五年级奥数行程问题一二三四.docx
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五年级奥数行程问题一二三四
行程问题
（一）
邹玉芳
例1：
甲乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米。
两车在距中点32千米处相遇。
东西两地相距多少千米？
思路导航：
两车在距中点32千米处相遇，由于甲车的速度大于乙车的速度，所以相遇时，甲车应行了全程的一半多32千米，乙车行了全程的一半少32千米，因此，两车相遇时，甲车比乙车共多行了32
＝64（千米）。
两车同时出发，又相遇了，两车所行的时间是一样的，为什么甲车会比乙车多行64千米？
因为甲车每小时比乙车多行56－48＝8（千米）。
64
＝8（时），所以两车各行了8小时，
求东西两地的路程只要用（56+48）
8＝832（千米）
练习：
1.甲、乙两汽车同时从两地出发，相向而行。
甲汽车每小时行50千米，乙汽车每小时行55千米，两车在距中点15千米相遇。
求两地之间的路程是多少千米？
2、一辆汽车和一辆摩托车同时从A、B两城相对开出，汽车每小时行60千米，摩托车每小时行70千米，当摩托车行到两城中点处时，与汽车还相距30千米，求A、B两城之间的距离？
3、下午放学时，小红从学校回家，每分钟走100米，同时，妈发也从家里出发到学校去接小红，每分钟走120米，两人在距中点100米的地方相遇，小红家到学校有多少米？
例2：
快车和慢车同时从甲、乙两地相向开出，快车每小时行40千米，经过3小时快车已驶过中点25千米，这时快车与慢车还相距7千米。
慢车每小时行多少千米？
思路导航：
快车3小时行驶40
3＝120（千米），这时快车已驶过中点25千米，说明甲乙两地间路程的一半是120－25＝95（千米）。
此时，慢车行了95－25－7＝63（千米），因此慢车每小时行63
3＝21（千米）
练习：
1、兄弟二人同时从学校和家中出发，相向而行。
哥哥每分钟行120米，5分钟后哥哥已超过中点50米，这时兄弟二人还相距30米。
弟弟每分钟行多少米？
2、汽车从甲地开往乙地，每小时行32千米，4小时后，剩下的路程的一半少8千米，如果改用每小时56千米的速度行驶，再行几小时到乙地？
3、学校运来一批树苗，五
（1）班的40个同学都去参加植树活动，如果每人植3棵，全班同学能植这批树苗的一半还多20棵。
如果这批树苗全部给五
（1）班的同学去植，平均每人植多少棵树？
例4
甲乙两队学生从相距18千米的两地同时出发，相向而行。
一个同学骑自行车以每小时14千米的速度，在两队之间不停地往返联络。
甲队每小时行5千米，乙队每小时行4千米。
两队相遇时，骑自行车的同学共行多少千米？
思路导航；要求骑自行车的同学一共行多少千米，就要知道他的速度和时间。
骑自行车同学的速度是每小时14千米，而他所行的时间就是甲、乙两队学生从出发到相遇这段时间。
因此用18
＝2（时）
14
2＝28（千米）
答：
练习：
1、两支队伍从相距55千米的两地相向而行。
通讯员骑马以每小时16千米的速度在两支队伍之间不断往返联络。
已知一支队伍每小时行5千米，另一支队伍每小时行6千米，两队相遇时，通迅员共行多少千米？
2、甲、乙两人同时从两地出发，相向而行，距离是100千米。
甲每小时行6千米，乙每小时行4千米。
甲带着一只小狗，狗每小时行10千米。
这只狗同甲一道出发，碰到乙的时候，它就掉头朝甲这边走，碰到甲时又往乙那边走，直到两人相遇时。
这只狗一共走了多少千米？
例5：
甲、乙两车早上8时分别从A、B两地同时相向出发，到10时两车相距112.5千米。
两车继续行驶到下午1时，两车相距还是112.5千米。
A、B两地间的距离是多少千米？
思路导航：
从10时到下午1时共经过3小时，3小时里，甲、乙两车从相距112.5千米到又相距112.5千米，共行
2＝225（千米）。
两车的速度和是每小时行225
3＝75（千米）。
从早上8时到10时共经过2小时，2小时共行75
2＝150（千米）因此，A、B两地间的距离是150+112.5＝262.5（千米）
练习;
1、甲、乙两车同时从A、B两地相向出发，3小时后，两车还相距120千米，又行3小时，两车又相距120千米。
A、B两地相距多少千米？
2、快、慢两车早上6时同时从甲、乙两地相向开出，中午12时两车还相距50千米继续行驶到14时，两车又相距170千米。
甲、乙两地相距多少千米？
3、甲、乙两车分别从A、B两地同时相向而行，8小时后相遇，相遇后两车继续行驶，3小时后两车相距360千米，求A、B两地的距离。
行程问题
（二）
追及问题的基本数量关系是：
速度差
追及时间＝追及路程
例1：
中巴车每小时行60千米，小轿车每小时行84千米，两车同时从相距60千米的两地同方向开出，且中巴车在前，求几小时后小轿车追上中巴车？
思路导航：
原来小轿车落后于中巴车60千米，但由于小轿车的速度比中巴车快，每小时比中巴车多行84－60＝24（千米），也就是每小时小轿车能追中巴车24千米。
60
24＝2.5（时），所以2.5小时后，小轿车追上中巴车。
练习：
1、兄弟二人从100米跑道的起点和终点同时出发，沿同一方向跑步，弟弟在前，每分钟跑120米，哥哥在后，每分钟跑140米，几分钟后哥哥追上弟弟？
2、甲骑自行车从A地到B地，每小时行16千米，1小时后，乙也骑自行车从A地到B地，每小时行20千米，结果两人到时到达B地。
A、B两地相距多少千米？
3、甲、乙两人以每分钟60米的速度同时、同地、同向步行出发。
走15分钟后甲返回原地取东西，而乙继续前进，甲取东西用去5分钟的时间，然后改骑自行车以每分钟360米的速度追乙，甲骑车多少分钟能追上乙？
例2、一辆汽车从甲地开往乙地要行360千米，开始按计划以每小时45千米的速度行驶，途中因汽车出故障修车2小时。
因为要按时到达乙地，修好后必须每小时多行30千米。
问汽车是在离甲地多远处修车的？
思路导航：
途中修车用了2小时，汽车就少行了45
2＝90（千米），修车后，为了按时到达乙地，每小时多行30千米。
90千米里面包含有3个30千米，也就是说，再行3小时就能把修车少行的90千米行完。
因此修车后再行（45+30）
3＝225（千米）就能到达乙地。
汽车是在离甲地360－225＝135（千米）处修车的。
练习：
1、小王家离工厂3千米，他每天骑车以每分钟200米的速度上班，正好准时到工厂。
有一天，他出了几分钟后，因遇熟人停车2分钟，为了准时到厂，后面的路必须每分钟多行100米，求小王是在离工厂多远处遇到熟人的？
2、一辆汽车从甲地开往乙地，若每小时行36千米，8小时能到达。
这辆车以每小时36千米的速度行驶一段时间后，因排除加油用去了15分钟。
为了能在8小时内到达乙地，加油后每小时必须多行7.2千米。
加油站离乙地多少千米？
3、汽车以每小时30千米的速度从甲地出发，6小时后能到过乙地。
汽车出发1小时后原路返回甲地取东西，然后立即从甲地出发，为了能在原定时间到达乙地，汽车必须以每小时多少千米的速度从甲地驶向乙地？
例3、甲骑车，乙慢跑，二人同时从一点出发沿着长4千米的环形公路同方向进行晨练。
假设两人速度一直不变，出发后10分钟，甲便从乙身后追上了乙，已知两人的速度和是每分钟行700米，求甲乙二人的速度各是多少？
思路导航：
出发10分钟后，甲从乙身后追上了乙，也就是10分钟内甲比乙多行了一圈。
因此，甲每分钟比乙多行4000
10＝400（米）。
知道了两人的速度差是每分钟400米，速度和是每分钟700米，就能算出骑车的速度是（700+400）
2＝550（米/分），乙跑步的速度是700－550＝150（米/分）
练习：
1、爸爸和小明同时从同一地点出发，沿相同方向在环形跑道上跑步。
爸爸每分钟跑150米，小明每分钟跑120米，如果跑道全长900米，问至少经过几分钟爸爸从小明身后追上小明？
2、在300米长的环形跑道上，甲乙两人同时同地同向跑步。
甲每秒跑5米，乙每秒跑4.4米。
两人起跑后的第一次相遇点在起跑线前多少米？
3、环湖一周共400米，甲乙二人同时从同一点同方向出发，甲过10分钟第一次从乙身后追上乙，若二人同时从同一地点反向而行，只要2分钟就相遇，求甲乙的速度各是多少？
行程问题（三）
列方程解稍复杂的行程应用题
例：
一辆汽车从甲地开往乙地，平均每小时行20千米。
到乙地后又以每小时30千米的速度返回甲地，往返一次共用7、5小时。
求甲乙两地间的路程。
思路导航：
如果设汽车从甲地开往乙地时用了X小时，则返回时用了（7、5－X）小时。
由于往、返的路程是一样的，我们可以通过这个等量关系列出方程，求出值，就可以计算出甲、乙两地间的路程。
设去时用X小时，则返回时用（7、5－X）小时。
20X＝30×（7.5－X）
20X＝30×7.5－30X
50X＝225
X＝4.5
20×4.5＝90（千米）
练习：
1、汽车从甲地－开往乙地送货，去时每小时行30千米，返回时每小时行40千米。
往返一次共用8小时45分，求甲、乙两地间的路程。
2、一架飞机所带燃料最多可用9小时，飞机去时顺风，每小时可飞1500千米，返回时逆风，每小时可飞1200千米。
这架飞机最多飞出多少千米就要往回飞？
3、师徒两人加工一批零件，师傅每小时加工35个，徒弟每小时加工28个。
师傅先加工了这批零件的一半后，剩下的由徒弟去加工，二人共用18小时完成了加工任务。
问这批零件共多少个？
例2：
一个通讯员骑自行车需要在规定时间内把信件送到某地，如果他每小时走15千米可早到0.4小时，如果他每小时走12千米就要迟到0.25小时，他去某地有多远？
设规定时间为X小时。
15（X－0.4）＝12（X+0.25）
练习：
1、小李由乡里到县城办事，每小时行4千米，到预定到达的时间时，离县城还有1、5千米。
如果小李每小时走5.5千米，到预定到达的时间时，又会多走4.5千米，乡里距县城多少千米？
2、小王骑摩托车从B地到A地去开会。
如果每小时行50千米，就要迟到0.2小时，如果每小时行60千米，就会早到1小时，求A、B两地的距离。
3、玲玲从家到县城上学，她以每分钟50米的速度走了2分钟后，发现按这个速度走下去要迟到8分钟，于是她加快了速度，每分钟多走了10米，结果到学校时，离上课还有5分钟，玲玲家到学校的路程是多少米？
例3、东西两地相距5400米，甲、乙从东地，丙从西地同时出发，相向而行。
甲每分钟行55米，乙每分钟行60米，丙每分钟行70米，多少分钟后乙正好走到甲、丙两人之间的中点处？
分析：
设行了X分钟。
这时甲行55X米，乙行60X米，丙行70X米。
甲和乙之间的距离可用60X－55X表示，乙和丙之间的距离可用5400－70X－60X来表示。
由于这两个距离相等，所以有
60X－55X＝5400－70X－60X
5X＝5400－130X
135X＝5400
X＝40
练习：
1、A、B、C三点在一条直线上，如图所示：
A、B两地相距2千米，甲、乙两人分别从A、B两地同时向C地行走，甲每分钟走35米，乙每分钟走45米，经过几分钟B地在甲、乙两人之间的中点处？
2、东西两镇相距60千米，甲骑车行全程要4小时，乙骑车行全程要5小时。
现在两人同时从东镇到西镇去，经过多少小时后，乙剩下的路程是甲剩下路程的4倍？
3、老师今年32岁，学生今年8岁。
再过几年老师的年龄是学生年龄的3倍？
例4、快、慢两车同时从A地到B地，快车每小时行54千米，慢车每小时行48千米。
途中快车因故停留3小时。
结果两车同时到达B地。
求A、B两地的距离。
分析：
可以设快车行驶了X小时，那么，慢车行驶了（X+3）小时，利用快、慢两车所行驶的路程相等这一关系，可以列出方程，通过解方程求出快车所行驶的时间，最后用“速度
＝路程”这一关系求出A、B两地间的距离。
练习：
1、甲每分钟行120米，乙每分钟行80米，二人同时从A店出发去B店，当乙到达B店时，甲已在B店停留了2分钟，A店到B店的路程是多少米？
2、甲、乙两人同时从学校骑车出发去江边，甲每小时行15千米，乙每小时行20千米。
途中乙因修车停留了24分钟，结果二人同时到达江边。
从学校到江边要行多少千米？
3、兄弟二人同时从家往学校走，哥哥每分钟走90米，弟弟每分钟走70米，出发1分钟后，哥哥发现忘带了铅笔盒，则原路返回，取后立即出发，结果与弟弟同时到达学校。
问他们家离学校多远？
例5、一位同学在360米长的环形跑道上跑了一圈，已知他前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑4米。
求他后一半路程用了多少时间？
分析：
因为这一位同学前一半时间跑步的速度大于后一半时间跑步的速度，所以前一半时间所跑的路程一定大于半圈180米，即在跑前半圈的速度是每秒5米，跑前半圈要用180
36（秒）。
如果再求出跑一圈的时间，就能求出跑后半圈的时间了为了方便计算，我们假设他按题中跑法跑了2圈。
设跑1圈用X秒，则跑2圈共跑了720米。
5X+4X＝720
X＝80
80－36＝44（秒）
练习：
1、小明在420米的环形跑道上跑了一圈，已知他前一半时间每秒跑8米，后一半时间每秒跑6米。
求他后一半路程用了多少时间？
2、小华在240米长的跑道上跑了一个来回，已知他前一半时间每秒跑6米，后一半时间每秒跑4米，求他返回时用了多少时间？
3、甲、乙两地相距205千米，小王开汽车从甲地出发，计划5小时到达乙地。
他前一半时间每小时行36千米，为了按时到达乙地，后一半时间必须每小时行多少千米？
行程问题（四）
行程问题大致分为以下三种情况：
（1）相向而行：
相遇时间＝距离
和
（2）相背而行：
相背距离＝速度和×时间
（3）同向而行：
追及时间＝追及距离
速度差
例1：
甲、乙两地相距420千米，一辆汽车从甲地开到乙地共用了8小时，途中，有一段路在整修路面，汽车行驶这段路时每小时只能行20千米，其余时间每小时行60千米。
求正在整修路面的一段路长多少千米？
分析：
假如这8小时都是在每小时行60千米，就比实际行的路程我出了60
8－420＝60（千米）。
在8小时里，只要有1小时行驶在整修路面的公路上，汽车就少60－20＝40（千米），60里面有1.5个40，因此，汽车在整修路面的公路上行驶了1.5小时，路长20
1.5＝30（千米）
练习：
1、一辆汽车从甲城到乙城共行驶395千米，用了5小时。
途中一部分公路是高速公路，另一部分是普通公路。
已知汽车在高速公路上每小时行105千米，在普通公路上每小时行55千米，求汽车在高速公路上行驶了多少千米？
2、小明家离体育馆2300米，有一天，他以每分钟100米的速度去体育馆看球赛，出发几分钟后发现，如果以这样的速度走下去一定要迟到，他马上改用每分钟180米的速度跑步前进，途中共用15分钟准时到达了体育馆。
问小明是在离体育馆多远的地方开始跑步的？
3、龟、兔进行10000米赛跑，兔子的速度是龟的速度的5倍。
当它们从起点一起出发后，龟不停地跑，兔子跑到某一地点开始睡觉。
兔子醒来时，龟已经领先它5000米。
兔子奋起直追，但龟到达终点时，兔子仍落后100米。
那么兔子睡觉期间龟跑了多少米？
例2、客货两车同时从甲、乙两站相对开出，客车每小时行54千米，货车每小时行48千米，两车相遇后又以原速前进。
到达对方站后立即返回。
两车再次相遇时客车比货车多行21.6千米。
甲、乙两站间的路程是多少千米？
分析：
客货两车从出发到第二次相遇，一共行了三个全程。
而第二次机遇时客车比货车多行了21.6千米，说明两车已行了21.6
（54－48）＝3.6（时）用速度和
所行的时间就得到了三个路程的和，再除以3就得到了甲、乙两站间的路程。
即（54+48）
3.6
3＝122.4（千米）
练习：
1、快、慢两车同时从甲、乙两地相对开出并往返行驶，快车每小时行80千米，慢车每小时行45千米。
两车第二次相遇时，快车比慢车多行了210千米。
求甲、乙两地之间的路程。
2、甲、乙两地相距216千米，客、货两车同时从甲、乙两地相向而行。
已知客车每小时行58千米，货车每小时行50千米，到达对方出发点后立即返回，两车第二次相遇时，客车比货车多行多少千米？
3、甲、乙两车同时从相距160千米的两站相向开出，到达对方站后立即返回，经过4小时两车在途中第二次相遇。
相遇时甲车比乙车多行120千米，求两车的速度。
例3、两地相距460千米，甲列车开出2小时后，乙列车与甲列车相向开出，经过4小时与甲列车相遇。
已知甲列车每小时比乙列车多行10千米。
求甲列车每小时行多少千米？
分析：
甲列车4小时比乙列车4小时多行10
4＝40（千米）。
因此，甲列车先行2小时，又行4小时，如果再行4小时就一共行了460+40＝500（千米）。
所以，甲列车的速度是每小时行500
（2+4+4）＝50（千米/时）
练习：
1、甲、乙两地相距680千米，快车从甲地向乙地开出，2小时后，慢车从乙地与快车相向开出，并经过5小时与快车相遇。
已知快车每小时比慢车多行8千米，求快车每小时行多少千米？
2、师徒二人合做264个零件，徒弟先做4小时后又和师傅合做了8小时才完成了任务。
已知徒弟每小时比师傅少做3个，师傅每小时做多少个零件？
3、兄弟二人的家离学校2300米，哥哥从家中出发，5分钟后弟弟从学校出发，二人相向而行。
弟弟出发10分钟后与哥哥相遇，如果哥哥每分钟比弟弟多行20米，他们每分钟各行多少米？
例4、小明和小军同时从学校和少年宫出发，相向而行，小明每分钟走90米，两人相遇后，小明再走4分钟到达少年宫，小军再走270米到达学校。
小军每分钟走多少米？
分析：
两人相遇后，小军再走的270米就是相遇前小明走的路程。
因此，二人同时出发经过270
90＝3（分）相遇的。
相遇后小明再走的90
4＝360（米）到达少年宫，而这360米又是相遇前小军3分钟走的路程，因此，小军每分钟走
360
3＝120（米/分）
练习：
1、小强和小东同时从甲、乙两地出发，相向而行，小强每小时行15千米。
两人相遇后，小强再走2小时到达乙地，小东再走45千米到达甲地。
小东每小时行多少千米？
2、甲、乙两车同时从A、B两地出发相向而行。
甲车每小时行45千米。
两相遇后，乙车再行135千米到达A地，甲车再行2小时到达B地，求乙车行完全程共用了几小时？
3、快、慢两车同时从甲、乙两地相向而行，4小时相遇。
已知快车每小时行65千米，慢车每小时行25千米，求电车行完全程共用了多少小时？
例5、甲、乙两地相距48千米，其中一部分是上坡路，其余是下坡路。
某人骑自行车从甲地到乙地后沿原路返回，去时用了4小时12分，返回时用了3小时48分。
已知自行车上坡时每小时行10千米，求自行车下坡时每小时行多少千米？
分析：
首先求出往返一共用的时间：
4小时12分+3小时48分＝8小时。
由于去时的上坡路就是返回时的下坡路，因此在8小时内，正好是行48千米的上坡路和48千米的下坡路。
行上坡路共用了48
10＝4.8（时），因此，下坡路共行了8－4.8＝3.2（时），每小时行48
3.2＝15（千米）
练习：
1、某学生乘车上学，步行回家，途中共用1.5小时；如果往返都坐车，途中只需30分钟。
如果往返都步行，途中共需多少时间?
2、一辆汽车把货物众商场运往小区，往返共用15小时，去时所用的时间是返回的1.5倍，去时比回来时每小时慢12千米。
这辆汽车往返共行了多少千米？
3、南、北两镇之间全是山路，某人上山每小时走2千米，下山时每小时走5千米，从南镇到北镇要走38小时，从北镇到南镇要走32小，两镇之间的路程是多少千米？
从南镇到北镇的上山路和下山路各是多少千米？
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