上每点的曲率为
故上每一点的法曲率为
6.利用法曲率公式
证明在球面上对于任何曲纹坐标第一类基本量和第二类基本量成比例。
证：
设球面的半径为，因为球面上任意一条曲线上每一点的法截线都是半径为的大圆，故法截线上每点的曲率
从而球面在该点的法曲率为
但另一方面，
从而，
因为上式关于球面上任意方向都成立，把方向和方向依次代入上式，得
再将方向代入前式并利用上式结果，又得
从而
由于证明中所得结论并未用到球面的方程，故结论与球面的曲纹坐标的选取无关。
证毕
注：
此题结论说明球面上的点都是脐点，即球面是所谓全脐点曲面。
7.证明在正螺面，，上有一族渐近线是直线，另一族渐近线是螺旋线。
证：
II
曲面渐近曲线的方程是II，即
上式说明曲纹坐标曲线是渐近曲线，根据§1习题1的结论可知，正螺面有一族渐近线是直线，另一族渐近线是螺旋线。
证毕
8.求曲面上的渐近曲线。
解：
曲面的向量参数方程为
将L，M，N代入渐近线方程：
II得
即，于是
由此求得曲面上的两族渐近线：
以及
9.证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近曲线。
证：
设曲线的方程为，其中s为自然参数。
曲线上任一点处的基本单位向量为，，，曲线的主法线曲面S的方程为：
对上式两端分别关于s和t求偏导数，利用Frenet公式，有
又曲线上点作为曲面S上的点对应于参数和，于是在处有
令为S在处的法向量，则有
令为与之间的夹角，由上式可知
于是沿曲线上任一点处的切方向，法曲率，即上任一点处的切方向均为其主法线曲面S的渐近方向，因此曲线为其主法线曲面S上的渐近曲线。
证毕
10.证明在曲面z=f（x）+g（y）上，曲线族x=常数和曲线族y=常数构成共轭网。
证：
曲面z=f（x）+g（y）的向量参数方程为
，
曲线族x=常数和曲线族y=常数构成曲面的曲纹坐标网。
因为
，，，
根据教科书P.95命题4可知曲面上的曲纹坐标网是共轭网。
证毕
11.求正螺面，，上的曲率线。
解：
将E，F，G，L，M，N代入曲率线方程：
中，得
即，由此
解之，其中为任意常数。
12.确定双曲面上的曲率线。
解：
双曲面的向量参数方程为，
将E，F，G，L，M，N代入曲率线方程：
中，得
即
这是可分离变量的方程，分离变量得
解方程：
其中为任意常数。
13.求曲面上的曲率线的方程。
解：
将E，F，G，L，M，N代入曲率线方程：
中，得
即
这是可分离变量的方程，分离变量得
解方程：
其中为任意常数。
14.给出曲面上一条曲率线Γ，Γ上每一点的副法线向量和曲面在该点的法向量成定角，求证Γ是一平面曲线。
证：
设曲面上的曲率线Γ的方程为=，其中s为自然参数。
Γ上任一点P处基本向量为，，，曲面在P处的法向量为。
因为Γ上每点的方向都为主方向，根据Rodrigus定理，沿Γ上每点的切方向，有
上式两边同除以，得
（2）
因为Γ上每点的副法向量和曲面在该点的法向量成定角，有
（3）
上式两边关于s求导，得：
（4）
将
（2）式代入（4），并利用Frenet公式得：
（5）
（5）式中，由于，从而
（6）
于是有或者，如果，则Γ是平面曲线。
如果，则与之间的夹角，于是，根据
（1）式得，从而为常向量，进而有，于是，其中为常数，此方程说明Γ是平面曲线。
证毕
15.如果曲面的一条曲率线上每点的密切平面与曲面在该点的切平面交成定角，则此曲率线为平面曲线。
解：
“曲面的曲率线上每点的密切平面与曲面在该点的切平面交成定角”等价于“曲面的曲率线上每一点处的副法向量和曲面在该点处的法向量成定角”，根据14题的结果可知此曲率线为平面曲线。
证毕
16.求正螺面，，的主曲率。
解：
I
将E，F，G，L，M，N代入主曲率方程：
得
解之：
17.确定抛物面
在（0,0）处的主曲率。
解：
抛物面的向量参数方程为：
在原点处，
将E，F，G，L，M，N代入主曲率方程：
得
解方程得：
18.证明在曲面的给定点处沿相互成直角的两方向的法曲率之和为常数。
证：
设曲面S的方程为：
，方向与方向是S在给定点处相互成直角的两个方向。
设方向与线的交角为，则方向与线的交角为。
S在处沿方向与方向的法曲率分别记为和，根据Euler公式得
+
+=
19.证明如果曲面的两族渐近曲线交于定角，那么主曲率之比为一个常数。
证：
在曲面S：
上取曲率线网作为曲纹坐标网，则S的线和线都是曲率线，从而线和线的方向都是主方向。
设为曲面S上的一点，方向与方向是S上经过点处的两条渐近曲线的方向，且与之间的交角为定角。
又设方向与线的方向在处的交角为，方向与线的方向在处的交角为。
因为方向与方向都是渐近方向，故沿方向与，法曲率。
根据Euler公式,有
（1）
（2）
根据
（1）和
（2）式，得
上式说明：
，又与之间的交角为定角，，于是
从而，
证毕
注：
从此题的证明中可以得出结论：
1.在曲面的双曲点，主方向平分两个渐近方向的交角。
2.利用三角函数公式可得曲面上两条渐近曲线交角的计算公式:
20.求证正螺面，，的平均曲率为零。
证1：
由16题的结论可知，正螺面的两个主曲率分别是
于是
证毕
证2：
根据第3题的结论，在正螺面上处处有=0，于是
注：
此题结论说明正螺面为极小曲面。
21.求双曲面在点处的平均曲率和高斯曲率。
解：
在原点处，
将E，F，G，L，M，N代入平均曲率方程，得
将E，F，G，L，M，N代入高斯曲率方程，得
22.证明极小曲面上的点都是双曲点或平点。
证：
设为曲面S：
上的任意一点，与分别为S在点处的两个主曲率，和分别为S在点处的平均曲率和高斯曲率，因为S为
于是有，由此与或同时为零，或同时不为零。
当时，设S在点处沿任意方向的法曲率为，则根据不等式或得，但，从而，即关于任意方向均成立，从而，这说明点是平点。
当与同时不为零时，有
但，故，这说明点是双曲点。
证毕
23.求证如果曲面为不包含平点的极小曲面,则曲面上的渐近线网构成正交网。
证1：
如果曲面S为不包含平点的极小曲面，由上题可知，S上的点都是双曲点。
于是可在曲面上选取曲率线网作为曲纹坐标网。
设曲面的方程为S：
，
在S上的点处，曲面有一对主方向，即线和线的方向，曲面沿线和线的方向的主曲率分别记为，由于曲面S的平均曲率
于是有
（1）
又因为S不包含平点，于是又有
（2）
因为在点处，曲面S还有一对经过的渐近曲线，从而得到曲面S在点处的两个渐近方向与，沿方向与，法曲率。
又设方向与线的方向在处的交角为，方向与线的方向在处的交角为。
根据Euler公式,有
（3）
（4）
由
（1），
（2），（3），（4）式，得
上式说明：
，
又设与之间的交角为，则，这说明曲面上的渐近曲线网是正交网。
证毕
证2：
如果曲面S为不包含平点的极小曲面，由上题可知，S上的点都是双曲点，于是在曲面S上任一点处，S都有一对经过的不同渐近曲线，它们构成上的渐近网，选取渐近网作为曲纹坐标网，则有，又因为
即，从而，但由于曲面不含平点，故，否则有
这产生是S上的平点的矛盾，于是，即曲纹坐标网即渐近网为正交网。
证毕
24.圆环面的参数方程是
求圆环面上的椭圆点，双曲点和抛物点。
解：
当时，，将代入圆环面的方程中，得两个圆
，
，
这两个圆上的点，均为圆环面的抛物点。
当时，，满足此条件的点均为圆环面上的椭圆点。
当时，，满足此条件的点均为圆环面上的双曲点。
25.证明在旋转曲面上存在等温网。
证：
I
令
则上式化为：
其中为的反函数，此式说明曲面上存在曲纹坐标为的等温网。
证毕
26.如果两张曲面和相交于一条曲线，且是的一条曲率线，则也是的曲率线的充要条件是和沿着曲线相交成固定角。
证：
设曲面和相交于曲线，的切方向记为,沿的法曲率记为，沿的法曲率记为。
和沿的单位法向量分别记为和，则有
必要性
同为和上的曲率线曲线上各点的切方向同为和的主方向且
沿相交成固定角和沿着曲线相交成固定角。
充分性
设两张曲面和相交于一条曲线，且是的一条曲率线，那么曲线上各点的切方向为的主方向，从而，，如果和沿着曲线相交成固定角沿相交成固定角
与共线（这是因为，又由
（2）式，，则有与共线，但与共线）=为的主方向，从而也是的曲率线。
证毕
27.证明在曲面S上的一个双曲点P处，如果两条渐近线都不是直线，则一条渐近线在点P的挠率是，另一条渐近线在点P的挠率是，其中是S在点P的高斯曲率。
证：
设点为曲面S：
上的双曲点，S在P处的单位法向量为。
S在P处有两条不同的渐近曲线经过，设其中一条渐近曲线的向量参数方程为，在P处的基本向量为，，，在P点的曲率为，挠率为，又设为与之间的夹角，S在P点沿的切方向的法曲率为，则有
，
因为在P点的切方向是S在P处的渐近方向，所以，又因为不是直线，所以，根据
（1）式，，由此，与正交，但与也正交，于是有
微分
（2）式，并利用Frenet公式，可得
平方（3）式，得
记S在P处沿的切方向的第一、二、三类基本形式分别为，这三种基本形式之间满足关系式：
，其中和分别是S在P处的平均曲率和高斯曲率，注意到为渐近曲线，从而，于是，，根据（4）式，有
从而
由于S在P处有两条不同的渐近曲线经过，如果在P处的挠率为，则根据（5）式，另一条渐近曲线的挠率只能是。
证毕
28.证明如果曲面上无抛物点，则它上面的点和球面象上的点是一一对应的。
证：
如果曲面S：
上无抛物点，则可在S上选曲率线网作为曲纹坐标网，这样线和线正交，，于是S上的点都为正常点，由此曲面S上的点和上的点一一对应。
设点为S上上的任一点，S在P处的单位法向量为，作将曲面S映射到单位球面S
（1）的高斯映射如下：
于是得到一个新曲面：
，其中为单位球面S
（1）或其部分。
称为在高斯映射下的球面象。
上的法向量可表示为，根据教科书P.113（2.54）式，有
因为P不为S上的抛物点且为S上的正常点，，。
由
（1）式可知，从而上的点均为正常点，由此曲面上的点也和（）平面上的区域上的点一一对应，从而曲面S和曲面一一对应。
证毕
29.计算球面的平均曲率和高斯曲率。
证：
设球面的半径为，因为球面上任意一条曲线上每一点的法截线都是半径为的大圆，故法截线上每点的曲率
从而球面在该点沿任意方向的法曲率为
如果取球面上每点的法向量都指向球心，则球面在该点沿任意方向的法曲率为
从而球面的主曲率为
球面的平均曲率为
球面的高斯曲率为
§4直纹面和可展曲面
1.求正螺面的腰线。
解：
正螺面的方程
因为，故腰曲线的方程为，即腰线为z轴。
2.求空间曲线的切线曲面、主法线曲面、副法线曲面的腰线。
解：
设空间曲线（C）的向量参数方程为：
，其中为自然参数。
（C）上任意一点P处的基本向量为，和，在点处（C）的曲率和挠率分别记为和。
（C）的切线曲面S的方程为
因为，故导线即曲线（C）为切线曲面S的腰线。
（C）的主法线曲面S的方程为
因为，，故主法线曲面的腰线的方程为
（C）的副法线曲面S的方程为
因为，故导线即曲线（C）为副法线曲面S的腰线。
3.求具有固定半径，球心在平面上的球面族的包络。
解：
球面族中任意一个球面的北极点都与平面相切，反之，对于平面
上的任意一点，作垂线与平面相交于点，以点为球心，为半径作球面，则该球面在球面族中，且与平面在北极点相切，根据曲面族包络的定义可知，平面是球面族的包络。
同理可知，平面也是球面族的包络。
4.求平面族的包络。
解：
令，则，再令，得方程组
为从中消去变量，将上面的方程组改写为
将上面方程组中第二个方程带入第一个方程中，化简得以及
，但后者代表直线，不是曲面，于是平面族包络的方程只能是前者，即。
注：
二次型的矩阵为
的特征值为0，1，2，从而存在一个正交变换
使二次型化为标准形，使包络的方程化为，即包络是柱面。
5.求平面族的包络。
解：
令，则，再令，，得方程组
从中消去变量得平面族的包络为
注：
作坐标平移变换，则在新坐标系下包络的方程化为：
，二次型的矩阵为
的特征值为-1，-1，2，从而存在一个正交变换
使二次型化为标准形，使包络的方程化为，即包络是圆锥面。
6.求球面族的包络和特征线。
解：
令，则，再令
以及，得方程组，从中消去得包络的方程为。
特征线为与的交线，故其方程为，即。
7.证明曲面
是可展曲面。
证：
}+
故曲面为可展曲面。
证毕
8.证明曲面
是可展曲面。
证：
故曲面为可展曲面。
证毕
9.证明当时，正螺面
不是可展曲面。
证：
因为，故曲面不是可展曲面。
证毕
10.证明挠曲线的主法线曲面和副法线曲面都不是可展曲面。
证：
设曲线（C）的向量参数方程为：
，其中为自然参数。
（C）上任意一点P处的基本向量为，和，在点处（C）的曲率和挠率分别记为和，因为（C）为挠曲线，故。
（C）的主法线曲面方程为：
，因为，所以主法线曲面不是可展曲面。
（C）的副法线曲面方程为：
，因为，所以副法线曲面也不是可展曲面。
证毕
11.证明柱面、锥面、任意空间曲线的切线曲面都是可展曲面。
证：
设柱面的准线（C）的向量参数方程为：
，其中为自然参数，又设柱面的母线平行于单位常向量，则柱面的一般方程为：
，其中为柱面上点的向径。
因为，故柱面为可展曲面。
设锥面的顶点的向径为，是常向量，则锥面的一般方程为，其中为锥面上点的向径，为锥面上直母线的单位方向向量。
因为，故锥面为可展曲面。
设空间曲线（C）的向量参数方程为：
，其中为自然参数。
（C）上任意一点P处的基本向量为，和，在点处（C）的曲率和挠率分别记为和。
（C）的切线曲面的方程为：
，因为，所以（C）的切线曲面是可展曲面。
证毕
12.证明满足条件的曲面S：
是柱面。
证：
如果曲面S：
满足条件，则，于是为常向量。
令，两边关于变量积分，得
其中是任意一个关于变量的一元函数。
这说明曲面S：
是以为准线，母线平行于的柱面。
证毕
§5曲面论的基本定理
1.平面上取极坐标系时，第一基本形式为，试计算第二类克氏符号。
解：
为公式表示方便，将变量记为，将变量记为，则第一基本形式为，根据第一基本形式，曲面的第一类基本量为，，。
令第一基本形式的矩阵为，则，的行列式记为，则，的逆矩阵记为，则
解2：
根据第一基本形式，可见
2.证明高斯曲率。
证：
曲面的第一类基本量构成的矩阵记为，是对称矩阵，的行列式，可逆，设
曲面的第二类基本量构成的矩阵记为，是对称矩阵，记，因为，，所以，从而，
证毕
3.证明平均曲率
证1：
曲面的第一类基本量构成的矩阵记为，是对称矩阵，的行列式，可逆，设
其中，
曲面的第二类基本量记为。
因为，，所以
证毕
证2第2题的证明中已得结论，于是，从而，因此
证毕
注：
从此题的两个证明中都得出了结论
4.记，求证
证：
因为
所以
证毕
5.证明对于中的空间曲面来说
证：
对于中的空间曲面来说，由于，，和的取值均为1和2，故总共要证明16个这种等式，由于关于和以及和都是反对称的，故当或时，，但当或时，也有，从而当或时，成立。
下面考虑和的情况，要证明的这样的等式共4种：
因为，从而
（1）式和（3）式等价，
（2）式和（4）式等价。
故只需证明
（1）和（4）式成立，即和
下面证明它们成立：
综上所述，有
证毕
6.1证明
证：
第5题的证明中已得到结论：
，即
上式中，改记，，则
证毕
6.2证明以下两种形式的高斯公式：
证：
记，则一方面
另一方面，
所以
于是，得
从上证明看出
上式中交换下标1和2的位置，得到
又，从而又有
证毕
6.3对于曲面上的等温坐标网有
求证：
证：
根据第一基本形式，可见
证毕
6.4如果，证明
证：
根据第一基本形式，可见
证毕
7.如果曲面的第一基本形式为
试计算第二类克氏符号。
解：
根据第一基本形式，可见
8.如果曲面的第一基本形式为
试计算高斯曲率。
解1：
根据第一基本形式，可见
可见曲面具有常高斯曲率。
解2：
根据第一基本形式，可见
根据6.4题的结论
解3：
根据第一基本形式，得
根据第7题的结论有
根据第5题的证明有
9.求以，，，，，为第一、第二基本量的曲面。
解：
设曲面S是以，，，，，为第一、第二基本量的曲面。
则有
，，
，，，
S的第一基本形式为
S的第二基本形式为
因为均为常数，所以
从而
又根据式，有
由式和式可见
根据式和式显然有
根据式和式，和关于下标是对称的且根据式，显然S的第一基本形式是正定二次型，式和式说明，Gauss方程和G.Mainardi&D.Codazzi方程都成立，从而曲面S满足曲面论的基本定理的所有条件，根据曲面论的基本定理，除了空间位置的差别外，以和分别第一和第二基本形式的曲面S是唯一存在的。
下面考察圆柱面，有
，，，
，，
于是S和有相同的第一类和第二类基本量，从而有相同的第一基本形式和相同的第二基本形式，根据曲面论的基本定理可知，除了空间位置的差别外，，即所求曲面为半径为1的圆柱面。
10.证明不存在曲面，使，，，，，。
证：
用反证法证明之。
如果存在曲面使，，，，，，则Gauss方程应成立，即应有。
由题目条件，
曲面的第一类和第二类基本量分别为
，，，
，，
由于第一类基本
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