数学建模运筹学.docx
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数学建模运筹学
最优化建模和计算
1、Lindo和Lingo基本程序
生产100套钢架，长2.9、2.1、1.5米各1根/套，原料长7.4米，如何下料？
下料的所有方案
1
2
3
4
5
6
7
8
2.9
2
1
1
1
0
0
0
0
2.1
0
2
1
0
3
2
1
0
1.5
1
0
1
3
0
2
3
4
料头
0.1
0.3
0.9
0
1.1
0.2
0.8
1.4
给出下料问题的计算程序：
Lindo程序：
!
min0.1x1+0.3x2+0.9x3+0x4+1.1x5+0.2x6+0.8x7+1.4x8
min1x1+1x2+1x3+1x4+1x5+1x6+1x7+1x8
subjectto
2x1+1x2+1x3+1x4+0x5+0x6+0x7+0x8>100
0x1+2x2+1x3+0x4+3x5+2x6+1x7+0x8>100
1x1+0x2+1x3+3x4+0x5+2x6+3x7+4x8>100
end
ginx1
ginx2
ginx3
ginx4
ginx5
ginx6
ginx7
ginx8
Lingo程序：
model:
sets:
E/1..8/:
c,x;
F/1..3/:
b;
link（F,E）:
a;
endsets
min=@sum（E（j）:
c（j）*x（j））;
@for（F（i）:
@sum（E（j）:
a（i,j）*x（j））>100）;
@for（E（j）:
x（j）>0）;
@for（E（j）:
@gin（x））;
data:
!
c=0.1,0.3,0.9,0,1.1,0.2,0.8,1.4;
c=1,1,1,1,1,1,1,1;
a=2,1,1,1,0,0,0,0,
0,2,1,0,3,2,1,0,
1,0,1,3,0,2,3,4;
enddata
end
2、建模和编程练习
1五年期投资计划：
五年内有4个投资项目，情况是：
（1）1至4年，每年年初投资，次年末回收本利115%；
（2）第3年初投资，第5年末回收本利125%（最大投资额不超过4万元）；
（3）第2年初投资，第5年末回收本利140%（最大投资额不超过3万元）；
（4）每年年初投资，年末回收本利106%。
给你10万，给出投资计划。
请分析投资规律。
项目
1
2
3
4
5
5年末
1
x11
x21
x31
x41
1.15x41
2
x32<4
1.25x32
3
x23<3
1.40x23
4
x14
x24
x34
x44
x54
1.06x54
10
1.06x14
1.15x11+
1.06x24
1.15x21+
1.06x34
1.15x31+
1.06x44
max4x1+10x2+3x3-2x4
subjectto
2x1+3x2<16
3x1+4x2<24
2x2-x3-x4=0
x3<5
end
ginx1
ginx2
ginx3
ginx4
2某钻井队从10个可供选择的井位中确定5个钻井探油，使总费用最小。
10个井位S1到S10相应的钻探费为：
4,6,7,3,4,5,7,3,5,6。
且满足：
（1）或选择S1和S7，或选择S8；
（2）选择了S3或S4，就不能选择S5；或反过来也一样；
（3）在S5、S6、S7、S8中最多只能选两个。
model:
data:
N=10;
!
N>=10;
enddata
sets:
A/1..N/:
c,x;
endsets
min=@sum（A（i）:
c（i）*x（i））;
@sum（A（i）:
x（i））=5;
x
（1）=x（7）;
x
（1）+x（8）>=1;
x（3）+x（5）<=1;
x（4）+x（5）<=1;
x（5）+x（6）+x（7）+x（8）<=2;
@for（A:
@bin（x））;
data:
c=4673457356;
enddata
end
3分配问题（指派问题，AssignmentProblem）
这是个给n个人分配n项工作以获得某个最高总效果的问题。
第i个人完成第j项工作需要平均时间
。
要求给每个人分配一项工作，并要求分配完这些工作，以使完成全部任务的总时间为最小。
该问题可表示如下：
现在7个将被分配去做7项工作,他们的工作时间如下表:
j1j2j3j4j5j6j7
w16267425
w24953858
w35219743
w47673927
w52395726
w655228114
w7923124510;
问如何分配工作,使得完成所有工作时所花费的时间总和最少?
model:
!
3个工人，3个工作的分配问题;
sets:
workers/w1..w3/;
jobs/j1..j3/;
links（workers,jobs）:
cost,volume;
endsets
min=@sum（links:
cost*volume）;
@for（workers（I）:
@sum（jobs（J）:
volume（I,J））=1）;
@for（jobs（J）:
@sum（workers（I）:
volume（I,J））=1）;
@for（links:
@bin（volume））;
data:
cost=626
495
521;
enddata
end
model:
!
7个工人，7个工作的分配问题;
sets:
workers/w1..w7/;
jobs/j1..j7/;
links（workers,jobs）:
cost,volume;
endsets
min=@sum（links:
cost*volume）;
@for（workers（I）:
@sum（jobs（J）:
volume（I,J））=1）;
@for（jobs（J）:
@sum（workers（I）:
volume（I,J））=1）;
data:
cost=6267425
4953858
5219743
7673927
2395726
55228114
923124510;
enddata
end
4（加工问题）有m台机床，n种零件在机床加工，工时为a1,a2,…,an。
问如何分配使各机床的总加工任务尽可能均衡。
对
，
，工时为
为例进行计算。
model:
sets:
parts/1..6/:
a;
machines/1..4/;
links（machines,parts）:
x;
endsets
min=x1;
@for（machines（I）:
@sum（parts（J）:
a（J）*x（I,J））<=x1）;
@for（parts（J）:
@sum（machines（I）:
x（I,J））=1）;
@for（links:
@bin（x））;
data:
a=6104783;
enddata
end
5有4名同学到一家公司参加三个阶段的面试：
公司要求每个同学都必须首先找公司秘书初试，然后到部门主管处复试，最后到经理处参加面试，并且不允许插队（即在任何一个阶段4名同学的顺序是一样的）。
由于4名同学的专业背景不同，所以每人在三个阶段的面试时间也不同，如下表所示（单位：
分钟）：
秘书初试
主管复试
经理面试
同学甲
13
15
20
同学乙
10
20
18
同学丙
20
16
10
同学丁
8
10
15
这4名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司。
假定现在时间是早晨8:
00，问他们最早何时能离开公司?
（建立规划模型求解）
本问题是一个排列排序问题。
对于阶段数不小于3的问题没有有效算法，也就是说对于学生数稍多一点儿（比如20）的情况是无法精确求解的。
为此人们找到了很多近似算法。
这里我们建立的规划模型可以实现该问题的精确求解，但你会看到它的变量和约束是学生数的平方。
因此，当学生数稍多一点儿规划模型的规模将很大，求解会花费很长时间。
!
三阶段面试模型;
model:
sets:
students;!
学生集三阶段面试模型;
phases;!
阶段集;
sp（students,phases）:
t,x;!
t面试时所花费时间,x面试前所花费时间;
ss（students,students）|&1#LT#&2:
y;
endsets
data:
students=s1..s4;
phases=p1..p3;
t=
131520
102018
201610
81015;
enddata
ns=@size（students）;!
学生数;
np=@size（phases）;!
阶段数;
!
单个学生面试时间先后次序的约束;
@for（sp（I,J）|J#LT#np:
x（I,J）+t（I,J）<=x（I,J+1）
）;
!
学生间的面试先后次序保持不变的约束;
@for（ss（I,K）:
@for（phases（J）:
x（I,J）+t（I,J）-x（K,J）<=200*y（I,K）;
x（K,J）+t（K,J）-x（I,J）<=200*（1-y（I,K））;
）
）;
!
目标函数;
min=TMAX;
@for（students（I）:
x（I,3）+t（I,3）<=TMAX
）;
!
把Y定义0-1变量;
@for（ss:
@bin（y））;
end
6最短路问题给定N个点
组成集合
，由集合中任一点
到另一点
的距离用
表示，如果
到
没有弧联结，则规定
，又规定
，指定一个终点
，要求从
点出发到
的最短路线。
这里我们用动态规划方法来做。
用所在的点
表示状态，决策集合就是除
以外的点，选定一个点
以后，得到效益
并转入新状态
，当状态是
时，过程停止。
显然这是一个不定期多阶段决策过程。
定义
是由
点出发至终点
的最短路程，由最优化原理可得
这是一个函数方程，用LINGO可以方便的解决。
现在10个城市,路线连接如下:
9
31
65
6
98
77
75
55
49
11
10
!
最短路问题;
model:
data:
n=10;
enddata
sets:
cities/1..n/:
F;!
10个城市;
roads（cities,cities）/
1,21,3
2,42,52,6
3,43,53,6
4,74,8
5,75,85,9
6,86,9
7,10
8,10
9,10
/:
D,P;
endsets
data:
D=
65
369
7511
91
875
410
5
7
9;
enddata
F（n）=0;
@for（cities（i）|i#lt#n:
F（i）=@min（roads（i,j）:
D（i,j）+F（j））;
）;
!
显然，如果P（i,j）=1,则点i到点n的最短路径的第一步是i-->j，否则就不是。
由此，我们就可方便的确定出最短路径;
@for（roads（i,j）:
P（i,j）=@if（F（i）#eq#D（i,j）+F（j）,1,0）
）;
end
7旅行售货员问题（又称货郎担问题，TravelingSalesmanProblem）
有一个推销员，从城市1出发，要遍访城市2，3，…，n各一次，最后返回城市1。
已知从城市i到j的旅费为
，问他应按怎样的次序访问这些城市，使得总旅费最少？
在下述意义下，引入一些0-1整数变量：
其目标只是使
为最小。
这里有两个明显的必须满足的条件：
访问城市i后必须要有一个即将访问的确切城市；访问城市j前必须要有一个刚刚访问过的确切城市。
用下面的两组约束分别实现上面的两个条件。
到此我们得到了一个模型，它是一个指派问题的整数规划模型。
但以上两个条件对于TSP来说并不充分，仅仅是必要条件。
例如：
以上两个条件都满足，但它显然不是TSP的解，它存在两个子巡回。
下面介绍一种避免产生子巡回的方法。
把额外变量
附加到问题中。
得到约束条件
。
为了证明该约束条件有预期的效果，必须证明：
（1）任何含子巡回的路线都不满足该约束条件；
（2）全部巡回都满足该约束条件。
首先证明
（1），用反证法。
假设还存在子巡回，也就是说至少有两个子巡回。
那么至少存在一个子巡回中不含城市1。
把该子巡回记为
，则必有
把这k个式子相加，有
，矛盾！
故假设不正确，结论
（1）得证。
下面证明
（2），采用构造法。
对于任意的总巡回
，可取
访问城市i的顺序数，取值范围为
。
因此，
。
下面来证明总巡回满足该约束条件。
（ⅰ）总巡回上的边
（ⅱ）非总巡回上的边
从而结论
（2）得证。
这样我们把TSP转化成了一个混合整数线性规划问题。
!
旅行售货员问题;
model:
sets:
city/1..5/:
u;
link（city,city）:
dist,!
距离矩阵;
x;
endsets
n=@size（city）;
data:
!
距离矩阵，它并不需要是对称的;
dist=@qrand
（1）;!
随机产生，这里可改为你要解决的问题的数据;
enddata
!
目标函数;
min=@sum（link:
dist*x）;
@FOR（city（K）:
!
进入城市K;
@sum（city（I）|I#ne#K:
x（I,K））=1;
!
离开城市K;
@sum（city（J）|J#ne#K:
x（K,J））=1;
）;
!
保证不出现子圈;
@for（city（I）|I#gt#1:
@for（city（J）|J#gt#1#and#I#ne#J:
u（I）-u（J）+n*x（I,J）<=n-1）;
）;
!
限制u的范围以加速模型的求解，保证所加限制并不排除掉TSP问题的最优解;
@for（city（I）|I#gt#1:
u（I）<=n-2）;
!
定义X为0\1变量;
@for（link:
@bin（x））;
end
8（最大流问题）请计算以下网络的最大流。
C=（cij）
最大流问题数学模型
MaxZ=flow
0≤fij≤cij
∑f1j-∑fj1=flow
中间点i：
∑fij-∑fji=0
!
最大流问题;
model:
sets:
node/1..7/:
v;
link（node,node）/
1,21,31,4
2,32,52,6
3,53,6
4,34,6
5,7
6,7
/:
c,f;
endsets
data:
c=
453
245
83
412
7
9;
enddata
!
目标函数;
max=flow;
!
约束条件;
@for（node（i）|i#eq#1:
@sum（link（i,j）:
f（i,j））-@sum（link（j,i）:
f（j,i））=flow;
）;
@for（node（i）|i#gt#1#and#i#lt#7:
@sum（link（i,j）:
f（i,j））-@sum（link（j,i）:
f（j,i））=0;
）;
@for（link（i,j）:
f（i,j）<=c（i,j））;
end
9（最小费用流问题）请计算以下网络的流量为8的最小费用流（cij,wij）。
图1最小费用流问题的有向网络
C=（cij）,W=（wij）
最大流问题数学模型
MinZ=∑wij*fij
0≤fij≤cij
∑f1j-∑fj1=8
中间点i：
∑fij-∑fji=0
!
最小费用流问题;
model:
sets:
node/1..7/:
v;
link（node,node）/
1,21,31,4
2,32,52,6
3,53,6
4,34,6
5,7
6,7
/:
c,w,f;
endsets
data:
c=
453
245
83
412
7
9;
w=
346
423
75
64
3
8;
input=?
;
enddata
!
目标函数;
max=@sum（link（i,j）:
w（i,j）*f（i,j））;
!
约束条件;
@for（node（i）|i#eq#1:
@sum（link（i,j）:
f（i,j））-@sum（link（j,i）:
f（j,i））=input;
）;
@for（node（i）|i#gt#1#and#i#lt#7:
@sum（link（i,j）:
f（i,j））-@sum（link（j,i）:
f（j,i））=0;
）;
@for（link（i,j）:
f（i,j）<=c（i,j））;
end
10（配对模型）某公司将8个职员安排到4个办公室，每室2人。
有些职员在一起合作好，有些则不然。
已知两两之间相容度，数字越小相容越好。
问如何组合？
1
2
3
4
5
6
7
8
1
9
3
4
2
1
5
6
2
1
7
3
5
2
1
3
4
4
2
9
2
4
1
5
5
2
5
8
7
6
6
2
3
7
4
8
MinZ=∑cij*xij（i∑xjk=1（j=i∨k=i）（i=1,2,3,4,5,6,7,8）
xij=0∨1（imodel:
sets:
ren/1..8/;
links（ren,ren）|&2#gt#&1:
c,x;
endsets
data:
c=9342156
173521
44292
1552
876
23
4;
enddata
!
目标函数;
min=@sum（links:
c*x）;
@for（links:
@bin（x））;
@for（ren（i）:
@sum（links（j,k）|j#eq#i#or#k#eq#i:
x（j,k））=1）;
end
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