第六章一阶电路暂态分析.docx
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第六章一阶电路暂态分析
第六章一阶电路暂态分析
一、教学基本要求
1、掌握动态电路的特点、电路初始值的求法、零输入响应、零状态响应、全响应、阶跃响应、冲激响应的概念和物理意义。
2、会计算和分析一阶动态电路，包括三种方法：
⑴全响应＝零状态响应＋零输入响应；⑵全响应＝暂态响应＋稳态响应；⑶“三要素”法。
二、教学重点与难点
1.教学重点：
（1）.动态电路方程的建立和动态电路初始值的确定；
（2）.一阶电路时间常数的概念；
（3）.一阶电路的零输入响应和零状态响应；
（4）.求解一阶电路的三要素方法；
（5）.自由分量和强制分量、暂态分量和稳态分量的概念；
2．教学难点:
（1）.应用基尔霍夫定律和电感、电容的元件特性建立动态电路方程。
（2）.电路初始条件的概念和确定方法。
三、本章与其它章节的联系：
本章讨论的仍是线性电路，因此前面讨论的线性电路的分析方法和定理全部可以用于本章的分析中。
第9章讨论的线性电路的正弦稳态响应就是动态电路在正弦激励下的稳态分量的求解。
四、学时安排总学时：
6
教学内容
学时
1．动态电路的方程及初始条件、一阶电路的零输入响应
2
2．一阶电路的零状态响应、一阶电路的全响应
2
3．一阶电路的阶跃响应、一阶电路的冲激响应
2
五、教学内容
§6.1 动态电路的方程及其初始条件
1.动态电路
含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。
由于动态元件是储能元件，其VCR是对时间变量t的微分和积分关系，因此动态电路的特点是：
当电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。
这个变化过程称为电路的过渡过程。
下面看一下电阻电路、电容电路和电感电路在换路时的表现。
1）电阻电路
图6.1（a）（b）
图6.1（a）所示的电阻电路在t=0时合上开关，电路中的参数发生了变化。
电流i随时间的变化情况如图6.1（b）所示，显然电流从t＜0时的稳定状态直接进入t＞0后的稳定状态。
说明纯电阻电路在换路时没有过渡期。
2）电容电路
图6.2（a）（b）
图6.2（c）
图6.2（a）所示的电容和电阻组成的电路在开关未动作前，电路处于稳定状态，电流i和电容电压满足：
i=0，uC=0。
t=0时合上开关，电容充电，接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态，电流i和电容电压满足：
i=0，uC=US。
电流i和电容电压uC随时间的变化情况如图6.2（c）所示，显然从t＜0时的稳定状态不是直接进入t＞0后新的稳定状态。
说明含电容的电路在换路时需要一个过渡期。
3）电感电路
图6.3（a）（b）
图6.3（c）
图6.3（a）所示的电感和电阻组成的电路在开关未动作前，电路处于稳定状态，电流i和电感电压满足：
i=0，uL=0。
t=0时合上开关。
接通电源很长时间后，电路达到新的稳定状态，电流i和电感电压满足：
i=0，uL=US/R。
电流i和电感电压uL随时间的变化情况如图6.3（c）所示，显然从t＜0时的稳定状态不是直接进入t＞0后新的稳定状态。
说明含电感的电路在换路时需要一个过渡期。
从以上分析需要明确的是：
1＝换路是指电路结构、状态发生变化，即支路接入或断开或电路参数变化；
2＝含有动态元件的电路换路时存在过渡过程，过渡过程产生的原因是由于储能元件L、C，在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放需要一定的时间来完成，即：
若
则
3＝代替电路方向就是研究换路后动态电路中电压、电流随时间的变化过程。
2.动态电路的方程
分析动态电路，首先要建立描述电路的方程。
动态电路方程的建立包括两部分内容：
一是应用基尔霍夫定律，二是应用电感和电容的微分或积分的基本特性关系式。
下面通过例题给出详细的说明。
图6.4图6.5
设RC电路如图6.4所示，根据KVL列出回路方程为：
由于电容的VCR为：
从以上两式中消去电流得以电容电压为变量的电路方程：
若以电流为变量，则有：
对以上方程求导得：
设RL电路如图6.5所示的，根据KVL列出回路方程为：
由于电感的VCR为：
以上两式中消去电感电压得以电流为变量的电路方程：
若以电感电压为变量，则有：
对以上方程求导得：
图6.6
对图6.6所示的RLC电路，根据KVL和电容、电感的VCR可得方程为：
整理以上各式得以电容电压为变量的二阶微分方程：
考察上述方程可得以下结论：
（1）描述动态电路的电路方程为微分方程；
（2）动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数，一般而言，若电路中含有n个独立的动态元件，那么描述该电路的微分方程是n阶的，称为n阶电路；
（3）描述动态电路的微分方程的一般形式为：
描述一阶电路的方程是一阶线性微分方程
描述二阶电路的方程是二阶线性微分方程
高阶电路的方程是高阶微分方程：
方程中的系数与动态电路的结构和元件参数有关。
3.电路初始条件的确定
求解微分方程时，解答中的常数需要根据初始条件来确定。
由于电路中常以电容电压或电感电流作为变量，因此，相应的微分方程的初始条件为电容电压或电感电流的初始值。
若把电路发生换路的时刻记为t=0时刻，换路前一瞬间记为0－，换路后一瞬间记为0＋，则初始条件为t=0＋时u，i及其各阶导数的值。
（1）电容电压和电感电流的初始条件
由于电容电压和电感电流是时间的连续函数（参见第一章），所以上两式中的积分项为零，从而有：
对应于
以上式子称为换路定律，它表明：
1）换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）在换路前后保持不变，这是电荷守恒定律的体现。
2）换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）在换路前后保持不变。
这是磁链守恒的体现。
需要明确的是:
1）电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。
2）换路定律反映了能量不能跃变的事实。
（2）电路初始值的确定
根据换路定律可以由电路的uC（0－）和iL（0－）确定uC（0+）和iL（0+）时刻的值,电路中其他电流和电压在t=0+时刻的值可以通过0+等效电路求得。
求初始值的具体步骤是：
1）由换路前t=0－时刻的电路（一般为稳定状态）求uC（0－）或iL（0－）；
2）由换路定律得uC（0+）和iL（0+）；
3）画t=0+时刻的等效电路：
电容用电压源替代，电感用电流源替代（取0+时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同）；
4）由0+电路求所需各变量的0+值。
例6-1图示电路在t＜0时电路处于稳态，求开关打开瞬间电容电流iC（0+）
例6-1图（a）（b）
解：
（1）由图（a）t=0－电路求得：
uC（0－）=8V
（2）由换路定律得：
uC（0＋）=uC（0－）=8V
（3）画出0＋等效电路如图（b）所示，电容用8V电压源替代，解得：
注意：
电容电流在换路瞬间发生了跃变，即：
例6-2图示电路在t＜0时电路处于稳态，t=0时闭合开关,求电感电压uL（0+）。
例6-2图（a）
解：
（1）首先由图（a）t=0－电路求电感电流，此时电感处于短路状态如图（b）所示，则：
例6-2图（b）例6-2图（c）
（2）由换路定律得：
iL（0+）=iL（0－）=2A
（3）画出0+等效电路如图（c）所示，电感用2A电流源替代，解得：
注意：
电感电压在换路瞬间发生了跃变，即：
例6-3图示电路在t＜0时处于稳态，t=0时闭合开关,求电感电压uL（0+）和电容电流iC（0+）
例6-3图（a）
解：
（1）把图（a） t=0－电路中的电感短路，电容开路，如图（b）所示，则：
（2）画出0+等效电路如图（c）所示，电感用电流源替代，电容用电压源替代解得：
例6—3图（b）例6—3图（c）
注意：
直流稳态时电感相当于短路，电容相当于断路。
例6-4求图示电路在开关闭合瞬间各支路电流和电感电压。
例6-4图（a）
解：
（1）把图（a） t=0－电路中的电感短路，电容开路，如图（b）所示，则：
（2）画出0+等效电路如图（c）所示，电感用电流源替代，电容用电压源替代解得：
例6-4图（b）例6-4图（c）
§6.2 一阶电路的零输入响应
动态电路的零输入响应是指换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能所产生的电压和电流。
1.RC电路的零输入响应
图6.7
图6.7所示的RC电路在开关闭合前已充电，电容电压uC（0－）=U0，开关闭合后，根据KCVL可得：
，由于
，
代入上式得微分方程：
特征方程为RCp+1=0，特征根为：
则方程的通解为：
代入初始值得：
A=uC（0+）=U0，
放电电流为：
或根据电容的VCR计算：
从以上各式可以得出：
1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数，如图6.8所示；
图6.8图6.9
2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC有关。
令τ=RC，τ的量纲为：
称τ为一阶电路的时间常数。
τ的大小反映了电路过渡过程时间的长短，即：
τ大→过渡过程时间长，τ小→过渡过程时间短，如图6.9所示。
表6.1给出了电容电压在τ=τ，τ=2τ，τ=3τ，……时刻的值。
表6.1
表中的数据表明经过一个时间常数τ，电容电压衰减到原来电压的36.8%，因此，工程上认为,经过3τ－5τ,过渡过程结束。
3）在放电过程中，电容释放的能量全部被电阻所消耗，即：
2.RL电路的零输入响应
图6.10（a）所示的电路为RL电路，在开关动作前电压和电流已恒定不变，因此电感电流的初值为：
图6.10（a）
开关闭合后的电路如图6.10（b）所示，
根据KCVL可得：
把
代入上式得微分方程：
图6.10（b）
特征方程为：
Lp+R=0，特征根
则方程的通解为：
代入初始值得：
A=i（0+）=I0
电感电压为：
从以上各式可以得出：
（1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数，如图6.11所示；
图6.11
（2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与L/R有关。
令τ=L/R,称为一阶RL电路时间常数，满足：
（3）在过渡过程中，电感释放的能量被电阻全部消耗，即：
小结：
1）一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数，其一般表达式可以写为：
2）零输入响应的衰减快慢取决于时间常数τ，其中RC电路τ=RC,RL电路τ=L/R
R为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。
3）同一电路中所有响应具有相同的时间常数。
4）一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。
用经典法求解一阶电路零输入响应的步骤：
1）根据基尔霍夫定律和元件特性列出换路后的电路微分方程，该方程为一阶线性齐次常微分方程；
2）由特征方程求出特征根；
3）根据初始值确定积分常数从而得方程的解。
例6-5图示电路中的电容原本充有24V电压，求开关闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。
例6-5图（a）
解：
这是一个求一阶RC零输入响应问题，t＞0后的等效电路如图（b）所示，有：
代入
得：
分流得：
例6-5图（b）
注意：
通常为了分析方便，将电路中纯电阻部分从电路中分离出来并简化
其等效电路。
例6-6图示电路原本处于稳态，t=0时,打开开关，求t＞0后电压表的电压随时间变化的规律，已知电压表内阻为10kΩ，电压表量程为50V。
例6—6图
解：
电感电流的初值为：
iL（0+）=iL（0－）=1A
开关打开后为一阶RL电路的零输入响应问题，因此有：
代入初值和时间常数：
得电压表电压：
t=0+时，电压达最大值：
，会造成电压表的损坏。
注意：
本题说明RL电路在换路时会出现过电压现象，不注意会造成设备的损坏。
例6-7图示电路原本处于稳态，t=0时,开关K由1→2，求t＞0后的电感电压和电流及开关两端电压u12。
例6—7图（a）
解：
电感电流的初值为：
开关打开后为一阶RL电路的零输入响应问题，其等效电路如图（b）所示，等效电阻为：
时间常数：
因此电感电流和电压为：
图（b）
开关两端的电压：
§6.3 一阶电路的零状态响应
一阶电路的零状态响应是指动态元件初始能量为零，t＞0后由电路中外加输入激励作用所产生的响应。
用经典法求零状态响应的步骤与求零输入响应的步骤相似，所不同的是零状态响应的方程是非齐次的。
1.RC电路的零状态响应
图6.12
图6.12所示RC充电电路在开关闭合前处于零初始状态，即电容电压uC（0－）=0，开关闭合后，根据KCVL可得：
把
代入上式得微分方程：
其解答形式为：
其中
为特解，也称强制分量或稳态分量，是与输入激励的变化规律有关的量。
通过设微分方程中的导数项等于0，可以得到任何微分方程的直流稳态分量，上述方程满足
。
另一个计算直流稳态分量的方法是在直流稳态条件下，把电感看成短路，电容视为开路再加以求解。
为齐次方程的通解，也称自由分量或暂态分量。
方程
的通解为：
因此
由初始条件uC（0+）=0得积分常数A=－Us
则
从上式可以得出电流：
从以上各式可以得出：
（1）电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数，电容电压由两部分构成：
稳态分量（强制分量）+暫态分量（自由分量）
各分量的波形及叠加结果如图6.13所示。
电流波形如图6.14所示。
图6.13图6.14
（2）响应变化的快慢，由时间常数τ＝RC决定；τ大，充电慢，τ小充电就快。
（3）响应与外加激励成线性关系；
（4）充电过程的能量关系为：
电容最终储存能量：
电源提供的能量为：
电阻消耗的能量为：
图6.15
以上各式说明不论电路中电容C和电阻R的数值为多少，电源提供的能量总是一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中，即充电效率为50%。
电路中能量的分配如图6.15所示。
2.RL电路的零状态响应
用类似方法分析图6.16所示的RL电路。
电路在开关闭合前处于零初始状态，即电感电流iL（0－）=0，开关闭合后，根据KCVL可得：
图6.16图6.17图6.18
把
代入上式得微分方程：
其解答形式为：
令导数为零得稳态分量：
因此
由初始条件
，得积分常数
则
例6-8图示电路在t=0时,闭合开关K，已知uC（0－）=0，求
（1）电容电压和电流；
（2）电容充电至uC＝80V时所花费的时间t。
例6—8图
解：
（1）这是一个RC电路零状态响应问题，时间常数为：
t＞0后，电容电压为：
充电电流为：
（2）设经过t1秒，uC＝80V，即：
解得：
例6-9图示电路原本处于稳定状态，在t=0时打开开关K，求t＞0后iL和uL的变化规律。
例6—9图（a）
解：
这是一个RL电路零状态响应问题，t＞0后的等效电路如图（b）所示，
（b）
其中：
因此时间常数为：
把电感短路得电感电流的稳态解：
则
例6-10图示电路原本处于稳定状态，在t=0时,打开开关K，求t＞0后的电感电流iL和电压uL及电流源的端电压。
例6-10图（a）
解：
这是一个RL电路零状态响应问题，应用戴维宁定理得t＞0后的等效电路如图（b）所示，有：
例6-10图（b）
把电感短路得电感电流的稳态解：
则
由图（a）知电流源的电压为：
§6.4 一阶电路的全响应
一阶电路的全响应是指换路后电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。
1.全响应
以图6.19所示的RC串联电路为例：
图6.19图6.20
电路微分方程为：
方程的解为：
uC（t）=uC＇+uC＂
令微分方程的导数为零得稳态解：
uC＂=US
暂态解
，其中τ=RC
因此
由初始值定常数A，设电容原本充有电压：
uC（0－）=uC（0+）=U0
代入上述方程得：
uC（0+）=A+US=U0
解得：
A=U0-US
所以电路的全响应为：
2.全响应的两种分解方式
（1）上式的第一项是电路的稳态解，第二项是电路的暂态解，因此一阶电路的全响应可以看成是稳态解加暂态解，即：
全响应=强制分量（稳态解）+自由分量（暂态解）
（2）把上式改写成：
显然第一项是电路的零状态解，第二项是电路的零输入解，因此一阶电路的全响应也可以看成是零状态解加零输入解，即：
全响应=零状态响应+零输入响应
此种分解方式便于叠加计算，如图6.21所示。
图6.21
3.三要素法分析一阶电路
一阶电路的数学模型是一阶微分方程：
其解答为稳态分量加暂态分量，即解的一般形式为：
t=0+时有：
则积分常数：
代入方程得：
注意直流激励时：
以上式子表明分析一阶电路问题可以转为求解电路的初值f（0+），稳态值f（￥）及时间常数τ的三个要素的问题。
求解方法为：
f（0+）：
用t→￥的稳态电路求解；
f（￥）：
用0+等效电路求解；
时间常数τ：
求出等效电阻，则电容电路有τ=RC，电感电路有:
τ=L/R。
例6-11图示电路原本处于稳定状态，t=0时打开开关K，求t＞0后的电感电流iL和电压uL
例6-11图
解：
这是一个一阶RL电路全响应问题，电感电流的初始值为：
时间常数为：
因此零输入响应为：
零状态响应为：
全响应为：
也可以求出稳态分量：
则全响应为：
代入初值有：
6＝2＋A，得：
A=4
例6-12图示电路原本处于稳定状态，t=0时开关K闭合，求t＞0后的电容电流iC和电压uC及电流源两端的电压。
已知：
例6-12图
解：
这是一个一阶RC电路全响应问题，其稳态解：
时间常数为：
则全响应为：
代入初值有：
1＝11＋A，得：
A=－10
所以：
电流源电压为：
例6-13图示电路原本处于稳定状态，t=0时开关闭合，求t＞0后的电容电压uC并画出波形图。
例6-13图（a）
解：
这是一个一阶RC电路全响应问题，应用三要素法，
电容电压的初始值为：
稳态值为：
时间常数为：
代入三要素公式：
所以：
图（b）
电容电压随时间变化的波形如图（b）所示。
例6-14图示电路原本处于稳定状态，t=0时开关闭合，求t＞0后各支路的电流。
例6-14图
解：
这是一个一阶RL电路全响应问题，应用三要素法，
三要素为：
代入三要素公式：
所以：
支路电流为：
例6-15图示电路原本处于稳定状态，t=0时开关由1扳到2，求换路后的电容电压uC（t）。
例6-15图（a）
解：
这是一个一阶RC电路全响应问题，应用三要素法，
三要素为：
由于含有受控源所以应用图（b）电路求等效电阻：
则时间常数为：
代入三要素公式得：
图（b）
例6-16图示电路原本处于稳定状态，t=0时开关闭合，求换路后的电流i（t）。
例6-16图
解：
开关闭合后电路分为两个一阶电路，应用三要素法，
电容电路的三要素为：
电感电路的三要素为：
代入三要素公式得：
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