高考数学文化题集锦含答案docx.docx
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历年高考数学文化题集锦
一.数学名著中的立几题，例如：
2015年全国1卷文6理6题
6、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书屮有如下问题：
“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问''积及为米几何？
”其意思为广在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？
"已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3,估算出堆放的米约有（）
（A）14斛（B）22斛（C）36斛（D）66斛
答案：
B
2012年湖北理科数学第10题
10.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：
置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积〃，求其直径〃的一个近似公式d珂尹.人们还用过一些类似的近似公式.根据71=3.14159…判断，下列近似公式中最精确的一个是
A.
—v
B.d=何C・d=J型7
V9V157
考点分析：
考察球的体积公式以及估算.
解析：
由卩二彳龙上几削二:
胚‘设选项中常数为纟，则好④；力中代入得好空=3.375,
32V7Cba16
3中代入得K空=3,C中代入得好空卫=3.14,科代入得好空丄3.142857,
230021
曲于I）中值最接近加勺真实值，故选择D。
二、数学名著中的数列题，例如：
2011年湖北卷文9理13题;
13.《九章算术》“竹九节”问题：
现有1根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数
升。
列，上面四节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为
【解析】设该数列的杵项为公筮为依题总
应该疇
（8）右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术"。
执行该程序框图，若输入a,b分别为14,18,则输出的玄=
【答幻B
晦】師atWTil®中，a,6的值依次为a=14.6=18；6=4；a=10；a=6；a=2b=2・d匕时a=b=2程牌抹,输岀a的值为2・故选B・
四、
数学名著中的统计题，例如：
2015年湖北卷文2理2题
2.（5分）（2015-湖北）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：
粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内
夹谷约为（
A.134石
）
B.169石C.338石D.1365石
2gy
【解析】设这批米内夹谷的个数为X,则由题意并结合简单随机抽样可知，釜二启，即
92
x=—xl534^169,故应迭
254
五、杨辉三角，例如：
2004年上海春季卷11题;
六、祖唯原理，例如：
2013年上海卷理13题;
它们的体积相等,即Q的体积值为龙•『・2兀+2•8兀=2兀2+16兀.
七、形数，例如：
2009年湖北卷文10理10题;
10.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。
比如：
10
16
【考点】對洌的应用；归纳睢理.
【专题】计尊题；压轴题；新定义.
【分析】根据图形观察归纳猜想岀两个数列的通项公式，再根据通项公式的特点排除，即可求律吉杲・
【解答】解：
由图形可得三角形数构成的数列通项&J（n+1）,n2
同理可得正方形数构成的数列通项tvd,
则由bn=n2（n^T+）可排除D,又由J（n+l），
n2
芳（n+l）=289与号（n+l）=1024无正整数解，
故选C・
【点评】考查性观察、分析利m纳能力，并能根据归纳的结杲獭分析问题，注意楓的恃性的分析，属中档题.
八、斐波那契数列，例如：
2009年福建卷理15题
15.五位同学围成一圈依序循环报数，规定：
1第一位同学首次报出的数为1,第二位同学首次报出的数也为1,之后每位同学所报岀的数都是前两位同
学所报出的数之和；
2若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次
己知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为
【解法一】演绎推理，研丸数列的性质
1・列举，第一圈的五个数如下，|h1、2、3、5.其中<24=3。
〜
2・递推；由题童得厲+2=4h+G,则①=2+3=5不为3的倍数，故他=6+伽也不为3的倍数。
卩
由此，当〃》4时，由心£=（3+心•若©为3的倍数•而“曲不是，则J*也不是3的倍数；卩
则.由$+3二心+2+©+1=?
°仪1+心，因为©为3的倍数.而“泅不是，则九曲也不是3的倍数，所以心吗也不是3的倍数『“
接着，由卄3+©+2=（2如+心）+（4耳+4）=34+]+2^,显然.因为的为3的倍数，所以2厲也为3的倍数，而3厲利当然为3的倍数。
由此，（3必是3的倍数。
卩
综上，3的倍数呈周期性岀现，周期为4・即3的倍数的项为亿u*
17.（5分）（2014・湖北）已知圆O：
x2+y2=l和点A（・2,0）,若定点B（b,0）（bH-2）和常数入满足：
对圆O上任意一点M,都有|MB|=A|MA|,贝I」：
（I）b=；
（II）x=
一2b=4&
任意的0都成立，所以
17.
（1）-|
（2）|［解析］设点A/（cos0,sin“），则由|伽|=刀胚4|得（cos0-/））2+sin20=A2\_（cos0+2）2+sin2即一2bcos+Z>2+1=422cos〃+5,对方2+1=5”又由卩纲=刀胚4|,得人>0,且bH—2,解得
b=—
.1
/_2*
十、伯努力不等式，例如：
2012年湖北卷理22题；
22.（本小题满分14分）
（1）已知函数/（x）=rx-xr+（1-r）（x>0）,其中厂为有理数，且0（2）试用
（1）的结果证明如下命题：
设a】》0,勺》0,勺厶为正有理数，若b、+d=l,则（3）请将
（2）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题。
注：
当Q
为正有理数时，有求导公式（xa\=axa-x
解析*（I）/*（x）=r-rx<_1=r（l-x7'1）,令广（x）・0,=
当Ovxvl时，Ax）<0,所以/（x）在（O.l）内是减函数；
当x>l时，/W>0,所以/（x）在（l,+oo）内是増函数•
故函数/（x）在“1处取得最小值/（I）-0.
（II）由（I）知，当xe（O.+oo）时，有/（x）>/（I）-0,即x‘^nc+（l-r）①
若a—勺中有一个为0,则©人勺、成立J
若Q\»血均不为0,又耳+■1,可得g■1-耳，于是
在①中令"彳，一乩可得（兰户“匕+（1-如，
即。
［"十""山+。
2（1-«），亦即
综上，M>0,Oj>0,®为正有左且总有9°勺*"4+0^.②
（IID（II）中命题的推广形式为，
设久如…人为非负实数，久纭…，®为正旬里数•
若片+為+・•・+4■1,贝lj・・・ajSq片+的冬+…+。
上”.③
用数学归纳法证明如下：
（1）当刃=1时，牡1,有③成立
（2）假设当刃=上时，③成立，即若q,如…4为非负实数，…厶为正有理数,
且耳+E+•••+%■1,则住。
?
…苗£绚4+00+…+Q0・
当——1时，己知如勺■…心如为非负实数，久易…九也为正艇数，
且q+Q+••・+$+也・1,此时o<£<1,即1->o,
从而如y胡辱严广审
又因（1-乩）+也・1,由②^
+°2*■…+务4+。
如乩1•
从而彳冶…苗a茫MaA+O]E+…+色毎+%A故当”・如1时，③成立.
由
（1）
（2）可知，对一切正整数”，所推广的命题成立
十一、回文数，例如：
2012年湖北卷文13题；
13.回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22,121,3443,94249等.显然2位冋文数有9个：
11,22,33,…,99.3位冋文数有90个：
101,111,121,191,202,
999.则
（I）4位回文数有个；
（II）2h+1（«gNJ位回文数有个.
考点分析：
本题考查排列、组合的应用.
难易度：
★★
解析：
（I）4位回文数只用排列前面两位数字，后而数字就可以确定，但是第一位不能为0,
有9（1〜9）种情况，第二位有10（0〜9）种情况，所以4位冋文数有9x10=90种。
答案：
90
（II）法一、由上面多组数据研究发现，2n+l位回文数和2n+2位回文数的个数相同，所以可以算出2n+2位回文数的个数。
2n+2位回文数只用看前n+1位的排列情况，笫一位不能为0有9种情况，后面n项每项有10种情况，所以个数为9xl（T.
法二、可以看出2位数有9个回文数，3位数90个回文数。
计算四位数的回文数是可以看出在2位数的中间添加成对的“00,11,22,……99”，因此四位数的回文数有90个按此规律推导S汰=10s2n-2,而当奇数位吋，可以看成在偶数位的最中间添加0〜9这十个数，因此s：
z=10s壮则答案为9xlOn.
13.（2014湖北，理13）设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数，将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I（a）,按从大到小排成的三位数记为D（a）（例如a=815,则I（a）=158,D（a）=851）.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a,输出的结果b=_
13.495［解析］取^i=815=>Z）i=851-158=693^815=><72=693；由©=6933匀=963—369=594H693=594：
由如=5943亦=954—459=495工5943血=495；
由04=4953九=954—459=495=04=方=495.
十三、角谷猜想，例如：
2009年湖北卷理15题
化当q为偶数时，
15.己知数列｛匕｝满足：
叫=111（m为正整数），67n+1=2H若％=1，
'〔3色+1,当匕为奇数时。
则m所有可能的取值为。
【考点】侧递推式.
【专题】压轴题.
【分析】由题设知弔=2,a$=4,有①②两种情况①驾=1,a2=2,ai=4,即m=4；②a3=8,»2=16,有③④两种情况：
③ai=5,即m=5$④ai=32,即m=32・
【怦答】解：
•・•姗叽细｝满足：
a】=m（m为正脚），
Ut•当a川職时，
〔3%+1•当川奇数时
a6=l.
aj=2,84=4,有①②两种情况*
①a3=l,32=2,ai=4,即m=4;
®a3=8.a2=16,有③④两种情况
3ai=5,即m=5；
4ai=32,即m=32・
故答案为，4,5,32.
【点评】本题考査数^的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用.
15.如图，一个地区分为5个行政区域，
现给地图着色，要求相邻区域不得
使用同一颜色，现有4种颜色可
供选择，则不同的着色方法共有种.（以数字作答）
答案：
72
十五、格点问题，例如：
2013年湖北卷文17题；
17.在平面直角坐标系中，若点P（x,y）的坐标x,y均为整数，则称点尸为格点.若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为S,其内部
是:
（II）已知格点多边形的面积可表示为
S=aN+hL+c,其中q,b,c为常数.若某格点多边形对应的N=71,£=18,则冷=（用数值作答）.
第17题图
【答案】（I）3.1.6（II）79
【解析】本题考査接收新知识并应用新知识解题的能力以及归纳、猜想、推理能力.
（I）观察图形，可御S=3・N=LZ=6.
（II）不妨设某个格点四边形由两个小正方形组成.此时S=2、N=0丄=6.又因为格点多
边形的面积可表示为S=aN+bL+c・结合图中的格点三角形4BC及格点四边形DEFG9
<7=1,
解得5=丄・所以S=N+丄Z-1.将N=71・Z=18代入，得22
c=—1.
S=79.
错点】注意区分多边形内部格点数和边界格点数，这是比较容易出错的地方.
【难易度评价】难
十六、米勒问题，例如：
2005年天津卷理20题
（20）（本小题满分12）
某人在一山坡"处观看对面山项上的一座铁塔•如图所示，塔及所在的山崖可视为图中的竖线兀，塔高BC80（米），山高防220（米），OA200（米），图屮所示的山坡可视为直线1且点P在直线/上，/与水平地
面的夹角为％tana=-t.试问，此人距山崖的水平地
2
面多高时,观看塔的视角最大（不计此人的身高）？
（20）解：
如图所示，建立平面直角坐标系，则>1（200,0）,5（0,220）,C（0,300）•
直线/的方程为尹=（x—200）tana,即y=X~^00
由均值不等式X+"°"40一288>2^160x640-288.当且仅当x=⑹山。
时上式
X兀
取等号.故当x=320时tanBPC最大.这时，点尸的纵坐标y为尹仝竺=60.
由此实际问题知，05心仝所以ta倔C最大时，ZBPC最大.故当此人距水平
地面60米高时，观看铁塔的视角上BPC最大.
十七、摆线问题，例如：
2011年江西卷理10题;
【存案】A・
【分析】先考虑小圆沿大圆内堰滾动-周时所走的圈数.再考虑MN的长为定长可知只有选项
A符合条件.木题若通过计算进行求解.则运算址牧大・故占农取特殊点逐一排除乞选项.
这也是破解图彖问題的•人绝技.老同学们认真领悟.
【解析】根据小圆与大圆半径I:
2的关系.找上下左右四个点,根据这阿个点的位賈.小岡转
半圈•刚好堆大圆的四分之••因此M点的轨迹於个大圆.而N点的轨迹於四条线.刚好是M产生的大恻的丫:
径.
【解析2】小恻沿大恻内唯滚动时.在大恻上经过的加长应相等，为它们处于如图虚恻位宜时.
设大例的呦心为O,ZMOC=a•则刼C的长度=axl=a・而ZCO、P=2a・则t'P的长
/S=2axl=a•则点P即A/运动后的点.说明a为锐用时.
点M在MO上运动：
由ZOO、B=2a町知的长度=2ax丄=a・
2
则点3即N运动垢的点.说明a为锐角时•点N在Q4上运动.
以后运动可同理分析•故应选A.
十八、黄金分割，例如：
2009年四川卷文5题
5、设矩形的长为a,宽为b,其比满足b:
q=卫二1=0.618,这种矩形给人以美感,
称为黄金矩形。
黄金矩形常应用于工艺品设计屮。
下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：
甲批次：
0.5980.6250.6280.5950.639
乙批次：
0.6180.6130.5920.6220.620
根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是
A.甲批次的总体平均数与标准值更接近
B.乙批次的总体平均数与标准值更接近
C.两个批次总体平均数与标准值接近程度相同
D.两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定
【考点】众数、中位数、平均数.
【分析】本题考查的知识点是平均数，要计算哪个批次的总体平均数与标准值更接近，我们可分别抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：
甲批丸0.5980.6250.6280.5950.639与乙批次：
0.6180.6130.5920.6220.620,分别代入平均数计算公式，计算岀平均数后，再牺准值0618阪応越接近说明总体平朋与标准值更接近.
【瞬答】解：
甲批次的平斓为0.617,
乙批次的平均数为0.613.
故甲批次的总体平均数与标准值更接近
故选A.
【歳评】平均数反映的是数据的总体平均水平，其值越大，则其总体平均水平越高；其值越
小,则其总体平均水平越低;其值与标准值之间的差越小，则其总体平均水平与标准轴近.
十九、逻辑推理，例如：
2014年全国1卷文14理14题;
（14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过力、B、C三个城市时,
甲说：
我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：
我没去过C城市；
丙说：
我们三人去过同一城市；
由此可判断乙去过的城市为•
【答案】：
A
【解析】：
・・•丙说：
三人同去过同一个城市，甲说没去过B城市，乙说：
我没去过C城市
・・・三人同去过同一个城市应为A,・・・乙至少去过A,若乙再去城市B,甲去过的城市至多两个，不可能比乙多，.••可判断乙去过的城市为A.
二十、
算术-几何平均数，例如：
2010年湖北卷理15题;
15.设Q>0,b>0,称丝■为日，b的调和平均数.如图，Ca+b
为线殴上的点，且AOa,CB=b,O^JAB中点，以力〃为直径作半圆.过点C作〃的垂线，垂足为丘连结〃，AD,BD.过点C作。
〃的垂线，垂足为£则图中线段〃的长度是曰，力的算术平
【测1目标】射影定理，几何、调和平均發•
【考査方式】给岀几何图形以及算数平均数的几何意义，判断几何、调和平均数所衰示的线段.
【难易程度】中等
【参考答案】CD、DE
【试题解析】在Rl^ADB中DC为高，则由射影定理可得故8■厉，即长度为"的几何平均数（步骤1）,将OC=a_°；九乎.CD皿、0»=学代入ODdCE=OCJCD可得CE=^-y/ab故.OE=JO&_CE》=«"）,所以
a+b2（d+b）
ED=OD-OE=—t故DE的长度为"的调和平均数.（步骤2）
a+b
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