符号矩阵.docx
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符号矩阵
符号矩阵
符号矩阵和向量是数组，其元素为符号表达式，可用函数sym来产生。
>>A=sym（'[a，b，c；b，c，a；c，a，b]'）
A=
[a，b，c]
[b，c，a]
[c，a，b]
>>G=sym（'[cos（t），sin（t）；-sin（t），cos（t）]'）
G=
[cos（t），sin（t）]
[-sin（t），cos（t）]
函数sym也可以扩展成定义各元素的公式。
注意，只有在这种情况下，i，j分别表示行列的位置；且不影响i，j的缺省值（它代表
）。
下面的例子建立了3×3的矩阵，其元素依赖于行和列的位置。
>>S=sym（3，3，'（i+j）+（i-j+s）'）%createamatrixusingaformula
S=
[2/s，3/（-1+s），4/（-2+s）]
[1/（1+s），4/s，s/（-1+s）]
[4/（2+s），5/（1+s），6/s]
>>S=sym（3，3，'m'，'n'，'（m-n）/（m-n-t）'）%usemandninanotherformula
S=
[0，-1/（-1-t），-2/（-2-t）]
[1/（1-t），0，-1/（-1-t）]
[2/（2-t），1/（1-t），0]
函数sym也可以把数值矩阵转换成符号形式
>>M=[1.1，1.2，1.3；2.1，2.2，2.3；3.1，3.2，3.3]%anumericmatrix
M=
1.10001.20001.3000
2.10002.20002.3000
3.10003.20003.3000
>>S=sym（M）%converttosymbolicform
S=
[11/10，6/5，13/10]
[21/10，11/5，23/10]
[31/10，16/5，33/10]
如果数值矩阵的元素可以指定为小的整数之比，则函数sym将采用有理分式表示。
如果元素是无理数，则在符号形式中sym将用符号浮点数表示元素。
>>E=[exp
（1）sqrt
（2）]
E=
2.71831.4142
>>sym（E）
ans=
[3060513257434036*2^（-50），3184525836262886*2^（-51）]
用函数symsize可以得到符号矩阵的大小（行，列数）。
函数返回数值或向量，而不是符号表达式。
symsize的四种形式说明如下：
>>S=sym（'[a，b，c；d，e，f]'）%createasymbolicmatrix
S=
[a，b，c]
[d，e，f]
>>d=symsize（S）%returnthesizeofSasthe2-elementvectord
d=
23
>>[m，n]=symsize（S）%returnthenumberofrowsinm，andcolumninn
m=
2
n=
3
>>m=symsize（S，1）%returnthenumberofrows
m=
2
>>n=symsize（S，2）%returnthenumberofcolumns
n=
3
数值数组用N（m，n）形式来访问单个元素，但符号数组元素必须用函数如sym（S，m，n）来获取。
若能用相同的句法当然好，但MATLAB符号表达式的表示不方便。
在内部，符号数组表示成一个字符串数组；而S（m，n）返回单个字母。
所以，符号数组的各个元素，必须由符号函数，如sym，来指定,而不是直接指定。
>>G=sym（'[ab，cd；ef，gh]'）%createa2-by-2symbolicmatrix
G=
[ab，cd]
[ef，gh]
>>G（1，2）%thisisthesecondcharacterofthefirstrowofG
ans=
a
>>r=sym（G，1，2）%thisisthesecondexpressinoninthefirstrowofG
r=
cd
记住，在上例中的符号矩阵G，实际是以2×7字符数组存储在计算机中。
第一行为'[ab，cd]'，所以第二个元素是'a'。
最后，sym可以用于改变符号数组的一个元素。
>>sym（G，2，2，'pq'）%changethe（2，2）elementinGfrom'gh'to'pq'
ans=
[ab，cd]
[ef，pq]
代数运算
用函数symadd，symsub，symmul和symdiv，对符号矩阵可以执行许多通用的代数运算，用sympow可计算乘幂，用transpose计算符号矩阵的转置。
>>G=sym（'[cos（t），sin（t0；-sin（t0，cos（t）]'）%createasymbolicmatrix
G=
[cos（t），sin（t）]
[-sin（t），cos（t）]
>>symadd（G，'t'）%add't'toeachelement
ans=
[cos（t）+t，sin（t）+t]
[-sin（t）+t，cos（t）+t]
>>symmul（G，G）%multiplyGbyG；Synpow（G，2）doesthesamething
ans=
[cos（t）^2-sint（t）^2，2*cos（t）*sin（t）]
[-2*cos（t）*sin（t），cos（t）^2-sin（t）^2]
>>simple（G）%trytosimplify
ans=
[cos（2*t），sin（2*t）]
[-sin（2*t），cos（2*t）]
下面通过证明G的转置是它的逆来证明G是正交阵。
>>I=symmul（G，transpose（G））%multiplyGbyitstranspose
I=
[cos（t）^2+sin（t）^2，0]
[0，cos（t）^2+sin（t）^2]
>>simplify（I）%thereappearstobeatrigidentityhere
ans=
[1，0]
[0，1]
正如所期望的那样，这是单位阵。
线性代数运算
用函数inverse和determ，可计算符号矩阵的逆阵以及行列式。
>>H=sym（hilb（3））%thesymbolicformofthenumeric3-by-3Hilbertmatrix
H=
[1，1/2，1/3]
[1/2，1/3，1/4]
[1/3，1/4，1/5]
>>determ（H）%dindthedeterminantofH
ans=
1/2160
>>J=inverse（H）%findtheinverseofH
J=
[9，-36，30]
[-36，192，-180]
[30，-180，180]
>>determ（J）%findthedeterminantoftheinverse
ans=
2160
用函数linsolve求解齐次线性方程；这是等价于基本的MATLAB的逆斜杠\算子的符号，linsolve（A，B）对X方阵求解矩阵方程A*X=B。
回到以前的硬币问题：
黛安娜想去看电影，她从小猪存钱罐倒出硬币并清点，她发现：
10美分的硬币数加上5美分的硬币总数的一半等于25美分的硬币数。
1美分的硬币数比5美分、10美分以及25美分的硬币总数多10。
25美分和10美分的硬币总数等于1美分的硬币数加上1/4的5美分的硬币数
25美分的硬币数和1美分的硬币数比5美分的硬币数加上8倍的10美分的硬币数多1。
。
象上次所做的那样，列出线性方程组，令p，n，d和q分别为1美分，5美分，10美分，和25美分的硬币数
重新以p，n，d，q的顺序排列表达式
p/2+n/2+d-q=0p-n-d-q=-10-p-n/4+d+q=0
p-n-8d+q=1
接下来，列出方程系数的符号数组。
>>A=sym（'[1/2，1/2，1，-1；1，-1，-1，-1；-1，-1/4，1，1；1，-1，-8，1]'）
A=
[1/2，1/2，1，-1]
[1，-1，-1，-1]
[-1，-1/4，1，1]
[1，-1，-8，1]
>>B=sym（'[0；-10；0；-1]'）%CreatethesymbolicvectorB
B=
[0]
[-10]
[0]
[-1]
>>X=linsolve（A，B）%solvethesymbolicsystemA'X=Bforx
x=
[16]
[8]
[3]
[15]
结果是相同的，黛安娜有16枚1美分的硬币，8枚5美分的硬币，3枚10美分的硬币，15枚25美分的硬币。
其他特性
symop将其参量串接起来，并计算所得到的表达式。
>>f='cos（x）'%createanexpression
f=
cos（x）
>>symop（'atan（'，f，'+'，a，'）'，'^2'）
ans=
atan（cos（x）+a）^2
在用函数symop时，若将数组和标量混合应慎重。
例如：
>>M=sym（'[ab；cd]'）
M=
[a，b]
[c，d]
>>symop（M，'+'，'t'）
ans=
[a+t，b]
[c，d+t]
是把t加到M的对角线上。
函数charpoly求解矩阵的特征多项式。
>>G=sym（'[1，1/2；1/3，1/4]'）%createasymbolicmatrix
G=
[1，1/2]
[1/3，1/4]
>>charpoly（G）%findthecharacteristicpolynomialofG
ans=
x'2-5/4*x+1/12
用函数eigensys可以求得符号矩阵的特征根和特征向量
>>F=sym（'[1/2，1/4；1/4，1/2]'）%createasymbolicmatrix
F=
[1/2，1/4]
[1/4，1/2]
>>eigensys（F）%findtheeigenvaluesofF
ans=
[3/4]
[1/4]
>>[V，E]=eigensys（F）%findeigenvaluesEandeigenvectorsv
V=
[-1，1]
[1，1]
E=
[1/4]
[3/4]
矩阵的约当（Jordan）标准型是特征值的对角矩阵；转换矩阵的列是特征向量。
对于给定的矩阵A，jordan（A）求出非奇异的矩阵V，使得inv（V）*A*V成为约当标准型，函数jordan有两种形式
>>jordan（F）%findtheJordanformofF，above
ans=
[1/4，0]
[0，3/4]
>>[V，J]=jordan（F）%findtheJordanformandeigenvectors
V=
[1/2，1/2]
[-1/2，1/2]
J=
[1/4，0]
[0，3/4]
标准形和特征向V的列是某些F可能的特征向量。
因为F是非奇异的，F的零空间的基是空矩阵，而列空间的基是单位阵。
>>F=sym（'[1/2，1/4；1/4，1/2]'）%recreateF
F=
[1/2，1/4]
[1/4，1/2]
>>nullspace（F）%thenullspaceofFistheemptymatrix
ans=
[]
>>colspace（F）%findthecolumnspaceofF
ans=
[1，0]
[0，1]
用函数singvals可求解矩阵奇异值。
>>A=sym（magic（3））%Generatea3-by-3matrix
A=
[8，1，6]
[3，5，7]
[4，9，2]
>>singvals（A）%findthesingularexpressions
ans=
[15.00000000000000]
[6.928203230275511]
[3.464101615137752]
函数jacobian（w，v）可相对于v求解w的雅可比（Jacobia）值。
其结果的第（i，j）项是df（i）/dv（j）。
注意，当f是标量时，f的雅可比值是f的梯度。
>>jacobian（'u*exp（v）'，sym（'u，v'））
ans=
[exp（v，u*exp（v）]
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