第15讲四年级数学还原问题 彭仁鑫 教案.docx

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第15讲四年级数学还原问题彭仁鑫教案

精锐教育学科教师辅导讲义

学员编号：

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辅导科目：

学科教师：

授课类型

T（还原问题）

C（还原问题）

T（还原问题）

授课日期及时段

教学内容

1、解决方案问题的方法有哪些？

1）方阵不论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相同.每向里一层，每边上的人数就少2，每层总数就少8.

2）每边人（或物）数和每层总数的关系：

3）每层总数=[每边人（或物）数-1]×4;每边人（或物）数=每层总数÷4+1.

4）实心方阵：

总人（或物）数=每边人（或物）数×每边人（或物）数.

5）空心方阵：

总人（或物）数=外边人数×外边人数-内边人数×内边人数

2、240人围成一个三层空心方阵，最内层每边有多少人？

中层：

240÷3＝80，每边：

80÷4+1＝21；内层每边：

21-1=19（人）

一、同步知识梳理

有些题目只给出对未知数量经过某些运算而得到的最后结果，要想求出未知量，可以从这最后结果出发，运用加与减，乘与除之间的互逆关系，从后往前一步一步地推算，这种方法叫做逆推法。

如7大于5，也可以说成5小于7。

这种思维方法我们称作逆向思维，在处理一些问题时经常要用到。

有些应用题按顺向处理比较困难，或者会出现繁杂的运算，如果根据题目的条件，运用逆推法去解则方便得多。

二、同步题型分析

例1、某数乘以3，再加2，减去5，差是12，这个数是多少？

分析：

差是12，是减去5之后得到的，那么被减数就是12+5=17，这个被减数是加2之后得到的，另一个加数就是17-2=15，这一个加数是有某数乘3得到的，那么这个数就是15÷3

解：

（12+5-2）÷3

=15÷3

=5；

答：

这个数是5．

例2、一个数减去5，乘以5，加上5，除以5，最后的结果还是5，那么这个数是多少？

分析：

从后向前来推算，①“除以5，结果还是5”，则前一个数是5×5=25；

②“加上5等于25”，则前一个数是25-5=20；

③“乘以5等于20”，则前一个数是20÷5=4；

④“减去5，等于4”，则原来的数是4+5=9．

解：

（5×5-5）÷5+5，

=（25-5）÷5+5，

=20÷5+5，

=4+5，

=9，

答：

这个数是9．

例3、一桶油，每次倒掉油的一半，倒了三次后连桶重10千克，已知桶重2.5千克，原来桶里有油多少千克？

分析：

由题意，倒了三次后连桶重10千克，已知桶重2.5千克，则油重（10-2.5）千克，每次倒掉油的一半，则第三次没倒前油重（10-2.5）×2，以此类推。

解：

（10-2.5）×2×2×2

=7.5×2×2×2

=15×2×2

=60（千克）

例4、甲、乙两人有若干本书，如果甲拿出和乙同样多的书给乙，乙再拿出同样多的书给甲，这时两人都是48本，那么甲、乙两人原来有图书多少本？

方法一【搭架子，倒推还原】：

甲-乙+（甲-乙）=48，

48-（甲-乙）+乙=甲

即：

甲=乙+24①

乙+乙-（甲-乙）=48

48+（甲-乙）-乙=乙

即：

甲=3乙-48②

综合①，②

甲=60

乙=36

方法二【列表比较】：

原来

甲

乙

第一次

甲-乙

2乙

第二次

2（甲-乙）=48

2乙-（甲-乙）=48

所以，甲-乙=24，乙=36甲=60.

三、课堂达标检测

1、一个数除以3后再加6，减7，再乘以5，积是10，这个数是多少？

解：

（10÷5+7-6）×3

=（2+7-6）×3

=3×3

=9

答：

这个数是9。

2、篮子里原有苹果若干个，拿出一半送给奶奶，又拿出剩下的一半送给妈妈，这时还剩5个，原来这篮苹果有多少个？

解：

5×2×2

=10×2

=20（个）

答：

原来这篮苹果有20个。

3、有一种昆虫，由幼虫长到成虫，体长每天增长一倍，20天后正好长到20厘米，请问长到5厘米时用了几天？

解：

第19天：

20÷2=10（厘米），

第18天：

10÷2=5（厘米）

答：

它长到5厘米用了18天。

一、专题精讲

例1、农机店出售一批新型的农用拖拉机，上午售出总数的一半多20台，下午售出剩下的一半多15台，这时只剩75台．这批农用拖拉机共有多少台？

分析：

此题抓住剩下的75台，往前推算，75台再加上15台就是上午卖完剩下的一半，据此乘2，即可得出上午卖完剩下的是90×2=180台，180台，再加上20台，就是这批拖拉机的一半，据此乘2，就是拖拉机的总台数．

解：

[（75+15）×2+20]×2，

=[90×2+20]×2，

=200×2，

=400（台），

答：

这批拖拉机共有400台。

例2、小红看一本故事书，第一天看了这本书的一半又10页，第二天看了余下的一半又10页，第三天看了10页正好看完，这本书有多少页？

分析：

此题抓住最后第三天看的页数是10页正好看完，向前逆推。

解：

[（10+10）×2+10]×2，

=[40+10]×2，

=50×2，

=100（页），

答：

这本书有100页．

例3、粮库里存一批大米，第一次运出库存大米的一半多20包，第二次运出剩下大米的一半少10包，这时还剩28包，求粮库原有大米多少包？

分析：

本题需要从问题出发，一步步向前推，最后剩下了28包，它是运出剩下的一半少10包后剩下的，那么剩下的一半就是28-10包，就可以求出剩下的一共多少包；同样的方法就可以求出原来有多少包．

解：

[（28-10）×2+20]×2

=（18×2+20）×2

=56×2

=112（包）

答：

粮库原有大米112包．

例4、四个小朋友共有课外读物120本，甲给乙3本，乙给丙4本，丙给丁5本，丁给甲6本，这时四个人的课外读物的本数相等，他们原来各有几本课外读物？

解：

120÷4=30（本）

甲-3+6=30甲：

30-6+3=27（本）

乙-4+3=30乙：

30-3+4=31（本）

丙-5+4=30丙：

30-4+5=31（本）

丁-6+5=30丁：

30-5+6=31（本）

答：

甲原来有27本，乙、丙、丁原来各有31本．

例5、袋里有若干个球，小明每次拿出其中的一半再放回一个球，这样共操作了5次，袋中还有3个球。

问：

袋中原有多少个球？

分析与解：

利用逆推法从第5次操作后向前逆推。

第5次操作后有3个，第4次操作后有（3—1）×2＝4（个），第3次……为了简洁清楚，可以列表逆推如下：

所以原来袋中有34个球。

例6、三堆苹果共48个。

先从第一堆中拿出与第二堆个数相等的苹果并入第二堆；再从第二堆中拿出与第三堆个数相等的苹果并入第三堆；最后又从第三堆中拿出与这时第一堆个数相等的苹果并入第一堆。

这时，三堆苹果数恰好相等。

问：

三堆苹果原来各有多少个？

分析与解：

由题意知，最后每堆苹果都是48÷3＝16（个），由此向前逆推如下表：

原来第一、二、三堆依次有22，14，12个苹果。

例7、兄弟三人分24个桔子，每人所得个数分别等于他们三年前各自的岁数。

如果老三先把所得的桔子的一半平分给老大与老二，接着老二把现有的桔子的一半平分给老三与老大，最后老大把现有的桔子的一半平分给老二与老三，这时每人的桔子数恰好相同。

问：

兄弟三人的年龄各多少岁？

分析与解：

由于总共有24个桔子，最后三人所得到的桔子数相等，因此每人最后都有24÷3＝8（个）桔子。

由此列表逆推如下表：

由上表看出，老大、老二、老三原来分别有桔子13，7，4个，现在的年龄依次为16，10，7岁。

二、专题过关

1、某数加上6，乘以6，减去6，除以6，最后结果等于6，求某数。

　　解答：

（6×6+6）÷6-6=1

2、一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩7米，这捆电线原有多少米?

　　解答：

[（7+15-10）×2+3]=54（米）

3、小明在计算一道加法计算时，把一个加数个位上的1看作7，把一个加数十位上的8看作3，这样所得的和是1955，原来两数相加的正确答案是多少?

　　解答：

1995+50-6=1999

4、袋子里装着若干个乒乓球，小明每次拿出其中的一半再放回一个球，这样共拿了5次，袋子里还有5个球。

袋中原有多少个乒乓球?

　　解答：

操作次数，袋中球个数初始

　　第一步：

（50-1）×2=98;第二步：

（26-1）×2=50;第三步：

（14-1）×2=26;第四步：

（8-1）×2=14;第五步：

（5-1）×2=8

5、甲、乙、丙三人各有小球若干个，甲先拿出自己的小球的一部分给乙和丙，使乙、丙每人的小球数增加一倍;然后乙也把自己的小球的一部分分给甲丙，使甲和丙每人的小球数增加一倍;最后丙也把自己小球的一部分分给甲和乙，使甲和乙每人的小球数增加一倍。

这时甲乙丙都有48个小球。

原来甲乙丙各有小球多少个?

　　解答：

变动情况

　　甲初始状态：

12+42+24=78→24÷2=12→48÷2=24→48

　　乙初始状态：

84÷2=42→24+12+48=84→48÷2=24→48

　　丙初始状态：

48÷2=24→96÷2=48→48+24+24=96→48

三、学法提炼

1、专题特点：

还原问题的解法。

2、解题方法：

1、运用倒推法（还原法）解题的相应的“逆运算”是指：

加法用减法还原，减法用加法还原，乘法用除法还原，除法用乘法还原，并且原来是加（减）几，还原时应为减（加）几，原来是乘（除）以几，还原时应为除（乘）以几。

对于一些比较复杂的还原问题，要学会列表，借助表格倒推，既能理清数量关系，又便于验算。

2、列表法解还原问题，一步一步从后面往前推。

3、注意事项：

逆推时注意，每次变化中，有一堆未动；有一堆增加了一倍，逆推时应除以2；另一堆减少了增加一倍那堆增加的数，逆推时应使用加法。

一、能力培养

综合题1：

某校初一有A，B，C三个班，A班比B班多4个女生，B班比C班多1个女生，如果将A班的第一组同学调入B班，同时将B班第一组调入C班，同时将C班的第一组同学调入A班，则三个班的女同学人数恰好相等．已知C班第一组有2名女生，问A、B两个班第一组各有多少女生？

分析：

由“A班比B班多4个女生，B班比C班多1个女生”，可知A班比C班多5个女同学，即A、B、C三个班是C班开始人数的3倍，也就是A多5个女生，B多1个，C一个也不多为0．想让三者平衡，就是A2人，B2人，C2人．即C给了A2人，A够了，所以A第一组5女全送出，B得到5个人加上原来的一个为6个，所以B第一组4人送出，并正好是4-2=2（人）．

解：

三个班的女同学人数恰好相等时，各有女生：

（5+1）÷3=2（人）；

B班第一组有女生人数为：

2+2=4（人）；

A班第一组有女生人数为：

4+1=5（人）；

答：

A班第一组有女生5人，B班第一组有女生4人．

综合题2：

有一个财迷总想使自己的钱成倍增长，一天他在一座桥上碰见一个老人，老人对他说：

“你只要走过这座桥再回来，你身上的钱就会增加一倍，但作为报酬，你每走一个来回要给我32个铜板．”财迷算了算挺合算，就同意了．他走过桥去又走回来，身上的钱果然增加了一倍，他很高兴地给了老人32个铜板．这样走完第五个来回，身上的最后32个铜板都给了老人，一个铜板也没剩下．问：

财迷身上原有多少个铜板？

解：

第五次后有：

32÷2=16（个）；

第四次后有：

（32+16）÷2=24（个）；

第三次后有：

（32+24）÷2=28（个）；

第二次后有：

（32+28）÷2=30（个）；

第一次原有：

（32+30）÷2=31（个）；

答：

财迷身上原有31个铜板．

二、能力点评

在分析应用题的过程中，倒推法是一种常用的思考方法.这种方法是从所叙述应用题或文字题的结果出发，利用已知条件一步一步倒着分析、推理，直到解决问题.

学法升华

一、知识收获

1、计算类的还原问题

2、还原问题的应用

二、方法总结

用倒推法解题时要注意：

①从结果出发，逐步向前一步一步推理.

②在向前推理的过程中，每一步运算都是原来运算的逆运算.

③列式时注意运算顺序，正确使用括号.

三、技巧提炼

解决还原问题的关键是抓住最后得到的数量，从后先前进行推理，根据加减乘除的逆运算思维进行解答

课后作业

1、美红商店出售洗衣机，上午出售总数的一半多20台，下午售出剩下的一半少20台，结果还剩105台，美红商店原有多少台洗衣机？

解：

[（105-20）×2+20]×2，

=[85×2+20]×2，

=190×2，

=380（台），

答：

这批洗衣机共有380台．

2、一次数学考试后，李军问于昆数学考试得多少分.于昆说：

“用我得的分数减去8加上10，再除以7，最后乘

以4，得56.”小朋友，你知道于昆得多少分吗?

【分析】这道题如果顺推思考，比较麻烦，很难理出头绪来.如果用倒推法进行分析，就像剥卷心菜一样层层深入，直到解决问题.如果把于昆的叙述过程编成一道文字题：

一个数减去8，加上10，再除以7，乘以4，结果是56.求这个数是多少?

把一个数用□来表示，根据题目已知条件可得到这样的等式：

解：

{[（□-8）+10]÷7｝×4=56

[（□-8）+10〕÷7=56÷4

答：

于昆这次数学考试成绩是96分.

3、马小虎做一道整数减法题时，把减数个位上的1看成7，把减数十位上的7看成1，结果得出差是111.问正确答案应是几?

解：

111-（70—10）+（7—1）=57

答：

正确的答案是57.

4、树林中的三棵树上共落着48只鸟.如果从第一棵树上飞走8只落到第二棵树上;从第二棵树上飞走6只落到第三棵树上，这时三棵树上鸟的只数相等.问：

原来每棵树上各落多少只鸟?

【分析】倒推时以“三棵树上鸟的只数相等”入手分析，可得出现在每棵树上鸟的只数48÷3=16（只）.

第三棵树上现有的鸟16只是从第二棵树上飞来的6只后得到的，所以第三棵树上原落鸟16—6=10（只）.

同理，第二棵树上原有鸟16+6—8=14（只）.

第一棵树上原落鸟16+8=24（只）。

5、三筐苹果共重120斤，如果从第一筐中取出15斤放入第二筐，从第二中取出8斤放入第三筐，从第三筐中取出2斤放入第一筐，这时三筐苹果的重量相等，问原来第二筐中有苹果多少斤？

解：

后来每筐各有苹果：

120÷3=40（斤）；

原来第二框有：

40-（15-8），

=40-7，

=33（斤）；

答：

原来第二筐中有苹果33斤．

6、冰箱里的鸡蛋，第一天拿走了一半少3个，第二天拿走了余下的一半多2个，第三天拿走余下的一半后，最后还剩2个．冰箱里原来有鸡蛋多少个？

解：

[（2×2+2）×2-3]×2，

=[（4+2）×2-3]×2，

=[6×2-3]×2，

=[12-3]×2，

=9×2，

=18（个）；

答：

原来有鸡蛋18个．

7、有甲、乙、丙三个书架，共有图书450本，如果从甲架拿出60本放入乙架，再从乙架拿出120本放入丙架，最后再从丙架拿出50本放入甲架，则三个书架图书本数一样多．原来三个书架各有图书多少本？

解：

①丙架有150-（120-50）=80（本）；

②乙架有150-60+120=210（本）；

③甲架有书：

450-210-80=160（本）．

答：

甲乙丙三个书架各有图书160、210、80本．

8、一棵桃树长满了成熟的桃，已知小猴去偷吃．第一天偷吃了一半多2个，第二天偷吃了剩下的一半少2个，这时树上还有20个桃，这棵桃树原有多少个桃？

解：

[（20-2）×2+2]×2，

=[36+2]×2，

=38×2，

=76（个）；

答：

这棵桃树原有76个桃．

如果你现在有四个不同的任务，要在规定时间内完成。

每个任务的时间不相同，而这些任务的总时间超过了规定的时间，你会怎么安排时间在规定时间内完成这些任务呢？

请用简短的几句话将你的想法写下来。