福建省莆田市届高三数学下学期教学质量检测试题文.docx

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福建省莆田市届高三数学下学期教学质量检测试题文

2018年莆田市高中毕业班教学质量检测试卷

数学（文科）

第Ⅰ卷

一、选择题：

本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合

，

，则

（）

A．

B．

C．

D．

2.设复数

满足

，则

（）

A．

B．

C．

D．

3.等比数列

的前

项和为

，已知

，

，则

（）

A．

B．

C．14D．15

4.执行下面的程序框图，如果输入的

，则输出的

（）

A．5B．6C.8D．13

5.为了解某校一次期中考试数学成绩情况，抽取100位学生的数学成绩，得如图所示的频率分布直方图，其中成绩分组区间是

，则估计该次数学成绩的中位数是（）

A．71.5B．71.8C.72D．75

6.“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称．把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、葵等十个符号叫天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥等十二个符号叫地支．如：

公元1984年农历为甲子年、公元1985年农历为乙丑年，公元1986年农历为丙寅年．则公元2047年农历为（）

A．乙丑年B．丙寅年C.丁卯年D．戊辰年

7.已知

为坐标原点，

为抛物线

的焦点，过

作直线

与

交于

两点．若

，则

重心的横坐标为（）

A．

B．2C.

D．3

8.已知函数

，则下列说法正确的是（）

A．

的最小正周期为

B．

在区间

上是增函数

C.

的图像关于点

对称D．

的图像关于直线

对称

9.甲乙两人被安排在某月1日至4日值班，每人各值班两天，则甲、乙均不连续值班的概率为（）

A．

B．

C.

D．

10.如图，网络纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）

A．三棱锥B．四棱锥C.三棱柱D．四棱柱

11.已知圆

．若

是圆

上不同两点，以

为边作等边

，则

的最大值是（）

A．

B．

C.2D．

12.已知直三棱柱

外接球的表面积为

，

．若

分别为棱

上的动点，且

，则直线

被该三棱柱外接球球面截得的线段长为（）

A．

B．2C.4D．不是定值

第Ⅱ卷

二、填空题：

本题共4小题，每题小5分，共20分．

13.已知向量

，

．若

，则

．

14.若

满足约束条件

，则

的最大值为．

15.已知数列

满足

，

，则

．

16.已知

是

上的偶函数，且

．若关于

的方程

有三个不相等的实数根，则

的取值范围是．

三、解答题：

共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.

的内角

的对边分别为

，已知

．

（1）求

；

（2）如图，若

，

为

外一点，

，

，求四边形

的面积．

18.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费

（单位：

千元）对年销售量

（单位：

）和年利润

（单位：

千元）的影响，对近13年的宣传费

和年销售量

数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

由散点图知，按

建立

关于

的回归方程是合理的．令

，则

，经计算得如下数据：

10.15

109.94

0.16

-2.10

0.21

21.22

（1）根据以上信息，建立

关于

的回归方程；

（2）已知这种产品的年利润

与

的关系为

．根据

（1）的结果，求当年宣传费

时，年利润的预报值是多少？

附：

对于一组数据

，其回归直线

的斜率和截距的最小二乘估计分别为

，

．

19.如图，四棱锥

中，底面

是平行四边形，

分别为

中点．

（1）证明：

平面

；

（2）若

是等边三角形，平面

平面

，

，

，求三棱锥

的体积．

20.已知两定点

，

，动点

使直线

的斜率的乘积为

．

（1）求动点

的轨迹

的方程；

（2）过点

的直线与

交于

两点，是否存在常数

，使得

？

并说明理由．

21.已知函数

，

．

（1）若

在定义域上是增函数，求

的取值范围；

（2）若存在

，使得

，求

的值，并说明理由．

（二）选考题：

共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：

坐标系与参数方程

在直角坐标系

中，曲线

的参数方程为

（

是参数）．以坐标原点为极点，

轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线

的极坐标方程为

．

（1）求

的直角坐标方程和

的普通方程；

（2）

与

相交于

两点，设点

为

上异于

的一点，当

面积最大时，求点

到

的距离．

23.选修4-5：

不等式选讲

已知函数

．

（1）当

时，求不等式

的解集；

（2）若

，求

的取值范围．

试卷答案

一、选择题

1-5:

DBDCC6-10:

CBDBA11、12：

CA

二、填空题

13.

14.415.

16.

三、解答题

17.解：

（1）在

中，由正弦定理得

，

又

，所以

，

故

，

所以

，

又

，所以

，故

，

又

，所以

．

（2）因为

，故

，

在

中，

，

所以

，故

，

所以

，

又

，

，

所以

，

又

，

所以四边形

的面积为

．

18.解：

（1）

，

，

则

关于

的回归方程为

．

（2）依题意

，

当

时，

，

所以年利润的预报值是1090.4.

19.解：

（1）取

中点

，连结

．

因为

中，

分别为

中点，

所以

．

又因为四边形

是平行四边形，所以

．

又

是

中点，所以

，所以

．

所以四边形

为平行四边形，所以

，

又

平面

，

平面

，

所以

平面

．

（2）取

中点

，连结

，则

，

因为平面

平面

，平面

平面

，

平面

，

所以

平面

．

又由

（1）知

平面

，所以

．

又因为

为

中点，

所以

．

所以三棱锥

的体积为

．

20.解：

（1）设

，由

，

得

，即

．

所以动点

的轨迹方程是

．

（2）因为

，当直线

的斜率为0时，与曲线

没有交点，不合题意，

故可设直线

的方程为

，

联立

，消去

得

，

设

，则

，

，

．

．

故存在实数

，使得

恒成立．

21.解：

（1）因为

在定义域上为增函数．

所以

在

上恒成立，

即

在

上恒成立．

令

，

，则

，

所以

在

上为减函数，故

，所以

．

故

的取值范围为

．

（2）因为

，

取

，得

，又

，所以

．

所以存在整数

，当

时，

．

令

，则

，

令

，得

．

，

的变化情况如下表：

所以

时，

取到最小值，且最小值为

．

即

．

令

，则

，

令

，由

，得

，

所以当

时，

，

在

上单调递减，

当

时，

，

在

上单调递增，

所以

，即

．

因此

，从而

在

上单调递增，

所以

，即

．

综上，

．

22.解：

（1）因为直线

的极坐标方程为

，

所以

，

所以直线

的直角坐标方程为

．

曲线

的参数方程为

，（

是参数），

所以曲线

的普通方程为

．

（2）直线

与曲线

相交于

两点，所以

为定值．

要使

的面积最大，只需点

到直线

的距离

最大．

设点

为曲线

上任意一点．

则点

到直线

的距离

，

当

时，

取最大值为

．

所以当

面积最大时，点

到

的距离为

．

23.解：

（1）当

时，不等式

，即

．

可得

，或

，或

．

解得

．

所以不等式的解集为

．

（2）因为

．

当且仅当

时，

取得最小值

．

又因为对任意的

恒成立，所以

，

即

，故

，解得

．

所以

的取值范围为

．