培优9一次函数综合类问题四大类docx.docx

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一次函数与几何综合（讲义）

一、知识点睛

1.一次函数表达式：

y=kx+b（k，b为常数，k≠0）

①k是斜率，表示倾斜程度，可以用几何中的坡度（或坡比）来解释．坡面的竖直高度

与水平宽度的比叫坡度或坡比，如图所示，AM即为竖直高度，BM即为水平宽度，则

k=AM

，②b是截距，表示直线与y轴交点的纵坐标．

A

BM

2.设直线l

1：

y11

1，直线l2：

y22

2，其中k1，k2≠

0．

=kx+b

=kx+b

B

①若k12，且b1≠b2，则直线l1∥l2；

M

=k

1⊥l2．

②若k1·2

，则直线

l

k=-1

3.一次函数与几何综合解题思路

从关键点出发，关键点是信息汇聚点，通常是函数图象与几何图形的交点．通过点的坐标和横平竖直的线段长的互相转化将函数特征与几何特征结合起来进行研究，最后利用函数特征或几何特征解决问题．

二、精讲精练

1.如图，点B，C分别在直线y=2x和y=kx上，点A，D是x轴上的两点，已知四边形

ABCD是正方形，则k的值为______．

y

y

y

l1

B

B

y=2x

y=kx

E

l2

B

C

C

D

OA

D

x

D

O

Ax

O

Ax

C

第1题图

第2题图

第3题图

2.如图，直线l1交x轴、y轴于A，B两点，OA=m，OB=n，将△AOB绕点O逆时针旋转

90°得到△COD．CD所在直线l2与直线l1交于点E，则l1

l2；若直线l1，l2的斜率

分别为k1，k2，则k1·2

．

k=_______

3.如图，直线y

4x8交x轴、y轴于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点C，

3

交AB于点D，则点C的坐标为____________．

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4.如图，在平面直角坐标系中，函数y=x的图象l是第一、三象限的角平分线．

探索：

若点A的坐标为（3，1），则它关于直线l的对称点A'的坐标为____________；猜想：

若坐标平面内任一点P的坐标为（m，n），则它关于直线l的对称点P′的坐标为

____________；

应用：

已知两点B（-2，-5），C（-1，-3），试在直线l上确定一点Q，使点Q到B，C两

点的距离之和最小，则此时点Q的坐标为____________．

y

A'

l

A

Ox

5.如图，已知直线l：

y

3x3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB沿直线

3

l折叠，点O落在点C处，则直线CA的表达式为__________________．

y

y

y

C

F

D

Q

A（O）

x

l

E

D

B

C

P

OAxBC

AOBx

第5题图第6题图第7题图

6.如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，E是AB上的一点，且BE:

EA=5:

3，EC=155，把△BCE沿折痕EC向上翻折，点B恰好落在AD边上的点F处．若以点A为原点，以

直线AD为x轴，以直线BA为y轴建立平面直角坐标系，则直线FC的表达式为

__________________．

7.如图，矩形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点与原点O重合，AB=2，AD=1，过定点Q（0，2）和动点P（a，0）的直线与矩形ABCD的边有公共点．

（1）a的取值范围是________________；

（2）若设直线PQ为y=kx+2（k≠0），则此时k的取值范围是________________．

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8.如图，已知正方形ABCD的顶点A（1，1），B（3，1），直线y=2x+b交边AB于点E，交边

CD于点F，则直线y=2x+b在y轴上的截距b的变化范围是____________．

y

4

y=2x+b

D

F

3

C

2

y

l2

1

A

l1

E

B

E

O1

2

34x

D

C

b

AO

B

F

（G）

x

第8题图

第9题图

9.如图，已知直线l1：

y

2x

8与直线l2：

y=-2x+16相交于点C，直线l1，l2分别交x

3

3

轴于A，B两点，矩形DEFG的顶点D，E分别在l1，l2上，顶点且点G与点B重合，那么S矩形DEFG:

S△ABC=_________．

10.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（4，0），B（0，-4），P为y轴上B点下方一点，PB=m（m>0），以点P

为直角顶点，AP为腰在第四象限内作等腰Rt△APM．

（1）求直线AB的解析式；

（2）用含m的代数式表示点M的坐标；

（3）若直线MB与x轴交于点Q，求点Q的坐标．

F，G都在x轴上，

y

A

QOx

B

P

M

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一次函数之存在性问题（讲义）

一、知识点睛

存在性问题：

通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某种状态是否存在的题目，主要考查运动的结果.

一次函数背景下解决存在性问题的思考方向：

1.把函数信息（坐标或表达式）转化为几何信息；

2.分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形；

3.结合图形（基本图形和特殊状态下的图形相结合）的几何特征建立等式来解决问题．

二、精讲精练

1.如图，直线y3x3与x轴、y轴分别交于点A，点B，已知点P是第一象限内的

3

点，由点P，O，B组成了一个含60°角的直角三角形，则点P的坐标为_____________．

y

y

A

B

OAx

OBx

C

2.如图，直线y=kx-4与x轴、y轴分别交于B，C两点，且OC

4.

OB

3

（1）求点B的坐标和k的值．

（2）若点A是第一象限内直线y=kx-4上的一个动点，则当点A运动到什么位置时，△AOB

的面积是6？

（3）在

（2）成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

））））））））））

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3.如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC，OA分别与x轴、y轴重合，AB

∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=62，点C的坐标为（-9，0）．

（1）求点B的坐标．

（2）若直线BD交y轴于点D，且OD=3，求直线BD的表达式．

（3）若点P是

（2）中直线BD上的一个动点，是否存在点P，使以O，D，P为顶点的

三角形是等腰三角形？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

yy

BB

AA

DD

COxCOx

4.如图，直线y=kx+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，OB

3，点C是直线y=kx+3上

OA

4

与A，B不重合的动点．过点C的另一直线CD与y轴相交于点D，是否存在点C使△BCD与△AOB全等？

若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

y

B

OAx

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5.如图，直线y1x2与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C的坐标为（-3，0），P（x，

2

1

y）是直线yx2上的一个动点

2

（点P不与点A重合）．

（1）在点P的运动过程中，试写出△OPC的面积S与x之

间的函数关系式．

27

（2）当点P运动到什么位置时，△OPC的面积为？

求出

此时点P的坐标．

（3）过P作AB的垂线与x轴、y轴分别交于E，F两点，是否存在这样的点P，使△EOF≌△BOA？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

y

B

A

COx

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一次函数之动点问题（讲义）

一、知识点睛

动点问题的特征是速度已知，主要考查运动的过程．

1.一次函数背景下研究动点问题的思考方向：

①把函数信息（坐标或表达式）转化为基本图形的信息；②分析运动过程，注意状态转折，确定对应的时间范围；③画出符合题意的图形，研究几何特征，设计解决方案．

2.解决具体问题时会涉及线段长的表达，需要注意两点：

①路程即线段长，可根据s=vt直接表达已走路程或未走路程；②根据研究几何特征需求进行表达，既要利用动点的运动情况，又要结合基本图形信息．

二、精讲精练

1.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y3x3与x轴、y轴分别交于A，

4

B两点．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P的运动时间为

t秒．

（1）求OA，OB的长．

（2）过点P与直线AB垂直的直线与y轴交于点E，在点P的运动过程中，是否存在这样的点P，使△EOP≌△AOB？

若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

y

B

A

Ox

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2.如图，直线y=3x+43与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线BC与x轴交于点C，

∠ABC=60°．

（1）求直线BC的解析式．

（2）若动点P从点A出发沿AC方向向点C运动（点P不与点A，C重合），同时动

点Q从点C出发沿折线CB—BA向点A运动（点Q不与点A，C重合），动点P的运动速度是每秒1个单位长度，动点Q的运动速度是每秒2个单位长度．设△APQ的面

积为S，运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．

（3）当t=4时，y轴上是否存在一点M，使得以A，Q，M为顶点的三角形为等腰三角

形？

若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

yy

BB

ACAC

OxOx

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3.如图，在直角梯形COAB中，OC∥AB，以O为原点建立平面直角坐标系，A，B，C三点的坐标分别为A（8，0），B（8，11），C（0，5），点D为线段BC的中点．动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OA—AB—BD的路线运动，至点D停止，设运动时间为t秒．

（1）求直线BC的解析式．

（2）若动点P在线段OA上运动，当t为何值时，四边形OPDC的面积是梯形COAB

面积的1？

4

（3）在动点P的运动过程中，设△OPD的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并

写出自变量t的取值范围．

yy

BB

DD

CC

OPAxOAx

））））））））））

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4.如图，直线y3x43与x轴交于点A，与直线y3x交于点P．

3

（1）求点P的坐标．

（2）求△OPA的面积．

（3）动点E从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿OA方向向终点A运动，过点E作EF⊥x轴交线段OP或线段PA于点F，FB⊥y轴于点B．设运动时间为t秒，矩形OEFB与△OPA重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式．

y

P

F

B

OEAx

5.如图，直线l的解析式为y=-x+4，它与x轴、y轴分别交于A，B两点，平行于直线l

的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、

y轴分别交于M，N两点，设运动时间为t秒（0

（1）求A，B两点的坐标；

（2）用含t的代数式表示△MON的面积S1；

（3）以MN为对角线作矩形OMPN，记△MPN和△OAB重

叠部分的面积为S2，试探究S2与t之间的函数关系式．

y

l

B

m

NP

OMAx

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一次函数之面积问题（讲义）

一、知识点睛

1.坐标系中处理面积问题，要寻找并利用横平竖直的线，通常有以下三种思路：

①公式法（规则图形）；②割补法（分割求和、补形作差）；③转化法（例：

同底等高）．

2.坐标系中面积问题的处理方法举例①割补求面积（铅垂法）：

P

P

a

a

B

M

M

B

A

A

h

h

S△APB

1

S△APB

1

ah

ah

2

2

②转化求面积：

C

h

l1

h

AB

l2

如图，满足S△ABP=S△ABC的点P都在直线l1，l2上．

二、精讲精练

1.如图，在平面直角坐标系中，已知A（-1，3），B（3，-2），则△AOB的面积为___________．

y

A

Ox

B

））））））））））

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2.如图，直线y=-x+4与x轴、y轴分别交于点A，点B，点P的坐标为（-2，2），则

S△PAB=___________．

y

yP

B

B

A

P

OCx

OAxD

第2题图第3题图

3.如图，直线AB：

y=x+1与x轴、y轴分别交于点A，点B，直线CD：

y=kx-2与x轴、y轴分别

交于点C，点D，直线AB与直线CD交于点P．若S△APD=4.5，则k=__________．

1

4.如图，直线yx1经过点A（1，m），B（4，n），点C的坐标为（2，5），求△ABC的面

2

积．

y

C

B

A

Ox

5.如图，在平面直角坐标系中，已知A（2，4），B（6，6），C（8，2），求四边形OABC的面积．

y

B

A

C

Ox

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6.如图，直线y1x1与x轴、y轴分别交于A，B两点，C（1，2），坐标轴上是否存在

2

点P，使S△ABP=S△ABC？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．y

C

B

OAx

7.如图，已知直线m的解析式为y1x1，与x轴、y轴分别交于A，B两点，以线段

2

AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，且∠BAC=90°，点P为直线x=1上的动点，

且△ABP的面积与△ABC的面积相等．

（1）求△ABC的面积；

（2）求点P的坐标．

y

C

m

B

OAx

））））））））））

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8.如图，直线PA：

y=x+2与x轴、y轴分别交于A，Q两点，直线PB：

y=-2x+8与x轴交于点B．

（1）求四边形PQOB的面积．

（2）直线PA上是否存在点M，使得△PBM的面积等于四边形PQOB的面积？

若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

y

P

Q

AB

Ox

））））））））））

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【参考答案】

一、知识点睛

二、精讲精练

1

2

．

3

2

．⊥，-1

3

．（7，0）

3

4

．（1，3）；（n，m）；（

13，13）

5

5

5．

6．

y3x33

y4x16

3

7．

（1）-2≤a≤2；

（2）k≥1或k≤-1

8．-3≤b≤-1

9．8:

9

10．

（1）y=x-4；

（2）M（m+4，-m-8）；（3）Q（-4，0）

【参考答案】

一、知识点睛

二、精讲精练

1．（1，3）或（3，3）或（

3

，

3

）或（

3

3

3

）

4

4

，

4

4

2．

（1）B（3，0），k

4

3

（2）A（6，4）

（3）P1（2

13，0）或P2（-2

13，0）或P3（12，0）或P4（13，0）

3

3．

（1）B（-3，6）

（2）y=-x+3

（3）P1（3，0）或P（2

3

2，3

3

3

3

3

3

2

2）或P3（

2，3

2）或P4（

2

，）

2

2

2

2

12

6

12

24

或（

4，6）

4．（

，）或（

5

，

）

5

5

5

3x

3

（x

4）

5．

（1）S

3

4

x

3

（x

4）

4

（2）P1（

17

，

9

1

9

2

4

）或P2（

，）

2

4

4

12

12

4

（3）P1（

，）或P2（-

，）

5

5

5

5

））））））））））

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【参考答案】

1．

（1）OA=4，OB=3；

（2）t=1或t=7

2．

（1）y

3x

4

3

3

t2

（0

t≤4）

（2）S

2

3

t2

4

3t

（4

t8）

2

（3）M1（0，438）或M2（0，43

8）或M3（0，43）

4

3

）

或M4（0，

3

3．

（1）y

3x5

（2）t

3

4

2

4t

（0

t≤8）

（3）S

2t

48

（8

t≤19）

2t

48

（19

t

24）

4．

（1）P（3，3）

（2）2

3

3t2

（0

t≤3）

（3）S

6

5

3t2