高思奥数导引小学四年级含详解答案第17讲数列与数表.docx

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高思奥数导引小学四年级含详解答案第17讲数列与数表

第17讲数列与数表

兴趣篇

1、1,1,4,2,7,3,10,1,13,2,16,3,19,1,22,2,25,3，…，100。

请观察上面数列的规律，问：

（1）这个数列一共有多少项？

（2）这个数列所有数的总和是多少？

2、观察数组（1,2,3），（3,4,5），（5,6,7），（7,8,9）的规律，求：

（1）第20组中三个数的和；

（2）前20组中所有数的和。

3、一个数列的第一项是1，之后的每一项是这样得到的：

如果前一项是一位数，接着的一项就等于前一项的二倍；如果前一项是两位数，接着的一项就等于前一项个位数字的两倍。

请问：

（1）第100项是多少？

（2）前100项的和是多少？

4、如图，方格表中的数是按照一定规律填入的。

请观察方格表，并填出“？

”处的数。

5、如图，数阵中的数是按一定规律排列的，请问：

（1）100在第几行、第几列？

（2）第20行第3列的数是多少？

6、如图，从4开始的自然数是按某种规律排列的，请问：

（1）100在第几行，第几列？

（2）第5行第20列的数是多少？

7、如图所示，把偶数2、4、6、8，排成5列。

各列从左到右依次为第1列、第2列、第3列、第4列和第5列，请问：

（1）100在第几行，第几列？

（2）第20行第2列的数是多少？

8、如图，从1开始的自然数按某种方式排列起来，请问：

（1）100在第几行？

100是这一行左起第几个数？

（2）第25行左起第5个数是多少？

9、如图，把从1开始的自然数排成数阵。

试问：

能否在数阵中放入一个3×3的方框。

使得它围住的几个数之和等于：

（1）1997；

（2）2016；（3）2349。

如果可以，请写出方框中最大的数。

10、如图，将1至400这400个自然数顺次填入20×20的方格表中，试问：

（1）246在第几行，第几列？

（2）第14行第13列的数是多少？

（3）所有阴影方格中数的总和是多少？

拓展篇

1、1,100,2,98,3,96,2,94,1,92,2,90,3,88,2,86,1,84，…，0。

请观察上面数列的规律，请问：

（1）这个数列有多少项是2？

（2）这个数列所有项的总和是多少？

2、一列由两个数组成的数组：

（1,1），（1,2），（2,2）,（1,3）,（2,3）,（3,3）,（1,4）,（2,4）,

（3,4）,（4,4）,（1,5），…，请问：

（1）第100组内的两数之和是多少？

（2）前55组中“5”这个数出现了多少次？

3、有一列数，第一个数是3，第二个数是4，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的和的个位数。

从这列数种取出连续的50个数，并求出它们的和，所得的和最大是多少？

如果从中取出连续的500个数，500个数的和最大又是多少？

4、如图，把从1开始的自然数填在图上，1在射线

上，2在射线

上，3在射线

上，4在射线

上，5在射线

上，6在射线

上，7在射线

上，8在射线

在，9又回到射线

上，如此循环下去，问：

78在哪条射线上？

射线

上的第30个是多少？

5、如图，将从5开始的连续自然数按规律填入数阵中，请问：

（1）123应该排在第几列？

（2）第2行第20列的数是多少？

6、如图所示，将自然数有规律地填入方格表中，请问：

（1）500在第几行，第几列？

（2）第100行第2列是多少？

7、如图所示，数阵中的数字是按一定规律排列的。

这个数阵中第60行左起第4个数字是多少？

8、中国古代的纪年方法叫“干支纪年”，是在“十天干”和“十二地支”的基础上建立起来的。

天干共十个，其排列顺序为：

甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；

地支共十二个，其排列顺序为：

子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。

以一个天干和一个地支相配，天干在前，地支在后，每对干支表示一年。

在干支纪年种，每六十年纪年方式循环一次。

公元纪年则是国际通行的纪年方式。

图是1911年到1926年的公元纪年与干支纪年的对照表。

请问：

（1）中国近代史上的“辛亥革命”发生在公元1911年，是干支纪年的辛亥年，请问公元2049年是干支纪年的什么年？

（2）21世纪的甲子年是公元纪年的哪一年？

（3）“戊戌变法”发生在19世纪末的戊戌年，这一年是公元纪年的哪一年？

9、如图所示，将1至400这400个自然数填入下面的三角形中，每个小三角形内填有一个数。

“1”所处的位置为第1行；“2,3,4”所处的位置为第2行；……请问：

（1）第15行正中间的数是多少？

（2）第12行中所有空白三角形内的数之和是多少？

（3）前8行中阴影三角形内的各数之和比空白三角形内的各数之和大多少？

10、如图，把从1开始的自然数按某种方式排列起来。

请问：

（1）150在第几行，第几列？

（2）第5行第10列的数是多少？

11、如图，把从1开始的自然数按某种方式排列起来。

请问：

（1）200排在第几行，第几列？

（2）第18行第22列的数是多少？

12、如图所示，把自然数按规律排列起来。

如果用“土”字型阴影覆盖出8个数并求和，且和为798。

这8个数中最大的数是多少？

（“土”字不能旋转或翻转）

超越篇

1、下面的数组时按一定顺序排列的：

（1,1），（1,2），（2,1），（1,3），（2,2），（3,1），（1,4），（2,3），…。

请问：

（1）其中第70个括号内的数分别是多少？

（2）前50个括号内各数之和是多少？

2、桌子上有一堆球，如果球的总数量是10的倍数，就平均分成10堆并拿走其中9堆；如

果球的总数量不是10的倍数，就添加不多于9个球，使球数变为10的倍数，再平均分

成10堆并拿走其中9堆。

这个过程称为一次“操作”。

若球仅为一个，则不做“操作”。

如果最初有194919481947…54321个球，那么经过多少次“操作”后仅余下一个球？

3、在图所示的数阵中，将满足下面条件的两个数分为一组：

它们上下相邻，且和为391。

问：

在所有这样的数组中，哪一组内的两个数乘积最小？

4、图中的数是按一定规律排列的，那么第6行第23列的数字是多少？

5、将“白、旦、田、由、甲、申”这六个字按如图所示的方式排列。

请问：

（1）第1行从左往右数的第15个字是多少？

（2）第1列从上往下数的第25个字是多少？

（3）第25行的第15个字是多少？

6、将自然数从1开始，顺次排成如图所示的螺旋形，其中2,3,5,7，…处为拐点，请问：

（1）第30个拐点处的数是多少？

（2）前30个拐点处的各数之和是多少？

7、如图，把从1开始的连续的自然数按照一定的顺序排成数表，如果这个数表有40行，请通过计算回答下列问题：

（1）第1行的数是多少？

（2）第20行中最大数与最小数之和是多少？

（3）第35行中最大数与最小数之和是多少？

8、（2004年走进美妙的数学花园团体总决赛试题）如图，25个同样大小的等边三角形拼成了一个大等边三角形。

在每个小三角形的顶点处都标有一个数，使得任何两个相邻小等边三角形所构成的棱形的两组相对的顶点上所放置的数的和都相等。

已知在大等边三角形的三个顶点放置的数分别是100、200、300。

求所有顶点上数的总和。

第17讲数列与数表

兴趣篇

1、1,1,4,2,7,3,10,1,13,2,16,3,19,1,22,2,25,3，…，100。

请观察上面数列的规律，问：

（1）这个数列一共有多少项？

（2）这个数列所有数的总和是多少？

【分析】

（1）根据题意，由于1、4、7、10一直到100为等差数列，共有：

（100-1）÷3+1=34项。

所以这个数列一共有：

2×34-1=67项。

（2）根据题意，这个数列的所有的和为：

2、观察数组（1,2,3），（3,4,5），（5,6,7），（7,8,9）的规律，求：

（1）第20组中三个数的和；

（2）前20组中所有数的和。

【分析】

（1）根据题意，观察末位：

第1组为3，第2组为5，第3组为7，第4组为9，第20组的最后一个数为41，所以第20组的三个数的和为：

39+40+41=120；

（2）第1组的所有数和为6，第2组的所有数和为12；第3组的所有数和为18…第20组的所有数和为120。

所以，前20组的所有数的和为：

3、一个数列的第一项是1，之后的每一项是这样得到的：

如果前一项是一位数，接着的一项就等于前一项的二倍；如果前一项是两位数，接着的一项就等于前一项个位数字的两倍。

请问：

（1）第100项是多少？

（2）前100项的和是多少？

分析：

（1）根据题意，依次填写可能为：

1、2、4、8、16、12、4、8、16、12…以，2、4、8、16、12四个为一个周期。

则第100项是：

所以，第100项是8；

（2）前100项之和为：

【答案】

（1）8；

（2）975

4、如图，方格表中的数是按照一定规律填入的。

请观察方格表，并填出“？

”处的数。

【分析】观察，每两个数的差由2逐渐递增，由于91比78大13，所以？

处应填写105。

5、如图，数阵中的数是按一定规律排列的，请问：

（1）100在第几行、第几列？

（2）第20行第3列的数是多少？

【分析】

（1）根据题意，

，所以96应在第24行第4列。

则100在第25行第6列；

（2）第20行第4列的数为：

20×4=80。

所以第20行第3列的数为79。

【答案】

（1）第25行第6列；

（2）79

6、如图，从4开始的自然数是按某种规律排列的，请问：

（1）100在第几行，第几列？

（2）第5行第20列的数是多少？

【分析】

（1）由于

，所以100在第25列第1行；

（2）第20列的第一个数为：

，所以第20列第5行的数为83。

7、如图所示，把偶数2、4、6、8，排成5列。

各列从左到右依次为第1列、第2列、第3列、第4列和第5列，请问：

（1）100在第几行，第几列？

（2）第20行第2列的数是多少？

【分析】

（1）由于

，则第100在第15行第2列上；

（2）20行第1列的数为：

10×14=140，所以，第20行第2列的数为138。

8、如图，从1开始的自然数按某种方式排列起来，请问：

（1）100在第几行？

100是这一行左起第几个数？

（2）第25行左起第5个数是多少？

【分析】

（1）根据题意，1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13=91，由于加到奇数的最后一个数都在左边，所以100在第14行。

是这一行中的100-91=9个数；

（2）第25行的第一个数为：

，所以第25行起左起第5个数为321。

【答案】

（1）第14行，左起第9个数；

（2）321

9、如图，把从1开始的自然数排成数阵。

试问：

能否在数阵中放入一个3×3的方框。

使得它围住的几个数之和等于：

（1）1997；

（2）2016；（3）2349。

如果可以，请写出方框中最大的数。

【分析】左上角的数为：

1+2+3+8+9+10+15+16+17=81。

由于每向右移动一位，即增加9，最多可向右移动4次，向下移动一位可增加63。

由于：

（1）

，不是9的倍数；

（2）

，无法向右移动5次；

（3）

；

所以，只有2349是可以的，应向下移动36次，

所以最大的数为：

10、如图，将1至400这400个自然数顺次填入20×20的方格表中，试问：

（1）246在第几行，第几列？

（2）第14行第13列的数是多少？

（3）所有阴影方格中数的总和是多少？

【分析】

（1）由于

，所以第246是在第13行第6列；

（2）第13行的第20列的数为：

260；所以第14行第13列的数为273；

（3）所有阴影方格中的数的总和应为：

【答案】

（1）第13行，第6列；

（2）273；（3）8020

拓展篇

1、1,100,2,98,3,96,2,94,1,92,2,90,3,88,2,86,1,84，…，0。

请观察上面数列的规律，请问：

（1）这个数列有多少项是2？

（2）这个数列所有项的总和是多少？

【分析】

（1）

两个两个看，可以看到规律，从100到每次少2，共有51组数。

又观察每组第一个数，可知1,2，3,2。

四个为一个周期，由于51÷4=12…3，所以有：

12×2+1=25项是2，又从100递减到2，也会有一个。

所以共有26个2。

（2）这个数列的所有项的总和为：

2、一列由两个数组成的数组：

（1,1），（1,2），（2,2）,（1,3）,（2,3）,（3,3）,（1,4）,（2,4）,

（3,4）,（4,4）,（1,5），…，请问：

（1）第100组内的两数之和是多少？

（2）前55组中“5”这个数出现了多少次？

【分析】观察每一组内的第二个数，则知第二组是几，第二位是这个数就有几个，由于

，则第100组内的两个数为，9+14=23；

同样，据上面所述规律，由于

，当该组的第二个数是5时，这样的组数有5+1=6个，当该组的第二个数是6、7、8、9、10时，分别对应的有1个5，所以5共出现了10次。

【答案】

（1）23；

（2）11次

3、有一列数，第一个数是3，第二个数是4，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的和的个位数。

从这列数种取出连续的50个数，并求出它们的和，所得的和最大是多少？

如果从中取出连续的500个数，500个数的和最大又是多少？

【分析】根据观察，这一列数的个位为：

3、4、7、1、8、9、7、6、3、9、2、1、3、4、7、1…,12个位一个周期，由于

，共有4个周期余为2，所以从8开始连续50个数的和最大，为：

；

而

，正面考虑较为复杂，可从反面开始考虑，从一个周期里去掉4个数，而且使其尽量的小，显然是，2，1，3，4，此时和为：

【答案】257；2510

4、如图，把从1开始的自然数填在图上，1在射线

上，2在射线

上，3在射线

上，4在射线

上，5在射线

上，6在射线

上，7在射线

上，8在射线

在，9又回到射线

上，如此循环下去，问：

78在哪条射线上？

射线

上的第30个是多少？

【分析】根据题意，8个一周期，

。

78所在的射线与6所在的射线一样，为OF；

线段OE上第一个为5，第二个为5+8=13，第三个为5+2×8=21…，第30个为，5+29×8=237

【答案】射线

上；237

5、如图，将从5开始的连续自然数按规律填入数阵中，请问：

（1）123应该排在第几列？

（2）第2行第20列的数是多少？

【分析】根据题意，由于

，所以123应该排在第25列；

第20列的第一个数为：

，所以第2行的第20列的数是101。

【答案】

（1）第24列；

（2）101

6、如图所示，将自然数有规律地填入方格表中，请问：

（1）500在第几行，第几列？

（2）第100行第2列是多少？

【分析】观察，知两行为一个完整周期，有9个数，500÷9=55…5。

所以500在第111行，第5列；

第98行的最后一个数为：

49×9=441。

所以第100行的第2列为：

441+7=448；

【答案】

（1）第111行，第5列；

（2）448

7、如图所示，数阵中的数字是按一定规律排列的。

这个数阵中第60行左起第4个数字是多少？

【分析】第60行的第4个数字相当于求数123456789101112…的第8×59+4=476个数字是多少？

由于1到9共有9个数字；

10到99共有2×90=180个数字；

100到999共有：

3×900=2700个数字，第476个数字应该在100到999之间。

476-189=287,287÷3=95…2，则相当于194过后195的第二个数字，即为9。

【答案】9

8、中国古代的纪年方法叫“干支纪年”，是在“十天干”和“十二地支”的基础上建立起来的。

天干共十个，其排列顺序为：

甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；

地支共十二个，其排列顺序为：

子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。

以一个天干和一个地支相配，天干在前，地支在后，每对干支表示一年。

在干支纪年种，每六十年纪年方式循环一次。

公元纪年则是国际通行的纪年方式。

图是1911年到1926年的公元纪年与干支纪年的对照表。

请问：

（1）中国近代史上的“辛亥革命”发生在公元1911年，是干支纪年的辛亥年，请问公元2049年是干支纪年的什么年？

（2）21世纪的甲子年是公元纪年的哪一年？

（3）“戊戌变法”发生在19世纪末的戊戌年，这一年是公元纪年的哪一年？

【分析】

（1）根据题意，10与12的最小公倍数为60，所以天干地支纪法为60一周期。

则2049年与2049-120=1929年的天干地支一样。

1929年的天干为已，地支为巳，所以那一年为乙巳年；

（2）根据题意，1924年为甲子年，则1924+120=2044年也为甲子年；

（3）从1922年的地支开始考虑，当1922年地支为戌时，天干为壬；

当1934年地支为戌时，天干为甲；

当1946年地支为戌时，天干为丙；

当1959年地支为戌时，天干为戊；

所以戊戌变法发生在1898年。

【答案】

（1）已巳年；

（2）2044年；（3）1898年

9、如图所示，将1至400这400个自然数填入下面的三角形中，每个小三角形内填有一个数。

“1”所处的位置为第1行；“2,3,4”所处的位置为第2行；……请问：

（1）第15行正中间的数是多少？

（2）第12行中所有空白三角形内的数之和是多少？

（3）前8行中阴影三角形内的各数之和比空白三角形内的各数之和大多少？

【分析】

（1）由于第1行有1个数，第2行有3个数，第3行有5个数,…则第n行有2n-1个数，根据题意，第15行有29个数。

第15行的最后一个数为：

1+3+5+7+9+..+29=225。

由于第15行有29个数，则其中间数为：

225-14=211；

（2）根据题意，第11行中共有：

21个数，则有第12行中最后一个数为144。

观察可知，偶数行时，奇数部分为空白部分。

由于第11行中的最后一个数为121。

所以第12行中所有空白部分的数字为：

123、125…143，他们的和为：

；

（4）根据题意，

第1行阴影部分比空白部分多：

1个；

第2行阴影部分比空白部分多：

；

第3行阴影部分比空白部分多：

；

第4行阴影部分比空白部分多：

；

第5行阴影部分比空白部分多：

；

第6行阴影部分比空白部分多：

；

第7行阴影部分比空白部分多：

；

第8行阴影部分比空白部分多：

；

所以他们的和为：

10、如图，把从1开始的自然数按某种方式排列起来。

请问：

（1）150在第几行，第几列？

（2）第5行第10列的数是多少？

【分析】由于144=12×12。

而150-144=6。

所以150排在第13列，第6行；

由于第9行中的数为81，则第10列第1行的数为82，所以第5行第10列中的数为82+4=86。

【答案】

（1）第6行，第13列；

（2）86

11、如图，把从1开始的自然数按某种方式排列起来。

请问：

（1）200排在第几行，第几列？

（2）第18行第22列的数是多少？

【分析】

（1）根据题意，由于1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15=+16+17+18+19=190，所以190排第19行第1列，191排在第1行第20列。

所以第200排在10行第11列；

（2）第18行的第1个数为：

1+2+3+…+18=171。

公差为18。

所以第22列，为171+18+19+20+…+38=741+18=759

【答案】

（1）第10行，第11列；

（2）759

12、如图所示，把自然数按规律排列起来。

如果用“土”字型阴影覆盖出8个数并求和，且和为798。

这8个数中最大的数是多少？

（“土”字不能旋转或翻转）

分析，若土字在最左边，则其和为：

2+10+11+12+20+28+29+30=142，而798-142=656。

656÷72=9余8。

由于土字每向下移动一格即增加72，每向右移动一格即增加8。

所以这个土字应从最上方的左上角开始，先向下移动9格，再向右移动1格，此时8个数中最大的是：

30+9×9+1=112

【答案】112

超越篇

1、下面的数组时按一定顺序排列的：

（1,1），（1,2），（2,1），（1,3），（2,2），（3,1），（1,4），（2,3），…。

请问：

（1）其中第70个括号内的数分别是多少？

（2）前50个括号内各数之和是多少？

【分析】和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，…。

所以：

，则第67个及以上的括号里的数应为13，第70个数应为（4,99）

（2）根据题意，前50个括号各数之和为：

所以，前50个括号之内各数之和为385。

【答案】

（1）（4,9）；

（2）385

2、桌子上有一堆球，如果球的总数量是10的倍数，就平均分成10堆并拿走其中9堆；如

果球的总数量不是10的倍数，就添加不多于9个球，使球数变为10的倍数，再平均分

成10堆并拿走其中9堆。

这个过程称为一次“操作”。

若球仅为一个，则不做“操作”。

如果最初有194919481947…54321个球，那么经过多少次“操作”后仅余下一个球？

【分析】根据题意，相当于求194919481947…54321中有多少个数字。

1到9共有：

1×9=9个；

10到99共有：

2×90=180个；

100到999共有：

3×900=2700个；

1000到1949共有：

950×4=3800个。

所以共有：

3800+2700+180+9=6689个。

【答案】6689次

3、在图所示的数阵中，将满足下面条件的两个数分为一组：

它们上下相邻，且和为391。

问：

在所有这样的数组中，哪一组内的两个数乘积最小？

【分析】根据题意，第1行与第2行同列两数之和为31，第3行与第4行两数之和为：

91,；第5行与第6行的两数之和为151，第7行与第8行两行量数之和为211，第9行与第10行两数之和为271，第11行与第12行两数之和为331，第13行与第14行两数之和为391。

由于第1列相差的数均相差最大，所以第13行的第一个数为：

181，第14行的第1个数为210。

【答案】181和210

4、图中的数是按一定规律排列的，那么第6行第23列的数字是多少？

分析：

根据题意，第22列的最后一个数字应为1234567891011。

。

。

。

的第1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22=253个数字。

由于1到9中有数字：

1×9=9个；

10到99中有数字：

2×90=180个；

100到999中有数字：

3×900=2700个。

所以253-189=64。

64÷3=21余1。

所以第22列最后一个数为12