例4、已知函数
(
为负整数)的图象经过点
,设
.问是否存在实数
使得
在区间
上是减函数,且在区间
上是减函数?
并证明你的结论。
[解析]由已知
,得
,
其中
∴
即
,
解得
∵
为负整数,∴
∴
,
即
,
∴
假设存在实数
,使得
满足条件,设
,
∴
∵
,当
时,
为减函数,
∴
,∴
∵
∴
∴
∴
①
当
时,
增函数,∴
∵
∴
∴
.②
由①、②可知
,故存在
(5)同步练习:
1.函数y=
(x2-3x+2)的单调递减区间是( )
A.(-∞,1)B.(2,+∞)
C.(-∞,
)D.(
,+∞)
解析:
先求函数定义域为(-o,1)∪(2,+∞),令t(x)=x2+3x+2,函数t(x)在(-∞,1)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,根据复合函数同增异减的原则,函数y=
(x2-3x+2)在(2,+∞)上单调递减.
答案:
B
2找出下列函数的单调区间.
(1)
;
(2)
答案:
(1)在
上是增函数,在
上是减函数。
(2)单调增区间是
,减区间是
。
3、讨论
的单调性。
答案:
时
为增函数,
时,
为增函数。
4.求函数y=
(x2-5x+4)的定义域、值域和单调区间.
解:
由
(x)=x2-5x+4>0,解得x>4或x<1,所以x∈(-∞,1)∪(4,+∞),当x∈(-∞,1)∪(4,+∞),{
|
=x2-5x+4}=R+,所以函数的值域是R+.因为函数y=
(x2-5x+4)是由y=
(x)与
(x)=x2-5x+4复合而成,函数y=
(x)在其定义域上是单调递减的,函数
(x)=x2-5x+4在(-∞,
)上为减函数,在[
,+∞]上为增函数.考虑到函数的定义域及复合函数单调性,y=
(x2-5x+4)的增区间是定义域内使y=
(x)为减函数、
(x)=x2-5x+4也为减函数的区间,即(-∞,1);y=
(x2-5x+4)的减区间是定义域内使y=
(x)为减函数、
(x)=x2-5x+4为增函数的区间,即(4,+∞).
变式练习
一、选择题
1.函数f(x)=
的定义域是( )
A.(1,+∞)B.(2,+∞)
C.(-∞,2)D.
解析:
要保证真数大于0,还要保证偶次根式下的式子大于等于0,
所以
解得1<x≤2.
答案:
D
2.函数y=
(x2-3x+2)的单调递减区间是( )
A.(-∞,1)B.(2,+∞)
C.(-∞,
)D.(
,+∞)
解析:
先求函数定义域为(-o,1)∪(2,+∞),令t(x)=x2+3x+2,函数t(x)在(-∞,1)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,根据复合函数同增异减的原则,函数y=
(x2-3x+2)在(2,+∞)上单调递减.
答案:
B
3.若2
(x-2y)=
x+
y,则
的值为( )
A.4B.1或
C.1或4D.
错解:
由2
(x-2y)=
x+
y,得(x-2y)2=xy,解得x=4y或x=y,则有
=
或
=1.
答案:
选B
正解:
上述解法忽略了真数大于0这个条件,即x-2y>0,所以x>2y.所以x=y舍掉.只有x=4y.
答案:
D
4.若定义在区间(-1,0)内的函数f(x)=
(x+1)满足f(x)>0,则a的取值范围为( )
A.(0,
)B.(0,
)
C.(
,+∞)D.(0,+∞)
解析:
因为x∈(-1,0),所以x+1∈(0,1).当f(x)>0时,根据图象只有0<2a<l,解得0<a<
(根据本节思维过程中第四条提到的性质).
答案:
A
5.函数y=
(
-1)的图象关于( )
A.y轴对称B.x轴对称
C.原点对称D.直线y=x对称
解析:
y=
(
-1)=
,所以为奇函数.形如y=
或y=
的函数都为奇函数.
答案:
C
二、填空题
已知y=
(2-ax)在[0,1]上是x的减函数,则a的取值范围是__________.
解析:
a>0且a≠1
(x)=2-ax是减函数,要使y=
(2-ax)是减函数,则a>1,又2-ax>0
a<
(0<x<1)
a<2,所以a∈(1,2).
答案:
a∈(1,2)
7.函数f(x)的图象与g(x)=(
)x的图象关于直线y=x对称,则f(2x-x2)的单调递减区间为______.
解析:
因为f(x)与g(x)互为反函数,所以f(x)=
x
则f(2x-x2)=
(2x-x2),令
(x)=2x-x2>0,解得0<x<2.
(x)=2x-x2在(0,1)上单调递增,则f[
(x)]在(0,1)上单调递减;
(x)=2x-x2在(1,2)上单调递减,则f[
(x)]在[1,2)上单调递增.
所以f(2x-x2)的单调递减区间为(0,1).
答案:
(0,1)
8.已知定义域为R的偶函数f(x)在[0,+∞]上是增函数,且f(
)=0,
则不等式f(log4x)的解集是______.
解析:
因为f(x)是偶函数,所以f(-
)=f(
)=0.又f(x)在[0,+∞]上是增函数,所以f(x)在(-∞,0)上是减函数.所以f(log4x)>0
log4x>
或log4x<-
.
解得x>2或0<x<
.