《二次函数与几何图形的综合问题》教学设计.docx
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《二次函数与几何图形的综合问题》教学设计
《二次函数与几何图形的综合问题》教学设计
一、学情分析
认知基础：
大部分学生数学基础不够扎实，理解能力，运算能力，思维能力等方面都还有所欠缺。
活动经验基础：
通过以前的学习，学生已初步掌握数形结合的数学思想，能结合实际问题情境观察、分析图象得出有用的信息。
二、教学目标
知识目标：
能利用二次函数的图像和性质解决综合数学问题。
能力目标：
（1）通过研究抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的数形关系，进一步理解二次函数的性质；
（2）经历探究利用函数式的模型表示线段长（或面积）等的过程，了解和体验特殊与一般互相联系和转化以及数形结合等数学思想方法的具体体现和运用。
情感与价值观目标：
（1）通过探究，互相讨论、发表意见等学习活动，培养合作精神和认真倾听的习惯；
（2）经历探究面积的最值问题，体会二次函数的应用价值和二次函数模型对解决最值问题的优越性。
三、教学重点、难点
重点：
利用二次函数图象、性质找点。
难点：
通过二次函数图象、性质的探究，发展学生数形结合和数学转化思想意识。
四、教学方法与手段
在教师的引导下，以小组合作交流的形式展开教学活动，给学生提供探索的空间，引导学生积极探索，培养学生的创新意识和创新能力，让数形结合思想渗透整个数学教学的过程，适当的时候教师作必要的引导和语言铺垫。
五、教学过程
六、教学设计
教学
步骤
预计
时间
教学内容
教师活动
学生活动
设计意图
头脑热身活动
5
分钟
1、已知二次函数y=x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值，如下表：
（1）你能从表中得到哪些信息？
（2）在下面网格中画出该二次函数的图象，并观察图象，说出该函数的性质.
（3）求该二次函数的关系式.
（4）若M（m，y1），N（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，试比较y1与y2
的大小.
引导学生通过观察思考，尽可能多发现图象所隐藏的信息，并说说问什么。
【参考答案】
（3）y=x2-4x+5
（4）当m<1时，y1>y2；当
m>2时，y1
学生观察图象并进行小组内的讨论交流，小组推荐组员回答，其他学生学会倾听同学的意见不断地重组和优化自己的知识结构。
学生通过小组合作交流，推荐组员回答。
这样的开放问题和开放提问，从一开始就让学生从学习方式上感到放松，从而增进学习兴趣。
通过学生独立思考，提高学生分类讨论的意识和数形结合的思想。
探究与灵活运用
8
分钟
（5）若将此抛物线向下平移5个单位，
向左平移1个单位，求平移后新的抛物线的解析式.
（6）在（5）题条件下：
抛物线与x轴左边的交点坐标A（，），与x轴右边的交点坐标B（，），与y轴的交点坐标C（，），顶点D的坐标
（，）；若y>0，则x的取值范围是
，若y<0，则x的取值范围是.
（7）判断∆BCD的形状。
（写出过程）
（8）求四边形ABDC的面积。
引导学生从抛物线上的
关键点入手。
【参考答案】
（5）y=（x-1）2-4
或y=x2-2x-3
要求学生通过画出图象得出A、B、C、D的坐标，并从图象中找出当y>0、
y<0时x的取值范围。
【参考答案】
（6）A（-1，0）B（3，0）C（0，-3）D（1，-4）x<-1或x>3时
-1引导学生结合图象分析问题，让学生回想计算线段
长度所涉及的公式。
学生独立完成，一名学生到黑板板书。
学生独立完成。
在老师的帮助下，小组内进行讨论与交流，明确思
本环节设计的问题巧妙地将图形的平移和图形的坐标变换融合到函数图象中，要求学生通过对图形中的几何元素之间的位置关系和数量关系进行探究分析，从静转化到动的过程中对学生的思维能力提出了较高的要
（9）判断∆BCD与∆AOC是否相似，并说明理由.
【参考答案】
（7）
BC=（3-0）2+（0+3）2=32CD=（0-1）2+（-3+4）2=2BD=（3-1）2+（0+4）2=25
BC2+CD2=BD2
∴∆BCD是直角三角形
BC⋅CD
（8）S∆BCD=2=3
S=AB⋅OC=6
∆ABC2
所以四边形ABDC的面积为S∆BCD+S∆ABC=9（9）∠BCD=∠A=90︒
BC=CD=1
OCOA2
∴∆BCD∽∆AOC
路后，整合解决问题的思路和方法，并组织语言进行展示。
求。
这样的安排对提高学生利用数形结合思想以及转化策略进行解题的能力起到了很好的作用。
变式练习
27
分钟
（10）点P是y轴上一点，且∆PAC是等腰三角形，直接写出点P的坐标
.
（11）在抛物线上找一点E，使∆ABE和∆ABC的面积相等，直接写出E点的坐标.
（12）在对称轴上找一点F，使∆ACF
的周长最小，并求出此时F的坐标.
（13）若点G为抛物线上x轴下方一点，当四边形ABGC的面积最大时，求G的坐标并求出面积的最大值.
（14））若点H为抛物线上一点，当
∆BCH是以BC为直角边的直角三角形时，求点H的坐标.
出示题目，要求学生独立完成第（10）-（14）题，时刻关注学生的学习动态，
及时批阅改错。
【参考答案】
（10）（3,0）
（11）（2,-3）
（12）（12）设直线AE的关系式为y=kx+b,图象经过（-1，0），（2,-3）两点
∴⎧-k+b=0解得⎧k=-1
⎨⎨
⎩2k+b=-3⎩b=-1
∴直线AE的关系式为
y=-x-1
当x=1时，y=-1-1=-2
∴点E的坐标为（1，-2）
（13）直线BC的关系式为
y=x-3
学生独立思考后表达自己的观点,通过讨论交流,达成共识。
通过这组练习，培养学生的解题能力，以及知识的概括和运用能力，本环节充满探索和挑战的设计，满足学生探究的欲望。
本环节习题涉及到分类讨论的思想，方程、勾股定理、四边形等各个知识点，又一次历练
设点G的坐标为（x，x2-2x-3），过点G作GP⊥x轴，垂足为P，与直线BC交于点Q，则Q（x，x-3）
S四边形ABGC=S∆ABC+S∆BCG
=6+1（3x-x2）⋅3
2
3⎛3⎫275
=-çx-⎪+
2⎝2⎭8
∴当x=3时，四边形ABGC的
2
面积最大，此时点G的坐标为
315
（，-）
24
∴四边形ABGC的面积的最大
75
值是.
8
（14）因为∆BCD是直角三角形，所以H坐标为（1，-4）
了学生的思维，提高学生解决问题的能力。
（15）连接AC、BC，Q点为线段AB上一动点，过点Q作QI∥BC交AC于点I，设AQ长为m，连接CQ，∆CQI的面积为S，求S与m的函数关系式，并求出m的取值范围，判断m为何值时∆CQI的面积最大，求出最大面积.
（16）若点R在x轴上，点T在抛物线上，是否存在以B、C、R、T为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点T坐标，若不存在，说明理由.
对于第（15）（16）题，现要求学生独立思考，必要时进行小组合学，而后指导学生找出题目中的关键词，
明确解题入口。
【参考答案】
（15）直线AC的表达式为
y=-3x-3
设点I坐标为（x，-3x-3），
∆AQI的高为h1，∆ABC的高为
h2
∆AQI∽∆ABC
∴AQ:
AB=h1:
h2
即m:
4=（3x+3）:
3
∴x=1m-14
S∆CQI=S∆ABC-S∆AQI-S∆BCQ
∴S=-3（m-4）2+6
8
所以m的取值范围是0（16）设点R的坐标为（a，0），若点T在点R的右边，则T
（a+3，3）
将点T代入抛物线得
（a+3）2-2（a+3）-3=3
解得a1=7-2，
a2=-7-2（舍去）此时T（7+1，3）
若点T在点R的左边，则T
（a-3，-3）
将点T代入抛物线得
（a-3）2-2（a-3）-3=-3
解得a1=3（舍去），a2=5
此时T
综上所述，点T坐标为（2，-3）或（7+1，3）
我的收获
5
分钟
新观点：
新体验：
新感受：
我将改变我的：
引导学生畅所欲言。
学生自己记录填写相应的内容并互相交流。
及时将新知识和新方法纳入系统。
六、作业：
1.
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，直线y=kx+n（k≠0）经过B、C两点，已知A（1，0），C（0，3），且BC=5.
（1）分别求直线BC和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B、C、P三点为顶点的三角形是直角三角形？
若存在，请
求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
2.已知：
如图所示，关于x的抛物线y=ax2+x+c（a≠0）与x轴交于点A（-2，0），点B（6，0），与y轴交于点C．
（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；
y
（2）在抛物线上有一点D，使四边形ABCD为等腰梯形，写出点D的坐标，并求出直线AD的解析式；C
（3）在
（2）中的直线AD交抛物线的对称轴于点M，抛物线上有一动点P，x轴上有一动点Q．是
AOBx
否存在以A、M、P、Q为顶点的平行四边形？
如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存
在，请说明理由.
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