学年数学高考一轮复习第三章三角函数34两角和与差的三角函数.docx
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学年数学高考一轮复习第三章三角函数34两角和与差的三角函数
§3.4 两角和与差的三角函数
考纲解读
考点
内容解读
要
求
五年高考统计
常考题型
预测热度
2013
2014
2015
2016
2017
1.两角和与差的三角函数的基本运用
1.求三角函数值
2.化简三角函数式
C
8题
5分
5题
5分
填空题
解答题
★★★
2.公式的综合运用
1.求三角函数值
2.研究三角函数性质
C
填空题
解答题
★★★
分析解读 本节内容是高考的重点.主要考查三角函数求值及公式的变形运用.
五年高考
考点一 两角和与差的三角函数的基本运用
1.（2017江苏,5,5分）若tan
=
则tanα= .
答案
2.（2015江苏,8,5分）已知tanα=-2,tan（α+β）=
则tanβ的值为 .
答案 3
3
.（2015四川,12,5分）sin15°+
sin75°的值是 .
答案
4.（2014课标Ⅱ,14,5分）函数f（x）=sin（x+2φ）-2sinφcos（x+φ）的最大值为 .
答案 1
5.（2014天津,15,13分）已知函数f（x）=cosx·sin
-
cos2x+
x∈R.
（1）求f（x）的最小正周期;
（2）求f（x）在闭区间
上的最大值和最小值.
解析
（1）由已知,有
f（x）=cosx·
-
cos2x+
=
sinx·cosx-
cos2x+
=
sin2x
-
（1+cos2x）+
=
sin2x-
cos
2x
=
sin
.
所以f（x）的最小正周期T=
=π.
（2）因为f（x）在区间
上是减函数,在区间
上是增函数,
f
=-
f
=-
f
=
所以函数f（x）在闭区间
上的最大值为
最小值为-
.
6.（2013安徽理,16,12分）已知函数f（x）=4cosωx·sin
（ω>0）的最小正周期为π.
（1）求ω的值;
（2）讨论f（x）在区间
上的单调性.
解析
（1）f（x）=4cosωx·sin
=2
sinωx·cosωx+2
cos2ωx
=
（sin2ωx+cos2ωx）+
=2sin
+
.
因为f（x）的最小正周期为π,且ω>0,
所以
=π,故ω=1.
（2）由
（1）知,f（x）=2sin
+
.
若0≤x≤
则
≤2x+
≤
.
当
≤2x
+
≤
即0≤x≤
时,f（x）单调递增;
当
≤2x+
≤
即
≤x≤
时,f（x）单调递减.
综上可知,f（x）在区间
上单调递增,在区间
上单调递减.
教师用书专用（7）
7.（2014福建,16,13分）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）-
.
（1）若0<α<
且sinα=
求f（α）的值;
（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间.
解析 解法一:
（1）因为0<α<
sinα=
所以cosα=
.
所以f（α）=
×
-
=
.
（2）因为f（x）=sinxcosx+cos2x-
=
sin2x+
-
=
sin2x+
cos2x
=
sin
所以T=
=π.
由2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
k∈Z,
得kπ-
≤x≤kπ+
k∈Z.
所以f（x）的单
调递增区间为
k∈Z.
解法二:
f（x）=sinx
cosx+cos2x-
=
sin2x+
-
=
sin2x+
cos2x=
sin
.
（1）因为0<α
<
sinα=
所以α=
从而f（α）=
sin
=
sin
=
.
（2）T=
=π.
由2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
k∈Z,
得kπ-
≤x≤kπ+
k∈Z.
所以f（x）的单调递增区间为
k∈Z.
考点二 公式的综合运用
1
.（2016课标全国Ⅱ理改编,9,5分）若cos
=
则sin2α= .
答案 -
2.（2015重庆改编,9,5分）若tanα=2tan
则
= .
答案 3
3.（2014课标Ⅰ改编,8,5分）设α∈
β∈
且tanα=
则2α-β= .
答案
4.（2013课标全国Ⅰ理,15,5分）设当x=θ时,函数f（x）=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ= .
答案 -
5.（2016天津理,15,13分）已知函数f（x）=4tanxsin
cos
-
.
（1）求f（x）的定义域与最小正周期;
（2）讨论f（x）在区间
上的单调性.
解析
（1）f（x）的定义域为
.
f（x）=4tanxcosxcos
-
=4sinxcos
-
=4sinx
-
=2sinxcosx+2
sin2x-
=sin2x+
（1-cos2x）-
=sin2x-
cos2x=2sin
.
所以,f（x）的最小正周期T=
=π.
（2）令z=2x-
易知函数y=2sinz的单调递增区间是
k∈Z.
由-
+2kπ≤2x-
≤
+2kπ,得-
+kπ≤x≤
+kπ,k∈Z.
设A=
B=
易知A∩B=
.
所以,当x∈
时,f（x）在区间
上单调递增,在区间
上单调递减.
6.（2014重庆,17,13分）已知函数f（x）=
sin（ωx+φ）
的图象关于直线x=
对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π.
（1）求ω和φ的值;
（2）若f
=
求cos
的值.
解析
（1）因为f（x）的图象上相邻两个最高点的距离为π,所以f（x）的最小正周期T=π,因为ω>0,所以ω=
=2.
又因为f（x）的图象关于直线x=
对称,
所以2·
+φ=kπ+
k∈Z.由-
≤φ<
得k=0,
所以φ=
-
=-
.
（2）由
（1）得f
=
sin
=
所以sin
=
.
由
<α<
得0<α-
<
所以cos
=
=
=
.
因此cos
=sinα=sin
=sin
cos
+cos
sin
=
×
+
×
=
.
7.（2014四川,16,12分）已知函数f（x）=sin
.
（1）求f（x）的单调递增区间;
（2）若α是第二象限角,f
=
cos
cos2α,求cosα-s
inα的值.
解析
（1）因为函数y=sinx的单调递增区间为
k∈Z,
所以由-
+2kπ≤3x+
≤
+2kπ,k∈Z,得
-
+
≤x≤
+
k∈Z.
所以,函数f（x）的单调递增区间为
k∈Z.
（2）由已知,有sin
=
cos
（cos2α-sin2α）,
所以sinαcos
+cosαsin
=
（cos2α-sin2α）.
即sinα+cosα=
（cosα-sinα）2（sinα+cosα）.
当sinα+cosα=0时,由α是第二象限角,知α=
+2kπ,k∈Z.
此时,cosα-sinα=-
.
当sinα+cosα≠0时,有（cosα-sinα）2=
.
由α是第二象限角,知cosα-sinα<0,
此时cosα-sinα=-
.
综上所述,cosα-sinα=-
或-
.
教师用书专用（8）
8.（2013四川理,17,12分）在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2cos2
cosB-sin（A-B）sinB+cos（A+C
）=-
.
（1）求cosA的值;
（2）若a=4
b=5,求向量
在
方向上的投影.
解析
（1）由2cos2
cosB-sin（A-B）sinB+cos（A+C）=-
得[cos（A-B）+1]cosB-sin（A-B）sinB-cosB=-
即cos（A-B）cos
B-sin（A-B）sinB=-
.
则cos（A-B+B）=-
即cosA=-
.（5分
）
（2）由cosA=-
0由正弦定理得sinB=
=
.
由题意知a>b,则A>B,故B=
.
根据余弦定理,有（4
）2=52+c2-2×5c×
解得c=1或c=-7（舍去）.
故向量
在
方向上的投影为|
|cosB=
.（12分）
三年模拟
A组 2016—2018年模拟·基础题组
考点一 两角和与差的三角函数的基本运用
1.（2017江苏苏州期中,5）已知tanα=-
则tan
= .
答案 7
2.（2017江苏苏州学情调研,10）已知α∈
β∈
cosα=
sin（α+β）=-
则cosβ= .
答案 -
3.（苏教必4,三,1,变式）若cosα=-
s
inβ=-
α∈
β∈
则sin（α+β）的值为 .
答案
4.（2017江苏泰州中学质检,15）已知函数f（x）=
sinxcosx-cos2x.
（1）求f（x）的值域和最小正周期;
（2）若f（x）
=-1,求cos
的值.
解析
（1）f（x）=
sinxcosx-cos2x=
sin2x-
=
sin2x-
-
=sin
-
所以f（x）的值域为
最小正周期T=
=π.
（2）因为f（x）=-1,所以sin
-
=-1,即sin
=-
所以cos
=cos
=sin
=-
.
5.（2016江苏淮安高中段测,16）已知α∈
β∈
cos2β=-
sin（α+β）=
.
（1）求cosβ的值;
（2）求sinα的值.
解析
（1）因为β∈
所以cosβ<0.
又cos2β=2cos2β-1=-
所以cosβ=-
.
（2）根据
（1）,得sinβ=
=
.
而α∈
β∈
所以α+β∈
又sin（α+β）=
所以cos（α+β）=-
=-
.
故sinα=sin[（α+β）-β]=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ
=
×
-
×
=
.
考点二 公式的综合运用
6.（苏教必4,三,1,变式）函数y=sin
+sin
的最小值为 .
答案 -
7.（苏教必4,三,1,变式）若0<α<
-
<β<0,cos
=
cos
=
则cos
= .
答案
8.（2017江苏淮阴中学期中,5）（1+tan22°）（1+tan23°）= .
答案 2
9.（2017江苏南京高淳质检,11）设α为锐角,若cos
=
则sin
的值为 .
答案
10.（2018江苏南通中学阶段练习）函数f（x）=2sin
·cosx.
（1）求函数f（x）的最大值和最小正周期;
（2）
△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b
、c,且c=2
f（C）=
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