高中数学第二单元圆锥曲线与方程232抛物线的几何性质二教学案新人教B版选修11.docx

高中数学第二单元圆锥曲线与方程232抛物线的几何性质二教学案新人教B版选修11.docx

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高中数学第二单元圆锥曲线与方程232抛物线的几何性质二教学案新人教B版选修11

2．3.2　抛物线的几何性质

（二）

学习目标

　1.掌握抛物线的几何特性.2.学会解决直线与抛物线相关的综合问题．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

知识点　直线与抛物线的位置关系

思考1　直线与抛物线有哪几种位置关系？

思考2　若直线与抛物线只有一个交点，直线与抛物线一定相切吗？

梳理　

（1）直线与抛物线的位置关系与公共点个数．

位置关系

公共点个数

相交

________________公共点

相切

________________公共点

相离

________公共点

（2）直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px（p>0）的交点个数决定于关于x的方程k2x2＋2（kb－p）x＋b2＝0的解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有________个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有________个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线________公共点．当k＝0时，直线与抛物线的对称轴________________，此时直线与抛物线有________个公共点．

类型一　直线与抛物线的位置关系

例1　已知直线l：

y＝k（x＋1）与抛物线C：

y2＝4x，问：

k为何值时，直线l与抛物线C有两个交点，一个交点，无交点？

反思与感悟　直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程与抛物线方程联立得到的方程组解的个数．注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况．

跟踪训练1　平面内一动点M（x，y）到定点F（0,1）和到定直线y＝－1的距离相等，设M的轨迹是曲线C.

（1）求曲线C的方程；

（2）在曲线C上找一点P，使得点P到直线y＝x－2的距离最短，求出P点的坐标；

（3）设直线l：

y＝x＋m，问当实数m为何值时，直线l与曲线C有交点？

类型二　与弦长中点弦有关的问题

例2　已知A，B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为（1,0），线段AB恰被M（2,1）所平分．

（1）求抛物线E的方程；

（2）求直线AB的方程．

反思与感悟　中点弦问题有两种解法：

（1）点差法：

将两个交点的坐标代入抛物线的方程，作差，由k＝

求斜率，再由点斜式求解．

（2）传统法：

设直线方程，并与抛物线的方程联立，消去x（或y）得关于y（或x）的一元二次方程，由根与系数的关系，得两根之和即为中点纵（或横）坐标的2倍，从而求斜率．

跟踪训练2　已知抛物线y2＝6x，过点P（4,1）引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.

类型三　抛物线性质的综合应用

命题角度1　抛物线中的定点（定值）问题

例3　已知点A，B是抛物线y2＝2px（p>0）上的两点，且OA⊥OB.

（1）求两点的横坐标之积和纵坐标之积；

（2）求证：

直线AB过定点．

反思与感悟　在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题，解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等，解决这类问题的关键是代换和转化．

跟踪训练3　如图，过抛物线y2＝x上一点A（4,2）作倾斜角互补的两条直线AB、AC交抛物线于B、C两点，求证：

直线BC的斜率是定值．

命题角度2　对称问题

例4　在抛物线y2＝4x上恒有两点A，B关于直线y＝kx＋3对称，求k的取值范围．

反思与感悟　轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系．

跟踪训练4　已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于直线x＋y＝0对称的相异两点A，B，求A，B两点间的距离．

1．过点P（0,1）与抛物线y2＝x有且只有一个交点的直线有（　　）

A．4条B．3条

C．2条D．1条

2．已知点A（2,0），抛物线C：

x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|等于（　　）

A．2∶

B．1∶2

C．1∶

D．1∶3

3．已知点A（－2,3）在抛物线C：

y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，设C的焦点为F，则直线BF的斜率为（　　）

A.

B.

C.

D.

4．过抛物线y2＝4x的顶点O作互相垂直的两弦OM、ON，则M的横坐标x1与N的横坐标x2之积为________．

5．已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y＝2x－4所得的弦长|AB|＝3

，求此抛物线的方程．

求抛物线的方程常用待定系数法和定义法；直线和抛物线的弦长问题、中点弦问题及垂直、对称等可利用判别式、根与系数的关系解决；抛物线的综合问题要深刻分析条件和结论，灵活选择解题策略，对题目进行转化．

答案精析

问题导学

知识点

思考1　三种：

相离、相切、相交．

思考2　不一定，当平行或重合于抛物线的对称轴的直线与抛物线相交时，也只有一个交点．

梳理　

（1）有两个或一个　有且只有一个　无　

（2）两　一　没有　平行或重合　一

题型探究

例1　解　由方程组

消去y得k2x2＋（2k2－4）x＋k2＝0，

Δ＝（2k2－4）2－4k4＝16（1－k2）．

（1）若直线与抛物线有两个交点，

则k2≠0且Δ>0，

即k2≠0且16（1－k2）>0，

解得k∈（－1,0）∪（0,1）．

所以当k∈（－1,0）∪（0,1）时，

直线l和抛物线C有两个交点．

（2）若直线与抛物线有一个交点，

则k2＝0或当k2≠0时，Δ＝0，

解得k＝0或k＝±1.

所以当k＝0或k＝±1时，直线l和抛物线C有一个交点．

（3）若直线与抛物线无交点，

则k2≠0且Δ<0.

解得k>1或k<－1.

所以当k>1或k<－1时，

直线l和抛物线C无交点．

跟踪训练1　解　

（1）x2＝4y.

（2）设点P（x0，

），

点P到直线y＝x－2的距离为

＝

＝

当x0＝2时，取得最小值，此时P（2,1）．

（3）由

得x2－4x－4m＝0，

Δ＝42－4×（－4m）≥0，m≥－1.

所以当m≥－1时，直线l和曲线C有交点．

例2　解　

（1）由于抛物线的焦点为（1,0），

所以

＝1，p＝2，

所以抛物线的方程为y2＝4x.

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），

则y

＝4x1，①

y

＝4x2，②

且x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.

由②－①得，（y1＋y2）（y2－y1）

＝4（x2－x1），

所以

＝2.

所以所求直线AB的方程为

y－1＝2（x－2），

即2x－y－3＝0.

跟踪训练2　解　方法一　由题意易知直线方程的斜率存在，设所求方程为

y－1＝k（x－4）．由

得ky2－6y－24k＋6＝0.

当k≠0时，Δ＝62－4k（－24k＋6）>0.①

设弦的两端点P1（x1，y1），P2（x2，y2），

∴y1＋y2＝

，y1y2＝

.

∵P1P2的中点为（4,1），

∴

＝2，∴k＝3，适合①式．

∴所求直线方程为y－1＝3（x－4），

即3x－y－11＝0，

∴y1＋y2＝2，y1·y2＝－22，

∴|P1P2|＝

＝

＝

.

方法二　设P1（x1，y1），P2（x2，y2）．

则y

＝6x1，y

＝6x2，

∴y

－y

＝6（x1－x2），又y1＋y2＝2，

∴

＝

＝3，

∴所求直线的斜率k＝3，

所求直线方程为y－1＝3（x－4），

即3x－y－11＝0.

由

得y2－2y－22＝0，

∴y1＋y2＝2，y1y2＝－22，

∴|P1P2|＝

＝

·

＝

.

例3　

（1）解　设点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），

则有kOA＝

，kOB＝

.

因为OA⊥OB，所以kOA·kOB＝－1，

所以x1x2＋y1y2＝0.

因为y

＝2px1，y

＝2px2，

所以

·

＋y1y2＝0.

因为y1≠0，y2≠0，

所以y1y2＝－4p2，

所以x1x2＝4p2.

（2）证明　因为y

＝2px1，y

＝2px2，

所以（y1－y2）（y1＋y2）＝2p（x1－x2），

所以

＝

，

所以kAB＝

，

故直线AB的方程为

y－y1＝

（x－x1），

所以y＝

＋y1－

，

即y＝

＋

.

因为y

＝2px1，y1y2＝－4p2，

所以y＝

＋

，

所以y＝

（x－2p），

即直线AB过定点（2p,0）．

跟踪训练3　证明　方法一　设AB的斜率为k，则AC的斜率为－k.

AB：

y－2＝k（x－4）与y2＝x联立得

y－2＝k（y2－4），即ky2－y－4k＋2＝0.

∵y＝2是此方程的一个解，

∴2yB＝

，∴yB＝

，

∴xB＝y

＝

，

∴B（

，

）．

∵kAC＝－k，

∴以－k代替k代入B点坐标得

C（

，

）．

∴kBC＝

＝－

，为定值．

方法二　设B（y

，y1），C（y

，y2），

则kBC＝

＝

.

∵kAB＝

＝

，

kAC＝

＝

，

由题意得kAB＝－kAC，

∴

＝－

，则y1＋y2＝－4，

则kBC＝－

，为定值．

例4　解　因为A，B两点关于直线y＝kx＋3对称，

所以可设直线AB的方程为x＝－ky＋m.

设A（x1，y1），B（x2，y2），

把直线AB的方程代入抛物线方程，

得y2＋4ky－4m＝0，

设AB的中点坐标为M（x0，y0），

则y0＝

＝－2k，x0＝2k2＋m.

因为点M（x0，y0）在直线y＝kx＋3上，

所以－2k＝k（2k2＋m）＋3，

即m＝－

.

因为直线AB与抛物线y2＝4x交于A，B两点，

所以Δ＝16k2＋16m>0，

把m＝－

代入，

化简，得

<0，

所以

<0.

因为k2－k＋3>0，所以

<0，

解得－1

跟踪训练4　解　由题意可设l：

y＝x＋b，把直线方程代入y＝－x2＋3中，

得x2＋x＋b－3＝0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1＋x2＝－1，y1＋y2＝x1＋b＋x2＋b＝（x1＋x2）＋2b＝2b－1.

所以AB的中点坐标为（－

，b－

），

因为该点在直线x＋y＝0上．

所以－

＋（b－

）＝0，得b＝1.

所以|AB|＝

|x1－x2|

＝

＝

＝3

.

所以A，B两点间的距离为3

.

当堂训练

1．B

2．C　[如图所示，由抛物线定义知|MF|＝|MH|，

所以|MF|∶|MN|＝|MH|∶|MN|.

由△MHN∽△FOA，

则

＝

＝

，

则|MH|∶|MN|＝1∶

，

即|MF|∶|MN|＝1∶

.]

3．D　4.16

5．解　设所求抛物线方程为y2＝ax（a≠0）．

A（x1，y1），B（x2，y2），

由

消去y，得4x2－（a＋16）x＋16＝0，

由Δ＝（a＋16）2－256>0，得a>0或a<－32.

又∵x1＋x2＝

，x1x2＝4，

∴|AB|＝

＝3

，

即5[（

）2－16]＝45，

∴a＝4或a＝－36.

∴所求抛物线的方程为y2＝4x或y2＝－36x.