五年级奥数行程问题一二三四.docx
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五年级奥数行程问题一二三四
行程问题
(一)
邹玉芳
例1:
甲乙两辆汽车同时从东西两地相向开出,甲车每小时行56千米,乙车每小时行48千米。
两车在距中点32千米处相遇。
东西两地相距多少千米?
思路导航:
两车在距中点32千米处相遇,由于甲车的速度大于乙车的速度,所以相遇时,甲车应行了全程的一半多32千米,乙车行了全程的一半少32千米,因此,两车相遇时,甲车比乙车共多行了32
=64(千米)。
两车同时出发,又相遇了,两车所行的时间是一样的,为什么甲车会比乙车多行64千米?
因为甲车每小时比乙车多行56-48=8(千米)。
64
=8(时),所以两车各行了8小时,
求东西两地的路程只要用(56+48)
8=832(千米)
练习:
1.甲、乙两汽车同时从两地出发,相向而行。
甲汽车每小时行50千米,乙汽车每小时行55千米,两车在距中点15千米相遇。
求两地之间的路程是多少千米?
2、一辆汽车和一辆摩托车同时从A、B两城相对开出,汽车每小时行60千米,摩托车每小时行70千米,当摩托车行到两城中点处时,与汽车还相距30千米,求A、B两城之间的距离?
3、下午放学时,小红从学校回家,每分钟走100米,同时,妈发也从家里出发到学校去接小红,每分钟走120米,两人在距中点100米的地方相遇,小红家到学校有多少米?
例2:
快车和慢车同时从甲、乙两地相向开出,快车每小时行40千米,经过3小时快车已驶过中点25千米,这时快车与慢车还相距7千米。
慢车每小时行多少千米?
思路导航:
快车3小时行驶40
3=120(千米),这时快车已驶过中点25千米,说明甲乙两地间路程的一半是120-25=95(千米)。
此时,慢车行了95-25-7=63(千米),因此慢车每小时行63
3=21(千米)
练习:
1、兄弟二人同时从学校和家中出发,相向而行。
哥哥每分钟行120米,5分钟后哥哥已超过中点50米,这时兄弟二人还相距30米。
弟弟每分钟行多少米?
2、汽车从甲地开往乙地,每小时行32千米,4小时后,剩下的路程的一半少8千米,如果改用每小时56千米的速度行驶,再行几小时到乙地?
3、学校运来一批树苗,五
(1)班的40个同学都去参加植树活动,如果每人植3棵,全班同学能植这批树苗的一半还多20棵。
如果这批树苗全部给五
(1)班的同学去植,平均每人植多少棵树?
例4
甲乙两队学生从相距18千米的两地同时出发,相向而行。
一个同学骑自行车以每小时14千米的速度,在两队之间不停地往返联络。
甲队每小时行5千米,乙队每小时行4千米。
两队相遇时,骑自行车的同学共行多少千米?
思路导航;要求骑自行车的同学一共行多少千米,就要知道他的速度和时间。
骑自行车同学的速度是每小时14千米,而他所行的时间就是甲、乙两队学生从出发到相遇这段时间。
因此用18
=2(时)
14
2=28(千米)
答:
练习:
1、两支队伍从相距55千米的两地相向而行。
通讯员骑马以每小时16千米的速度在两支队伍之间不断往返联络。
已知一支队伍每小时行5千米,另一支队伍每小时行6千米,两队相遇时,通迅员共行多少千米?
2、甲、乙两人同时从两地出发,相向而行,距离是100千米。
甲每小时行6千米,乙每小时行4千米。
甲带着一只小狗,狗每小时行10千米。
这只狗同甲一道出发,碰到乙的时候,它就掉头朝甲这边走,碰到甲时又往乙那边走,直到两人相遇时。
这只狗一共走了多少千米?
例5:
甲、乙两车早上8时分别从A、B两地同时相向出发,到10时两车相距112.5千米。
两车继续行驶到下午1时,两车相距还是112.5千米。
A、B两地间的距离是多少千米?
思路导航:
从10时到下午1时共经过3小时,3小时里,甲、乙两车从相距112.5千米到又相距112.5千米,共行
2=225(千米)。
两车的速度和是每小时行225
3=75(千米)。
从早上8时到10时共经过2小时,2小时共行75
2=150(千米)因此,A、B两地间的距离是150+112.5=262.5(千米)
练习;
1、甲、乙两车同时从A、B两地相向出发,3小时后,两车还相距120千米,又行3小时,两车又相距120千米。
A、B两地相距多少千米?
2、快、慢两车早上6时同时从甲、乙两地相向开出,中午12时两车还相距50千米继续行驶到14时,两车又相距170千米。
甲、乙两地相距多少千米?
3、甲、乙两车分别从A、B两地同时相向而行,8小时后相遇,相遇后两车继续行驶,3小时后两车相距360千米,求A、B两地的距离。
行程问题
(二)
追及问题的基本数量关系是:
速度差
追及时间=追及路程
例1:
中巴车每小时行60千米,小轿车每小时行84千米,两车同时从相距60千米的两地同方向开出,且中巴车在前,求几小时后小轿车追上中巴车?
思路导航:
原来小轿车落后于中巴车60千米,但由于小轿车的速度比中巴车快,每小时比中巴车多行84-60=24(千米),也就是每小时小轿车能追中巴车24千米。
60
24=2.5(时),所以2.5小时后,小轿车追上中巴车。
练习:
1、兄弟二人从100米跑道的起点和终点同时出发,沿同一方向跑步,弟弟在前,每分钟跑120米,哥哥在后,每分钟跑140米,几分钟后哥哥追上弟弟?
2、甲骑自行车从A地到B地,每小时行16千米,1小时后,乙也骑自行车从A地到B地,每小时行20千米,结果两人到时到达B地。
A、B两地相距多少千米?
3、甲、乙两人以每分钟60米的速度同时、同地、同向步行出发。
走15分钟后甲返回原地取东西,而乙继续前进,甲取东西用去5分钟的时间,然后改骑自行车以每分钟360米的速度追乙,甲骑车多少分钟能追上乙?
例2、一辆汽车从甲地开往乙地要行360千米,开始按计划以每小时45千米的速度行驶,途中因汽车出故障修车2小时。
因为要按时到达乙地,修好后必须每小时多行30千米。
问汽车是在离甲地多远处修车的?
思路导航:
途中修车用了2小时,汽车就少行了45
2=90(千米),修车后,为了按时到达乙地,每小时多行30千米。
90千米里面包含有3个30千米,也就是说,再行3小时就能把修车少行的90千米行完。
因此修车后再行(45+30)
3=225(千米)就能到达乙地。
汽车是在离甲地360-225=135(千米)处修车的。
练习:
1、小王家离工厂3千米,他每天骑车以每分钟200米的速度上班,正好准时到工厂。
有一天,他出了几分钟后,因遇熟人停车2分钟,为了准时到厂,后面的路必须每分钟多行100米,求小王是在离工厂多远处遇到熟人的?
2、一辆汽车从甲地开往乙地,若每小时行36千米,8小时能到达。
这辆车以每小时36千米的速度行驶一段时间后,因排除加油用去了15分钟。
为了能在8小时内到达乙地,加油后每小时必须多行7.2千米。
加油站离乙地多少千米?
3、汽车以每小时30千米的速度从甲地出发,6小时后能到过乙地。
汽车出发1小时后原路返回甲地取东西,然后立即从甲地出发,为了能在原定时间到达乙地,汽车必须以每小时多少千米的速度从甲地驶向乙地?
例3、甲骑车,乙慢跑,二人同时从一点出发沿着长4千米的环形公路同方向进行晨练。
假设两人速度一直不变,出发后10分钟,甲便从乙身后追上了乙,已知两人的速度和是每分钟行700米,求甲乙二人的速度各是多少?
思路导航:
出发10分钟后,甲从乙身后追上了乙,也就是10分钟内甲比乙多行了一圈。
因此,甲每分钟比乙多行4000
10=400(米)。
知道了两人的速度差是每分钟400米,速度和是每分钟700米,就能算出骑车的速度是(700+400)
2=550(米/分),乙跑步的速度是700-550=150(米/分)
练习:
1、爸爸和小明同时从同一地点出发,沿相同方向在环形跑道上跑步。
爸爸每分钟跑150米,小明每分钟跑120米,如果跑道全长900米,问至少经过几分钟爸爸从小明身后追上小明?
2、在300米长的环形跑道上,甲乙两人同时同地同向跑步。
甲每秒跑5米,乙每秒跑4.4米。
两人起跑后的第一次相遇点在起跑线前多少米?
3、环湖一周共400米,甲乙二人同时从同一点同方向出发,甲过10分钟第一次从乙身后追上乙,若二人同时从同一地点反向而行,只要2分钟就相遇,求甲乙的速度各是多少?
行程问题(三)
列方程解稍复杂的行程应用题
例:
一辆汽车从甲地开往乙地,平均每小时行20千米。
到乙地后又以每小时30千米的速度返回甲地,往返一次共用7、5小时。
求甲乙两地间的路程。
思路导航:
如果设汽车从甲地开往乙地时用了X小时,则返回时用了(7、5-X)小时。
由于往、返的路程是一样的,我们可以通过这个等量关系列出方程,求出值,就可以计算出甲、乙两地间的路程。
设去时用X小时,则返回时用(7、5-X)小时。
20X=30×(7.5-X)
20X=30×7.5-30X
50X=225
X=4.5
20×4.5=90(千米)
练习:
1、汽车从甲地-开往乙地送货,去时每小时行30千米,返回时每小时行40千米。
往返一次共用8小时45分,求甲、乙两地间的路程。
2、一架飞机所带燃料最多可用9小时,飞机去时顺风,每小时可飞1500千米,返回时逆风,每小时可飞1200千米。
这架飞机最多飞出多少千米就要往回飞?
3、师徒两人加工一批零件,师傅每小时加工35个,徒弟每小时加工28个。
师傅先加工了这批零件的一半后,剩下的由徒弟去加工,二人共用18小时完成了加工任务。
问这批零件共多少个?
例2:
一个通讯员骑自行车需要在规定时间内把信件送到某地,如果他每小时走15千米可早到0.4小时,如果他每小时走12千米就要迟到0.25小时,他去某地有多远?
设规定时间为X小时。
15(X-0.4)=12(X+0.25)
练习:
1、小李由乡里到县城办事,每小时行4千米,到预定到达的时间时,离县城还有1、5千米。
如果小李每小时走5.5千米,到预定到达的时间时,又会多走4.5千米,乡里距县城多少千米?
2、小王骑摩托车从B地到A地去开会。
如果每小时行50千米,就要迟到0.2小时,如果每小时行60千米,就会早到1小时,求A、B两地的距离。
3、玲玲从家到县城上学,她以每分钟50米的速度走了2分钟后,发现按这个速度走下去要迟到8分钟,于是她加快了速度,每分钟多走了10米,结果到学校时,离上课还有5分钟,玲玲家到学校的路程是多少米?
例3、东西两地相距5400米,甲、乙从东地,丙从西地同时出发,相向而行。
甲每分钟行55米,乙每分钟行60米,丙每分钟行70米,多少分钟后乙正好走到甲、丙两人之间的中点处?
分析:
设行了X分钟。
这时甲行55X米,乙行60X米,丙行70X米。
甲和乙之间的距离可用60X-55X表示,乙和丙之间的距离可用5400-70X-60X来表示。
由于这两个距离相等,所以有
60X-55X=5400-70X-60X
5X=5400-130X
135X=5400
X=40
练习:
1、A、B、C三点在一条直线上,如图所示:
A、B两地相距2千米,甲、乙两人分别从A、B两地同时向C地行走,甲每分钟走35米,乙每分钟走45米,经过几分钟B地在甲、乙两人之间的中点处?
2、东西两镇相距60千米,甲骑车行全程要4小时,乙骑车行全程要5小时。
现在两人同时从东镇到西镇去,经过多少小时后,乙剩下的路程是甲剩下路程的4倍?
3、老师今年32岁,学生今年8岁。
再过几年老师的年龄是学生年龄的3倍?
例4、快、慢两车同时从A地到B地,快车每小时行54千米,慢车每小时行48千米。
途中快车因故停留3小时。
结果两车同时到达B地。
求A、B两地的距离。
分析:
可以设快车行驶了X小时,那么,慢车行驶了(X+3)小时,利用快、慢两车所行驶的路程相等这一关系,可以列出方程,通过解方程求出快车所行驶的时间,最后用“速度
=路程”这一关系求出A、B两地间的距离。
练习:
1、甲每分钟行120米,乙每分钟行80米,二人同时从A店出发去B店,当乙到达B店时,甲已在B店停留了2分钟,A店到B店的路程是多少米?
2、甲、乙两人同时从学校骑车出发去江边,甲每小时行15千米,乙每小时行20千米。
途中乙因修车停留了24分钟,结果二人同时到达江边。
从学校到江边要行多少千米?
3、兄弟二人同时从家往学校走,哥哥每分钟走90米,弟弟每分钟走70米,出发1分钟后,哥哥发现忘带了铅笔盒,则原路返回,取后立即出发,结果与弟弟同时到达学校。
问他们家离学校多远?
例5、一位同学在360米长的环形跑道上跑了一圈,已知他前一半时间每秒跑5米,后一半时间每秒跑4米。
求他后一半路程用了多少时间?
分析:
因为这一位同学前一半时间跑步的速度大于后一半时间跑步的速度,所以前一半时间所跑的路程一定大于半圈180米,即在跑前半圈的速度是每秒5米,跑前半圈要用180
36(秒)。
如果再求出跑一圈的时间,就能求出跑后半圈的时间了为了方便计算,我们假设他按题中跑法跑了2圈。
设跑1圈用X秒,则跑2圈共跑了720米。
5X+4X=720
X=80
80-36=44(秒)
练习:
1、小明在420米的环形跑道上跑了一圈,已知他前一半时间每秒跑8米,后一半时间每秒跑6米。
求他后一半路程用了多少时间?
2、小华在240米长的跑道上跑了一个来回,已知他前一半时间每秒跑6米,后一半时间每秒跑4米,求他返回时用了多少时间?
3、甲、乙两地相距205千米,小王开汽车从甲地出发,计划5小时到达乙地。
他前一半时间每小时行36千米,为了按时到达乙地,后一半时间必须每小时行多少千米?
行程问题(四)
行程问题大致分为以下三种情况:
(1)相向而行:
相遇时间=距离
和
(2)相背而行:
相背距离=速度和×时间
(3)同向而行:
追及时间=追及距离
速度差
例1:
甲、乙两地相距420千米,一辆汽车从甲地开到乙地共用了8小时,途中,有一段路在整修路面,汽车行驶这段路时每小时只能行20千米,其余时间每小时行60千米。
求正在整修路面的一段路长多少千米?
分析:
假如这8小时都是在每小时行60千米,就比实际行的路程我出了60
8-420=60(千米)。
在8小时里,只要有1小时行驶在整修路面的公路上,汽车就少60-20=40(千米),60里面有1.5个40,因此,汽车在整修路面的公路上行驶了1.5小时,路长20
1.5=30(千米)
练习:
1、一辆汽车从甲城到乙城共行驶395千米,用了5小时。
途中一部分公路是高速公路,另一部分是普通公路。
已知汽车在高速公路上每小时行105千米,在普通公路上每小时行55千米,求汽车在高速公路上行驶了多少千米?
2、小明家离体育馆2300米,有一天,他以每分钟100米的速度去体育馆看球赛,出发几分钟后发现,如果以这样的速度走下去一定要迟到,他马上改用每分钟180米的速度跑步前进,途中共用15分钟准时到达了体育馆。
问小明是在离体育馆多远的地方开始跑步的?
3、龟、兔进行10000米赛跑,兔子的速度是龟的速度的5倍。
当它们从起点一起出发后,龟不停地跑,兔子跑到某一地点开始睡觉。
兔子醒来时,龟已经领先它5000米。
兔子奋起直追,但龟到达终点时,兔子仍落后100米。
那么兔子睡觉期间龟跑了多少米?
例2、客货两车同时从甲、乙两站相对开出,客车每小时行54千米,货车每小时行48千米,两车相遇后又以原速前进。
到达对方站后立即返回。
两车再次相遇时客车比货车多行21.6千米。
甲、乙两站间的路程是多少千米?
分析:
客货两车从出发到第二次相遇,一共行了三个全程。
而第二次机遇时客车比货车多行了21.6千米,说明两车已行了21.6
(54-48)=3.6(时)用速度和
所行的时间就得到了三个路程的和,再除以3就得到了甲、乙两站间的路程。
即(54+48)
3.6
3=122.4(千米)
练习:
1、快、慢两车同时从甲、乙两地相对开出并往返行驶,快车每小时行80千米,慢车每小时行45千米。
两车第二次相遇时,快车比慢车多行了210千米。
求甲、乙两地之间的路程。
2、甲、乙两地相距216千米,客、货两车同时从甲、乙两地相向而行。
已知客车每小时行58千米,货车每小时行50千米,到达对方出发点后立即返回,两车第二次相遇时,客车比货车多行多少千米?
3、甲、乙两车同时从相距160千米的两站相向开出,到达对方站后立即返回,经过4小时两车在途中第二次相遇。
相遇时甲车比乙车多行120千米,求两车的速度。
例3、两地相距460千米,甲列车开出2小时后,乙列车与甲列车相向开出,经过4小时与甲列车相遇。
已知甲列车每小时比乙列车多行10千米。
求甲列车每小时行多少千米?
分析:
甲列车4小时比乙列车4小时多行10
4=40(千米)。
因此,甲列车先行2小时,又行4小时,如果再行4小时就一共行了460+40=500(千米)。
所以,甲列车的速度是每小时行500
(2+4+4)=50(千米/时)
练习:
1、甲、乙两地相距680千米,快车从甲地向乙地开出,2小时后,慢车从乙地与快车相向开出,并经过5小时与快车相遇。
已知快车每小时比慢车多行8千米,求快车每小时行多少千米?
2、师徒二人合做264个零件,徒弟先做4小时后又和师傅合做了8小时才完成了任务。
已知徒弟每小时比师傅少做3个,师傅每小时做多少个零件?
3、兄弟二人的家离学校2300米,哥哥从家中出发,5分钟后弟弟从学校出发,二人相向而行。
弟弟出发10分钟后与哥哥相遇,如果哥哥每分钟比弟弟多行20米,他们每分钟各行多少米?
例4、小明和小军同时从学校和少年宫出发,相向而行,小明每分钟走90米,两人相遇后,小明再走4分钟到达少年宫,小军再走270米到达学校。
小军每分钟走多少米?
分析:
两人相遇后,小军再走的270米就是相遇前小明走的路程。
因此,二人同时出发经过270
90=3(分)相遇的。
相遇后小明再走的90
4=360(米)到达少年宫,而这360米又是相遇前小军3分钟走的路程,因此,小军每分钟走
360
3=120(米/分)
练习:
1、小强和小东同时从甲、乙两地出发,相向而行,小强每小时行15千米。
两人相遇后,小强再走2小时到达乙地,小东再走45千米到达甲地。
小东每小时行多少千米?
2、甲、乙两车同时从A、B两地出发相向而行。
甲车每小时行45千米。
两相遇后,乙车再行135千米到达A地,甲车再行2小时到达B地,求乙车行完全程共用了几小时?
3、快、慢两车同时从甲、乙两地相向而行,4小时相遇。
已知快车每小时行65千米,慢车每小时行25千米,求电车行完全程共用了多少小时?
例5、甲、乙两地相距48千米,其中一部分是上坡路,其余是下坡路。
某人骑自行车从甲地到乙地后沿原路返回,去时用了4小时12分,返回时用了3小时48分。
已知自行车上坡时每小时行10千米,求自行车下坡时每小时行多少千米?
分析:
首先求出往返一共用的时间:
4小时12分+3小时48分=8小时。
由于去时的上坡路就是返回时的下坡路,因此在8小时内,正好是行48千米的上坡路和48千米的下坡路。
行上坡路共用了48
10=4.8(时),因此,下坡路共行了8-4.8=3.2(时),每小时行48
3.2=15(千米)
练习:
1、某学生乘车上学,步行回家,途中共用1.5小时;如果往返都坐车,途中只需30分钟。
如果往返都步行,途中共需多少时间?
2、一辆汽车把货物众商场运往小区,往返共用15小时,去时所用的时间是返回的1.5倍,去时比回来时每小时慢12千米。
这辆汽车往返共行了多少千米?
3、南、北两镇之间全是山路,某人上山每小时走2千米,下山时每小时走5千米,从南镇到北镇要走38小时,从北镇到南镇要走32小,两镇之间的路程是多少千米?
从南镇到北镇的上山路和下山路各是多少千米?