概率论高等数学习题解答可编辑修改word版.docx

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概率论高等数学习题解答可编辑修改word版

习题二

（A）

三、解答题

1.一颗骰子抛两次，以X表示两次中所得的最小点数

（1）试求X的分布律；

（2）写出X的分布函数．

解:

（1）

X

1

2

3

4

5

6

pi

11

36

9

36

7

36

5

36

3

36

1

36

分析：

这里的概率均为古典概型下的概率，所有可能性结果共36种，如果X=1，则表明两次中至少有一点数为1，其余一个1至6点均可，共有C1⨯6-1（这里C1指任选某次点

22

2

数为1，6为另一次有6种结果均可取，减1即减去两次均为1的情形，因为C1⨯6多

⨯+{

=}=C1⨯6-1=C1⨯5+1=11

可得.

（2）

2

⎧0于x<1

363636

⎪

⎪P{X=1}于1≤x<2

⎪P{X

=1}+P{X

=2}于2≤x<3

⎨

F（x）=⎪P{X

=1}+P{X

=2}+P{X=3}于3≤x<4

⎪

⎪P{X

=1}+P{X

=2}+P{X=3}+P{X

=4}于

4≤x<5

⎪P{X=1}+P{X

=2}+P{X

=3}+P{X

=4}+P{X

=5}于

5≤x<6

⎪于x≥6

⎧0于

⎪11

x<1

⎪于1≤x<2

⎪36

⎪

⎪20于2≤x<3

⎪36

=⎪27于

⎪

⎪32于

⎪

3≤x<4

4≤x<5

⎪35于5≤x<6

⎪36

⎪

⎩1于x≥6

2.某种抽奖活动规则是这样的：

袋中放红色球及白色球各5只，抽奖者交纳一元钱后得到一次抽奖的机会，然后从袋中一次取出5只球，若5只球同色，则获奖100元，否则无奖，以X表示某抽奖者在一次抽取中净赢钱数，求X的分布律．

解：

-

1

9

9

i

注意，这里X指的是赢钱数，X取0-1或100-1，显然P{X

=99}=

21.

5126

3k

．设随机变量X的分布律为P{X=k}=ak!

k=0,1,2,;>0为常数，试求常数a．

∞k--

解：

因为∑a=ae

k=0

=1，所以a=e.

4．设随机变量X的分布律为

X

-1

2

3

pi

1/4

1/2

1/4

（1）求X的分布函数；

（2）求P{X≤1}，P{3

222

解：

0于

x-1

0于

1

x-1

（1）

P{X1}于

F（x）

x2

于

4

x2

，

P{X

}P{X2}于2x3

3于2x3

1于

x3

4

1于

x3

⎧≤1⎫=p{X

=-1}=1、P⎧3

（2）

P⎨X⎬

⎩⎭

⎨⎬

4⎩⎭2

P{2≤X≤3}=P{{X

=2}{X

=3}}=P{X

=2}+P{X

=3}=3.

4

5.

设随机变量X的分布律为P{X=k}=1,k=1,2,求：

2k

（1）P{X=偶数}

（2）P{X≥5}

（3）P{X=3的倍数}

解：

（1）P{X=于于

}=1

+1++1

⎛1⎛1⎫⎫

ç1⎪

1-

+=limç⎝⎭⎪=1，

2224

22i

i→∞ç

ç

⎝

1⎪3

⎭

22⎪

（2）

PX

1

X

111

111151，

22

1⎡

23

⎛1⎫i⎤

24

1616

∞

3⎢1-ç

3⎪⎥

（3）

P{X=3于于于

}=∑1=lim2⎢⎣

⎝2⎭⎥⎦=1.

i=123i

i→∞

1-17

23

6.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为0.5t的泊松分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计）

（1）求某一天中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率．

（2）求某一天中午12时至下午5时至少收到一次紧急呼救的概率．解：

（1）

X~P（0.5t）=P（1.5）

P{X=0}=e-1.5.

（2）

0.5t=2.5

P{x≥1}=1-P{x=0}=1-e-2.5.

7.某人进行射击，每次射击的命中率为0.02，独立射击400次，试求至少击中2次的概率．

解：

设射击的次数为X，由题意知X~B（400，0.2）,

1

400

P{X≥2}=1-P{X≤1}=1-∑Ck0.02k0.98400-k,

k=0

由于上面二项分布的概率计算比较麻烦，而且X近似服从泊松分布P（λ）（其中λ=400×0.02），所以

查表泊松分布函数表得：

P{X≥2}

8ke8

k!

P{X≥2}≈1-0.28=0.9972

8.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号．现进行5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率．

解：

设X为事件A在5次独立重复实验中出现的次数，X~B（5于0.3）

则指示灯发出信号的概率

p=P{X≥3}=1-P{X<3}=1-（C00.300.75+C10.310.74+C20.320.73）

555

=1-0.8369=0.1631.

9.设顾客在某银行窗口等待服务的时间X（以分钟计）服从参数为5指数分布．某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开．他一个月要到银行5次，以Y表示他未等到服务而离开窗口的次数．写出Y的分布律，并求P{Y≥1}．

-x

解：

因为X服从参数为5的指数分布，则F（x）=1-e5

，P{X>10}=1-F（10）=e-2，

Y~B（5于e-2）,

5

则P{Y=k}=Ck（e-2）k（1-e-2）5-k,k=0,1,5.

P{Y≥1}=1-P{Y=0}=1-于1-e-2于5=0.5167

⎧acosx,

10.设随机变量X的概率密度为f（x）=⎨

|x|≤

2，试求：

（1）系数a；

（2）X落在区间（0,

p

）内的概率．

4

⎪0,

⎩

|x|>

2

解：

（1）由归一性知：

1=

+∞

f（x）dx

-∞

2acosxdx=2a，所以a=1.

-2

2

112

（2）.P{0

4

4cosxdx=

02

sinx|4=

2

⎧0,

.

4

x<0

11.

⎨

设连续随机变量X的分布函数为F（x）=⎪Ax2,

⎪⎩1,

0≤x<1

x≥1

试求：

（1）系数A；

（2）X落在区间（0.3，0.7）内的概率；（3）X的概率密度．

解

（1）由F（x）在x=1的连续性可得limF（x）=limF（x）=F

（1），即A=1.

x→1+x→1-

（2）P{0.3

⎨

（3）X的概率密度f（x）=F'（x）=⎧2x,0

⎩0,

12.设随机变量X服从（0，5）上的均匀分布，求x的方程4x2+4Xx+X+2=0有实根的概率．

⎨

⎧1

解：

因为X服从（0，5）上的均匀分布，所以f（x）=⎪5

0

⎪

⎩

0

其他

若方程

4x2+4Xx2+X+2=0有实根，则

∆=（4X）2-16X-32≥0，即

（x-2）（X+1）≥0，得X

≥2或X

≤-1，所以有实根的概率为

p=P{X≥2}+P{X≤-1}=

51dx+

-10dx=1x5=3

13．设X～N（3，4）

⎰25

⎰-∞

525

（1）求P{2

（2）

确定c使得P{X>c}=P{X≤c};

>2},P{X>3};

（3）设d满足P{X>d}≥0.9，问d至多为多少?

解:

（1）因为X~N（3于4）所以

P{2

≤5}=P{2-3<

X-35-3

}

=P{-0.5<

X-3≤1}

2222

（1）（0.5）

（1）（0.5）10.84130.691510.5328

P{-4

22

P{X

=（3.5）-（-3.5）=2（3.5）-1

=2⨯0.9998-1=0.9996

>2}=1-P{X≤2}=1-P{-2≤X≤2}

=1-[F

（2）-F（-2）]=1-[Φ（-0.5）-Φ（-2.5）]

=1-[Φ（2.5）-Φ（0.5）]=1-0.3023=0.6977

P{X>3}=1-P{X≤3}=1-F（3）

=1-Φ（0）=1-0.5=0.5.

（2）

P{X>c}=1-P{X

≤c}，则P{X≤c}=1=F（c）=Φ（c-3）=1，

经查表得

222

Φ（0）=1，即c-3=0，得c=3；由概率密度关于x=3对称也容易看出。

22

（3）

P{X

>

d}=1-P{X

≤d}=1-F（d）=1-Φ（d-3）≥0.9，

2

则Φ（

d3

d-3

2

）≤0.1，即Φ（-

d-3

2

）≥0.9，经查表知（1.29）0.9015，

故-1.29，即d0.42.

2

14.

设随机变量X服从正态分布N（0,2），若P{（X

>k}=0.1，试求P{X

解：

P{X

>

k}=1-P{X≤k}=1-P{-k≤X≤k}=1-Φ（k

）+Φ（-k）

=2-2Φ（k）=0.1

s

所以Φ（k）=0.95，p{X

=0.95；由对称性更容易解出.

ss

15.

设随机变量X服从正态分布N（,2），试问：

随着σ的增大，概率P{|X–|<}是如何变化的？

解：

X

~N（,2）则

P{X-<}=P{-

=F（+）-F（-）

<+}

=Φ（+--Φ（--

））

=Φ

（1）-Φ（-1）

=2Φ

（1）-1=0.6826.

上面结果与σ无关，即无论σ怎样改变，P{X-<}都不会改变；

16.已知离散随机变量X的分布律为

X

-2

-1

0

1

3

pi

1/5

1/6

1/5

1/15

11/30

试求Y=X2与Z=X

解：

由X的分布律知

所以Y的分布律是

Z的分布律为

的分布律．

p

1

5

1

6

1

5

1

15

11

30

x

-2

-1

0

1

3

X2

4

1

0

1

9

X

2

1

0

1

3

Y

p

Y

p

17.

设随机变量X服从正态分布N（,2），求Y=eX的概率密度．

解：

因为X服从正态分布N（,2），所以f

（x）=

-（x-）2

e2，

Y

F（y）=P{eX

≤y}，

X

2

当y≤0时，FY（y）=0，则fY（y）=0

X

当y>0时，FY（y）=P（Y≤y）=P{e

X

≤y}=P{X≤lny}=F

（lny）

f（y）=F'（y）=[F

（lny）]'=1

y

fX（lny）=y

-（lny-）2

e

2

11

（lny）2

e

22,

y0

所以Y的概率密度为fY（y）

y2

0于

；

y0

18.设X～U（0，1），试求Y=1–X的概率密度．

⎧1

解因为X~U（0,1），f（x）=⎨

⎩0

0

，

X

FY（y）=P（Y≤y）=P{1-X≤y}=P{X≥1-Y}=1-FX（1-y）

所以fY

（y）FY

'（y）[1F

（1y）]

=fX

（1-y）=⎧1,

0<1-y<1⎧1,

í

0

⎩0,他他⎩0,他他

19.设X～U（1，2），试求Y=e2X的概率密度．

⎧1

解：

X~U（1,2），则f（x）=⎨

⎩0

1

其他

Y

F（y）=P{Y≤y}=P{e2X≤y}

当y≤0时，FY（y）=P{e≤y}=0，

2X

当y>0时，

F（y）=P⎧X≤1lny⎫=F（1lny），

Y⎨2⎬X2

f（y）=F'（y）=1

'=11

[F（lny）]

YY2

2yfX（2lny）

⎧⎪1

=⎨2y

⎪⎩0

⎧⎪1

=⎨2y

⎪⎩0

0<1lny<2

2

于于

e2

于于

20.设随机变量X的概率密度为

⎧3x2,

⎨

f（x）=⎪2

-1

试求下列随机变量的概率密度：

⎪0,于于

⎩

（1）Y1=3X;

（2）Y2=3-X;

3

（3）Y=X2．

解:

（1）F

（y）

）=P{Y

≤y}=P{3X≤y}=

⎧≤1y⎫=1

Y1

f（y）=F

1

'（y）=1

'=1

P⎨X

⎩

1

3⎬FX（3y）

Y1Y1

[F（y）]

3

3fX（3y）

⎧⎪3x2

因为fX（x）=⎨2

⎪⎩0

-1

于于

11⎧⎪1

y2,

-1<1y<1

⎧⎪1

y2,

-3

1

所以fY（y）=3fX（3y）=⎨18

3=⎨18,于于

2

⎩⎪0,于于⎩⎪0

（2）

FY（y）=P{Y2≤y}=P{3-X≤y}=P{X≥3-y}=1-FX

（3-y），

fY2

（y）=F'（x）=[1-F

2

（3-y）]'=

fX（3-y）

⎧⎪3x2

因为fX（x）=⎨2

⎪⎩0

-1

，

于于

Y

所以f（y）=

2

⎧⎪3（3-y）2,

fX（3-y）=⎨2

-1<3-y<1

⎧⎪3（3-y）2,

⎨2

2

⎪⎩0,他他⎪⎩0,他他

Y

（3）F

3

（y）=P{Y3

≤y}=P{X2≤y}

当y≤0时，F

3

（y）=P{X2≤y}=0，f

（y）=F'（x）=0

3

当y>0时，FY（y）=P{-

≤X≤

y}=FX（

y）-FX（-

y），

fY3

（y）=F'（x）=[F（

y）-F（-

y）]'=1[f（

2X

y）+fX（-

y）]

⎧1[f（

所以Y⎨

y）+fX（-

y）],

y>0

，

y

⎪⎩

⎧⎪3x2

0≤0

-1

因为fX（x）=⎨2，

⎪⎩0于于

⎧⎪3

3

所以fY（y）=⎨2

y,0

于于

⎩⎪0

四、应用题

1.甲地需要与乙地的10个电话用户联系，每一个用户在1分钟内平均占线12秒，并且各个用户是否使用电话是相互独立的．为了在任意时刻使得电话用户在用电话时能够接通的概率为0.99，应至少有多少电话线路？

解：

设X为同时打电话的用户数，由题意知X

~B（10,0.2）

设至少要有k条电话线路才能使用户再用电话时能接通的概率为0.99，则

k

ii10-i

ki-

P{X≤k}=∑C100.20.8

i=0

≈∑e

i=0

=0.99，其中=2,

查表得k=5.

2.在一个电子仪器系统中，有10块组件独立工作，每个组件经过5小时后仍能正常工作的概率为e-5，其中是与工艺、系统复杂性有关的因子．若该系统中损坏的组件不超过一块，则系统仍能正常工作，那么，5小时后系统不能正常工作的概率（=0.08）是多少？

解：

该问题可以看作为10重伯努利试验，每次试验下经过5个小时后组件不能正常工作这一基本结果的概率为1-e-0.4，记X为10块组件中不能正常工作的个数，则

X~B（10,1-e-0.4），

5小时后系统不能正常工作，即{X≥2}，其概率为

P{X≥2}=1-P{X≤1}

=1-C0（1-e-0.4）0（e-0.4）10-C1（1-e-0.4）1（e-0.4）10-1

1010

=0.8916.

3.测量距离时，产生的随机误差X服从正态分布N（20，402），做三次独立测量，求：

（1）至少有一次误差绝对值不超过30m的概率；

（2）只有一次误差绝对值不超过30m的概率．

解：

因为X~N（20,402），所以

P{X

≤30}=P{-30≤X≤30}=F（30）-F（-30）

=Φ（30-20）-Φ（-30-20）

4040

=Φ（0.25）+Φ（1.25）-1

=0.5187+0.8944-1

=0.4931

设Y表示三次测量中误差绝对值不超过30米的次数，则X

~B（3,0.4931），

3

（1）P{Y≥1}=1-P{Y=0}=1-C00.49310（1-0.4931）3=1-0.50693=0.8698.

3

（2）P{Y=1}=C10.49311⨯0.50692=0.3801.

4.假设一设备开机后无故障工作的时间X服从参数为5的指数分布，设备定时开机，出现故障时自动关机，而无故障的情况下工作2小时便关机．试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数．

解：

当y<0时，{Y≤y}是不可能事件，知F（y）=0，

y1-x-y

当0≤y<2时，Y和X同分布,服从参数为5的指数分布，知F（y）=⎰05edx=1-e，

55

当y≥2时，{Y≤y}为必然事件,知F（y）=1，因此，Y的分布函数为

⎧0

⎪

F（y）=⎪

y<0

-y

5于0≤y<2；

⎨1-e

⎪

⎪1,y≥2

⎩

5.有甲乙两种颜色和味道都极为相似的名酒各4杯，如果从中挑4杯，能将甲种酒全挑出来，算是试验成功一次．

（1）某人随机去挑，问他试验成功的概率是多少？

（2）某人声称他通过品尝能区分两种酒，他连续试验10次，成功3次，试推断他是猜对的还是确有区分的能力（设各次试验是相互独立的）．

解：

（1）挑选成功的概率p=

11

；

470

（2）设10随机挑选成功的次数为X，则该

⎛1⎫，

X~Bç10，