、解决问题的方法叫做列举法。

列举法也叫枚举法或穷举法。

用列举法解应用题时，往往把题中的条件以列表的形式排列起来，有时也要画图。

例19○13○7=10014○2○5=□把+、-、×、÷四种运算符号分别填在适当的圆圈中（每种运算符号只能用一次），并在长方形中填上适当的整数，使上面的两个等式都成立。

这时长方形中的数是几？

例2 印刷工人在排印一本书的页码时共用1890个数码，这本书有多少页？

例3用一根80厘米长的铁丝围成一个长方形，长和宽都要是5的倍数。

哪一种方法围成的长方形面积最大？

四、综合法

从已知数量与已知数量的关系入手，逐步分析已知数量与未知数量的关系，一直到求出未知数量的解题方法叫做综合法。

以综合法解应用题时，先选择两个已知数量，并通过这两个已知数量解出一个问题，然后将这个解出的问题作为一个新的已知条件，与其它已知条件配合，再解出一个问题……一直到解出应用题所求解的未知数量。

运用综合法解应用题时，应明确通过两个已知条件可以解决什么问题，然后才能从已知逐步推到未知，使问题得到解决。

这种思考方法适用于已知条件比较少，数量关系比较简单的应用题。

例1两个工人排一本39500字的书稿。

甲每小时排3500字，乙每小时排3000字，两人合排5小时后，还有多少字没有排？

例2客车、货车同时由甲、乙两地出发，相向而行。

客车每小时行60千米，货车每小时行40千米，5小时后客车和货车相遇。

求甲、乙两地之间的路程。

例3一个服装厂计划做660套衣服，已经做了5天，平均每天做75套。

剩下的要3天做完，问平均每天要做多少套？

例4某装配车间，甲班有20人，平均每人每天可做72个零件；乙班有24人，平均每人每天可做68个零件。

如果装一台机器需要12个零件，那么甲、乙两班每天生产的零件可以装多少台机器？

【刚开始学习以综合法解应用题时，一定要画思路图。

】

五、分析法

从求解的问题出发，正确选择所需要的两个条件，依次推导，一直到问题得到解决的解题方法叫分析法。

用分析法解应用题时，如果解题所需要的两个条件，（或其中的一个条件）是未知的，就要分别求解找出这两个（或一个）条件，一直到所需要的条件都是已知的为止。

分析法适于解答数量关系比较复杂的应用题。

例某车间要生产180个机器零件，已经工作了3天，平均每天生产20个。

剩下的如果每天生产30个，还需要几天才能完成？

六、归一法

先求出单位数量（如单价、工效、单位面积的产量等），再以单位数量为标准，计算出所求数量的解题方法叫做归一法。

归一法分为一次直进归一法、一次逆反归一法、二次直进归一法、二次逆反归一法。

用归一法一般是解答整数、小数应用题，但也可以解答分数应用题。

有些应用题用其它方法解答比较麻烦，不易懂，用归一法解则简单，容易懂。

“一次逆转归一法”通过一步计算求出单位数量，再求总数量里包含多少个单位数量的解题方法，叫做一次逆转归一法。

例某人骑自行车从甲地到乙地，2小时行了26千米，剩下的路程是52千米。

按照这样的速度，此人从甲地到乙地要行几小时？

七、归总法

已知单位数量和单位数量的个数，先求出总数量，再按另一个单位数量或单位数量的个数求未知数量的解题方法叫做归总法。

解答这类问题的基本方法是：

总数量=单位数量×单位数量的个数；

另一单位数量（或个数）=总数量÷单位数量的个数（或单位数量）。

例1某工厂制造一批手扶拖拉机，原计划每天制造6台，30天完成。

实际上只用了一半的时间就完成了任务。

实际每天制造多少台？

例2某化肥厂要生产一批化肥，计划每天生产45吨，24天可以完成任务。

由于改进生产技术，提高了工作效率，平均每天比原计划多生产15吨。

实际几天完成任务？

8、分解法

修理工人要掌握一台机器的构造和性能，有一个好办法：

把机器拆开，对一个一个零件进行研究，然后再装配起来。

经过这样拆拆装装，就能够熟悉机器的构造和性能了，这是日常生活中常见的现象。

我们可以从中发现“由整体到部分，由部分到整体”的认识事物的规律。

分析应用题也要用到这种方法。

一道多步复杂的应用题是由几道一步的基本应用题组成的。

在分析应用题时，可把一道复杂的应用题先拆成几道基本应用题，从中找到解题的线索。

我们把这种解题的思考方法称为分解法。

例工厂运来一批煤，原计划每天烧5吨，可以烧12天。

现在改进烧煤技术后，每天比原计划节约1吨。

现在这批煤可以烧几天？

9、分组法

在日常生活和生产中，有些事物的数量是按照一定的规律，一组一组有秩序地出现的。

只要能看出哪些数量是同一组的，并计算出总数量中包含有多少个这样的同一组的数量，就便于计算出这一组数量中的每一种物品各是多少个，从而解答出应用题。

这种解答应用题的方法叫做分组法。

10、份数法

把应用题中的数量关系转化为份数关系，并确定某一个已知数或未知数为1份数，然后先求出这个1份数，再以1份数为基础，求出所要求的未知数的解题方法，叫做份数法。

以份数法解和倍应用题已知两个数的和及两个数的倍数关系，求这两个数的应用题叫做和倍应用题。

例1某林厂有杨树和槐树共320棵，其中杨树的棵数是槐树棵数的3倍。

求杨树、槐树各有多少棵？

例2甲、乙两个煤场共存煤490吨，已知甲煤场存煤数量比乙煤场存煤数量的4倍少10吨。

甲、乙两个煤场各存煤多少吨？

11、消元法

在数学中，“元”就是方程中的未知数。

“消元法”是指借助消去未知数去解应用题的方法。

当题中有两个或两个以上的未知数时，要同时求出它们是做不到的。

这时要先消去一些未知数，使未知数减少到一个，才便于找到解题的途径。

这种通过消去未知数的个数，使题中的数量关系达到单一化，从而先求出一个未知数，然后再将所求结果代入原题，逐步求出其他未知数的解题方法叫做消元法。

以同类数量相减的方法消元

例买1张办公桌和2把椅子共用336元；买1张办公桌和5把椅子共用540元。

求买1张办公桌和1把椅子各用多少钱？

以和、积、商、差代换某数的方法消元解题时，可用题中某两个数的和，或某两个数的积、商、差代换题中的某个数，以达到消元的目的。

*以两个数的和代换某数

例甲、乙两个书架上共有584本书，甲书架上的书比乙书架上的书少88本。

两个书架上各有多少本书？

*以两个数的积代换某数

例3双皮鞋和7双布鞋共值242元，一双皮鞋的钱数与5双布鞋的钱数相同。

求每双皮鞋、布鞋各值多少钱？

12、比较法

通过对应用题条件之间的比较，或难解题与易解题的比较，找出它们的联系与区别，研究产生联系与区别的原因，从而发现解题思路的解题方法叫做比较法。

在用比较法解应用题时，有些条件可直接比较，有些条件不能直接比较。

在条件不能直接比较时，可借助画图、列表等方法比较，也可适当变换题目的陈述方式及数量的大小，创造条件比较。

在同一道题内比较就是在同一道题的条件与条件、数量与数量之间的比较，不涉及其他题目。

*直接比较

例四年级甲班要种一些树。

如果每人种5棵，则剩下75棵；如果每人种7棵，则缺15棵。

问这个班有多少人？

这批树苗有多少棵？

*画图比较有些应用题由于数量关系复杂、抽象，不便于通过直接推理、比较看出数量关系，可借助画图作比较，就容易看出数量关系。

*列表比较有些应用题适于借助列表的方法比较条件。

在用列表的方法比较条件时，要把题中的条件摘录下来，尽量按“同事横对，同名竖对”的格式排列成表。

这就是说，要尽量使同一件事情的数量横着对齐，使单位名称相同的数量竖着对齐。

和容易解的题比较当一道应用题比较复杂时，可先回忆过去是不是学过类似的、较容易解的题，回忆起来后，可进行比较，找出联系，从而找到解题途径。

*与常见题比较

4名骑兵轮流骑3匹马，行8千米远的路程，每人骑马行的路程相等。

求每人骑马行的路程是多少？

*与基本题比较

*把逆向题与顺向题比较

创造条件比较对那些不能以题中现有条件与相关条件进行比较的应用题，应适当变换条件，创造可以比较的条件，再进行比较。

13、演示法

对于那些不容易理解和分析数量关系的应用题，利用身边现成的东西，如铅笔、橡皮、小刀、文具盒等，进行演示，使应用题的内容形象化，数量关系具体化，这种解题的方法叫做演示法。

14、列表法

把应用题中的条件简要地摘录下来，列表分类整理、排列，并借助这个表格分析、解答应用题的方法叫做列表法。

在用列表法解题时，要仔细判断题中哪些数量是同一件事中直接相关联的，哪些数量是同一类的。

排列数量时，要尽量做到“同事横对”，“同名竖对”。

这就是说，要使同一件事中直接相关联的数量横向排列，使同一类的、单位名称相同的数量竖着排列，还要使它们的数位上、下对齐。

这样就可以在读题、列表的过程中正确识别数量，选择数量，理解数量之间的联系、区别，理清思路，为下一步的分析、推理作好准备。

通过列表突出题目的解法特点有些应用题的解法具有一定的特点，如果把题中的条件按一定的格式排列，整理成表，则表格会起到突出题目解法特点的作用。

例1桌子上放着黄、红、绿三种颜色的塑料碗。

3只黄碗里放着51个玻璃球，5只红碗里放着75个玻璃球，2只绿碗里放着24个玻璃球。

要使每只碗里玻璃球的个数相同，每只碗里应放多少个玻璃球？

例2荒地村砂场用3辆汽车往火车站运送砂子，5天运了180吨。

照这样计算，用4辆同样的汽车15天可以运送多少吨砂子？

例3甲校买8个排球，5个篮球，共用415元，乙校买同样的4个排球、5个篮球，共用295元。

求买一个排球需要多少钱？

通过列表暴露题目的中间问题解答复合应用题的关键，是找出解答最后问题所需要的中间问题（隐藏量），应用题的步骤越多，需要找出的中间问题就越多，解答的过程就越复杂。

在用列表法解应用题时，由于题中数量是按“同事横对，同名竖对”的规律排列在表中，所以便于思考求最后的问题需要哪些数量，这些数量中哪些是已知的、哪些是未知的中间问题。

同时也便于思考怎样求出中间问题，并在必要时把求中间问题的算式写在表中。

这样，中间问题便暴露于表格中，和已知数处于平等的地位，从而排除了思维道路上的障碍，减轻了解题的难度。

15、倍比法

解应用题时，先求出题中两个对应的同类数量的倍数，再通过“倍数”去求未知数，这种解题的方法称为倍比法。

用倍比法解归一问题可以用倍比法解答的应用题一般都可以用归一法来解（除不尽时，可以用分数、小数来表示），但用倍比法解答要比用归一法简便。

实际上，倍比法是归一法的特殊形式。

为计算方便，在整数范围内，如果用归一法除不尽时，可以考虑用倍比法来解。

反之，运用倍比法除不尽时，也可以考虑改用归一法来解。

要根据题目中的具体条件，选择最佳解法。

例工厂运来52吨煤，先用其中的13吨炼出9750千克焦炭。

照这样计算，剩下的煤可以炼出多少千克焦炭？

16、逆推法

小朋友在玩“迷宫”游戏时，在纵横交错的道路中常常找不到出口。

有些聪明的小朋友，反其道而行之，从出口倒回去找入口，然后再沿着自己走过的路返回来。

由于从出口返回时，途径单一，很快就会找到入口，然后再由原路退回，走出“迷宫”自然就不难了。

解应用题也是这样，有些应用题用顺向推理的方法很难解答，如果从问题的结果出发，从后往前逐步推理，问题就很容易得到解决了。

这种从条件或问题反过去想而寻求解题途径的方法，叫做逆推法。

用逆推法解应用题列算式时，经常要根据加减互逆，乘除互逆的关系，把原题中的加用减算，减用加算；把原题中的乘用除算，除用乘算。

从结果出发逐步逆推

例1一个数除以4，再乘以2，得16，求这个数。

例2粮库存有一批大米，第一天运走450千克，第二天运进720千克，第三天又运走610千克，粮库现有大米1500千克。

问粮库原来有大米多少千克？

例3某数加上9后，再乘以9，然后减去9，最后再除以9，得9。

问这个数原来是多少？

借助思路图逆推

例某工程队原计划12天修公路2880米，由于改进了工作方法，8天就完成了任务。

问实际比原计划每天多修多少米？

17、图解法

图形是数学研究的对象，也是数学思维和表达的工具。

在解答应用题时，如果用图形把题意表达出来，题中的数量关系就会具体而形象。

图形可起到启发思维、支持思维、唤起记忆的作用，有利于尽快找到解题思路。

有时，作出了图形，答案便在图形中。

示意图示意图是为了说明事物的原理或具体轮廓而绘成的略图。

小学数学中的示意图简单、直观、形象，使人容易理解图中的数量关系。

例妈妈给兄弟二人每人10个苹果，哥哥吃了8个，弟弟吃了5个。

谁剩下的苹果多？

多几个？

线段图线段图是以线段的长短表示数量的大小，以线段间的关系反映数量间关系的一种图形。

在小学数学应用题教学中线段图是使用最多、最方便的一种图形。

例托尔斯泰是俄罗斯伟大作家，享年82岁。

他在19世纪中度过的时间比在20世纪中度过的时间多62年。

问托尔斯泰生于哪一年？

去世于哪一年？

思路图小学数学中的许多应用题，需要用综合法或分析法分析解答。

如果把思维的过程用文字图形表示出来，就有助于正确选择已知数量，提出中间问题，理清数量关系，从而顺利解题。

这种表示思维过程的图形就是思路图。

例题参见前面的分析法和综合法。

十九、对应法

解应用题时要找出题中数量间的对应关系。

如解平均数应用题需找出“总数量”所对应的“总份数”；解倍数应用题需找出具体数量和倍数的对应关系；解分数应用题需找出数量与分率的对应关系。

因此，找出题中“对应”的数量关系，是解答应用题的基本方法之一。

用对应的观点，发现应用题数量之间的对应关系，通过对应数量求未知数的解题方法，称为对应法。

解答复杂的分数应用题，关键就在于找出具体数量与分率的对应关系。

解平均数应用题在应用题里，已知几个不相等的已知数及份数，要求出总平均的数值，称为求平均数应用题。

例河南乡有两块稻谷实验田。

第一块8亩，平均亩产稻谷550千克；第二块6亩，共产稻谷2880千克。

这两块试验田平均亩产稻谷多少千克？

解倍数应用题已知两个数的倍数关系以及它们的和，求这两个数的应用题，称为和倍应用题；已知两个数的倍数关系以及它们的差，求这两个数的应用题，称为差倍应用题。

总体讲，已知各数量之间的倍数关系和其他条件，求各个数量大小的这类应用题，就叫倍数应用题。

在解倍数应用题时，要找准具体数量和倍数的对应关系。

例甲、乙两筐中有重量相同的苹果。

由甲筐卖出75千克，由乙筐卖出97千克后，甲筐剩下苹果的重量是乙筐剩下苹果重量的3倍。

乙筐现在有苹果几千克？

二十、集合法

我们在研究一些问题时，可以把某一确定范围内的事物的全体看作是一个集合。

例如，所有自然数就可以看作是一个集合。

在小学一般用画图的方式表示集合，这种图叫作韦恩图（韦恩是英国数学家）。

运用集合的思想，利用韦恩图进行解题的方法叫做集合法。

二十一、守恒法

应用题中的数量有的是变化的，有的是始终不变的。

解应用题时，抓住始终不变的数量，分析不变的数量与其他数量的关系，从而找到解题的突破口，把应用题解答出来的解题方法，叫做守恒法，也叫抓不变量法。

总数量守恒有些应用题中不变的数量是总数量，用守恒法解题时要抓住这个不变的总数量。

差数守恒当应用题中两个数量的差是不变的数量时，要抓住这个差，分析数量关系解题。

例1父亲今年35岁，儿子5岁。

多少年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍？

例2小明有200个枣，大平有120个枣。

两人吃掉个数相同的枣后，小明剩下的枣是大平剩下枣的5倍。

问两个人一共吃掉多少个枣。

二十二、两差法

解应用题时，首先确定一个标准数（即1倍数），再根据已知的两数差与倍数差，用除法求出1倍数，然后以此为基础，用乘法求出另一个数的解题方法，叫做两差法。

用两差法一般是解答差倍问题。

差倍问题的数量关系是：

两数差÷倍数差=1倍数1倍数×倍数=几倍数较小数+两数差=较大数

例1某厂女职工人数是男职工人数的6倍，男职工比女职工少65人。

这个厂男女职工共有多少人？

例2甲、乙两数的差是28，甲数是乙数的3倍。

问甲乙两数各是多少？

二十三、比例法

比和比例是传统算术的重要内容，在较早的年代，许多实际问题都是应用比和比例的知识来解答的。

近年来，小学数学教材中比和比例的内容虽然简化了，但它仍是小学数学教学的重要内容之一，是升入中学继续学习的必要基础。

用比例法解应用题，实际上就是用解比例的方法解应用题。

有许多应用题，用比例法解简单、方便，容易理解。

用比例法解答应用题的关键是：

正确判断题中两种相关联的量是成正比例还是成反比例，然后列成比例式或方程来解答。

二十四、转换法

解答应用题时，通过转换（即转化）题中的情节，分析问题的角度、数据……从而较快找到解题思路，或简化解题过程的解题方法叫做转换法。

二十五、假设法

当应用题用一般方法很难解答时，可假设题中的情节发生了变化，假设题中两个或几个数量相等，假设题中某个数量增加了或减少了，然后在假设的基础上推理，调整由于假设而引起变化的数量的大小，题中隐蔽的数量关系就可能变得明显，从而找到解题方法。

这种解题方法就叫做假设法。

用假设法解应用题，要通过丰富的想象，假设出既合乎题意又新奇巧妙，既简单又便于计算的条件。

有些用一般方法能解答的应用题，用假设法解答可能更简捷。

假设某个数量扩大了或缩小了

例1把鸡和兔放在一起共有48个头、114只爪和脚。

鸡和兔各有多少只？

二十六、设数法

当应用题中没有解题必需的具体的数量，并且已有数量间的关系很抽象时，如果假设题中有个具体的数量，或假设题中某个未知数的数量是单位1，题中数量之间的关系就会变得清晰明确，从而便于找到解答问题的方法，我们把这种解答应用题的方法叫做设数法。

实际上设数法是假设法中的一种方法，因为它的应用比较多，所以我们把它单列为一种解题方法。

在用设数法解答应用题设具体数量时，要注意两点：

一是所设数量要尽量小一些；二是所设的数量要便于分析数量关系和计算。

二十七、代数法

解应用题时，用字母代表题中的未知数，使它和其他已知数同样参加列式、计算，从而求得未知数的解题方法，叫做代数法。

代数法也就是列方程解应用题的方法。

学习用代数法解应用题，要以学过算术法解应用题为基础。

我们知道用算术法解应用题时，未知数始终处于被追求的地位，除了要进行顺向思考，必要时还要进行逆向思考，所以有些应用题用算术法解答很困难，而用代数法解应用题，由于是用字母代表题中的未知数，因此只要把代表未知数的字母看作已知数来考虑问题，正确找出题中数量间的等量关系，就可以用代表未知数的字母和已知数共同组成一个等式（即方程），然后计算出未知数的值。

这种解题思路直接、简单，可化难为易，特别是在解答比较复杂的应用题时用代数法就更容易。

小学生在开始学习用代数法解应用题时，可能不大习惯，会受到算术法解题思路的干扰，在解题过程中可能出现一些错误。

为顺利地学好用代数法解应用题，应注意以下几个问题：

1.切实理解题意。

通过读题，要明白题中讲的是什么意思，有哪些已知条件，未知条件是什么，已知条件与未知条件之间是什么关系。

2.在切实理解题意的基础上，用字母代表题中（设）未知数。

通常用字母x代表未知数，题目问什么就用x代表什么。

小学数学教材中，求列方程解答的应用题绝大多数都是这样的。

有些练习题在用代数法解答时，不能题中问什么都用x表示。

x只表示题中另一个合适的未知数，这样才能顺利列出方程，求出所设的未知数。

然后通过计算，求出题目要求的那个未知量。

如果一道题要求两个或两个以上的未知数，这就要根据题目的具体情况，从思考容易、计算方便着眼，灵活选择一个用x表示，其他未知数用含有x的代数式表示。

3.根据等量关系列方程。

要根据应用题中数量之间的等量关系列出方程。

列方程要同时符合三个条件：

（1）等号两边的式子表示的意义相同；

（2）等号两边数量的单位相同；（3）等号两边的数量相等。

如果一道应用题的数量有几个相等的关系，并且每一个都可以作为列方程的依据，这时要选择最简便、最明确的等量关系列出方程。

列方程时，如果未知数x只出现在等式的一端，要注意把含有未知数x的式子放在等式左边，这样解方程时比较方便。

但不能在列方程时，只把表示未知数的一个字母x单独写在等号左端，因为这种列式的方法不是代数法，而仍然是算术法。

4.解方程。

解方程是根据四则运算中各部分数之间的关系进行推算。

计算要有理有据，书写格式要正确。

解出x的数值后，不必注单位名称。

5.先检验，后写答案。

求出x的值以后，不要忙于写出答案，而是要先把x的值代入原方程进行检验，检验方程左右两边的得数是不是相等。

如果方程左右两边的得数相等，则未知数的值是原方程的解；如果方程左右两边的数值不相等，那么所求出的未知数的值就不是原方程的解。

这时就要重新检查：

未知数设得对不对？

方程列得对不对？

计算过程有没有问题？

……一直到找出问题的根源。

值得注意的是：

即使求出的未知数的值是原方程的解，也应仔细考虑一下，得出的这个值是否符合题意，是否有道理。

当证明最后得数确实正确后再写出答案。

列方程解应用题的关键是找准等量关系，根据等量关系列出方程。

找等量关系没有固定方法，考虑的角度不同，得出的等量关系式就不同。

二十八、联想法

我们把由某事物而想起其他相关的事物，由某概念而想起其他相关的概念，由某种解题方法而想起其他解题方法，从而使问题得到解决的解题方法叫做联想法。

通过联想，可以把感知过的客观事物中那些接近的、相似的、对立的，或有一定因果关系的事物建立某种联系，从而沟通知识之间的逻辑关系，促进知识之间、方法之间的迁移和同化，有利于认识新事物、产生新的设想。

纵向联想这是把问题的前后条件联系起来思考的方法。

横向联想这是指从一个问题想到另一个问题的思考方法。

多角度联想这是指对一个问