届高三数学一轮复习培优讲义含课时作业第8章第1讲直线的倾斜角与斜率.docx
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届高三数学一轮复习培优讲义含课时作业第8章第1讲直线的倾斜角与斜率
第8章平面解析几何
第1讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点1 直线的倾斜角与斜率
1．直线的倾斜角
（1）定义：
x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
（2）倾斜角的范围为0°≤α<180°.
2．直线的斜率
（1）定义：
一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα，倾斜角是90°的直线斜率不存在．
（2）过两点的直线的斜率公式
经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2）的直线的斜率公式为k＝
.
考点2 直线方程的几种形式
[必会结论]
直线的斜率k与倾斜角θ之间的关系
θ
0°
0°<θ<90°
90°
90°<θ<180°
k
0
k>0
不存在
k<0
牢记口诀：
“斜率变化分两段，90°是分界线；
遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．
[考点自测]
1．判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）直线的倾斜角越大，其斜率越大．（ ）
（2）斜率公式k＝
，不适用于垂直于x轴和平行于x轴的直线．（ ）
（3）当直线的斜率不存在时，其倾斜角存在．（ ）
（4）过点P（x1，y1）的直线方程一定可设为y－y1＝k（x－x1）．（ ）
（5）直线方程的截距式
＋
＝1中，a，b均应大于0.（ ）
答案
（1）×
（2）× （3）√ （4）× （5）×
2．[课本改编]过点M（－1，m），N（m＋1,4）的直线的斜率等于1，则m的值为（ ）
A．1B.
C．2D.
答案 A
解析 由
＝1，得m＝1.故选A.
3．[课本改编]倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是（ ）
A．x－y＋1＝0B．x－y－1＝0
C．x＋y－1＝0D．x＋y＋1＝0
答案 D
解析 直线的斜率为k＝tan135°＝－1，所以直线方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0.
4．[课本改编]过两点（0,3），（2,1）的直线方程为（ ）
A．x－y－3＝0B．x＋y－3＝0
C．x＋y＋3＝0D．x－y＋3＝0
答案 B
解析 所求直线的斜率k＝
＝－1，又过点（0,3），所以直线方程为y－3＝－x，即x＋y－3＝0.
5．已知直线l：
ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是（ ）
A．1B．－1
C．－2或－1D．－2或1
答案 D
解析 由题意可知a≠0.当x＝0时，y＝a＋2；当y＝0时，x＝
，∴
＝a＋2，解得a＝－2或a＝1.
6．[2018·长春模拟]直线l：
（a－2）x＋（a＋1）y＋6＝0，则直线l恒过定点________．
答案 （2，－2）
解析 直线l的方程变形为a（x＋y）－2x＋y＋6＝0，
由
解得x＝2，y＝－2，
所以直线l恒过定点（2，－2）．
板块二 典例探究·考向突破
考向
直线的倾斜角与斜率
例 1 直线l过点P（1,0），且与以A（2,1），B（0，
）为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．
答案 （－∞，－
]∪[1，＋∞）
解析 如图，
∵kAP＝
＝1,kBP＝
＝－
，
∴k∈（－∞，－
]∪[1，＋∞）．
若将题中P（1,0）改为P（－1,0），其他条件不变，求直线l斜率的取值范围．
解 ∵P（－1,0），A（2,1），B（0，
），∴kAP＝
＝
，kBP＝
＝
.
如图可知，直线l斜率的取值范围为
.
若将题中条件改为“经过P（0，－1）作直线l，若直线l与连接A（1，－2），B（2,1）的线段总有公共点”，求直线l的倾斜角α的范围．
解 如图所示，kPA＝
＝－1，kPB＝
＝1，由图可观察出：
直线l倾斜角α的范围是
∪
.
触类旁通
直线的斜率与倾斜角的区别与联系
【变式训练1】
（1）[2018·重庆巴蜀中学诊断]直线x＋（a2＋1）y＋1＝0的倾斜角的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
∪
D.
∪
答案 B
解析 依题意，直线的斜率k＝－
∈[－1,0），因此其倾斜角的取值范围是
.
（2）若经过两点A（4,2y＋1），B（2，－3）的直线的倾斜角为
，则y等于（ ）
A．－1B．－3C．0D．2
答案 B
解析 由k＝
＝tan
＝－1，得－4－2y＝2，所以y＝－3.
考向
求直线的方程
例 2 根据所给条件求直线的方程：
（1）直线过点（－4,0），倾斜角的正弦值为
；
（2）直线过点（－3,4），且在两坐标轴上的截距之和为12；
（3）与直线3x－4y－5＝0关于y轴对称．
解
（1）由题设知该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sinα＝
（0<α<π），
从而cosα＝±
，则k＝tanα＝±
，
故所求直线方程为y＝±
（x＋4），
即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.
（2）由题设知截距不为0，设直线方程为
＋
＝1，又直线过点（－3,4），从而
＋
＝1，解得a＝－4或a＝9.
故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.
（3）直线3x－4y－5＝0与y轴的交点为A
，所求直线过A
，且斜率k＝－
，所求直线方程为y＝－
x－
，即3x＋4y＋5＝0.
触类旁通
求直线方程的两种方法
（1）直接法：
根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论．
（2）待定系数法，即设定含有参数的直线方程，由条件列出方程（组），再求出参数，最后将其代入直线方程．
【变式训练2】 已知△ABC的三个顶点分别为A（－3,0），B（2,1），C（－2,3），求：
（1）BC边所在直线的方程；
（2）BC边上中线AD所在直线的方程；
（3）BC边的垂直平分线DE的方程．
解
（1）因为直线BC经过B（2,1）和C（－2,3）两点，由两点式得BC的方程为
＝
，即x＋2y－4＝0.
（2）设BC边的中点D的坐标为（x，y），
则x＝
＝0，y＝
＝2.
BC边的中线AD过点A（－3,0），D（0,2）两点，由截距式得AD所在直线方程为
＋
＝1，即2x－3y＋6＝0.
（3）由
（1）知直线BC的斜率k1＝－
，
则直线BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2.
由
（2）知点D的坐标为（0,2）．
可求出直线的点斜式方程为y－2＝2（x－0），即2x－y＋2＝0.
考向
直线方程的应用
例 3 [2018·无锡检测]已知直线l：
kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）．
（1）证明：
直线l过定点；
（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
解
（1）证明：
直线l的方程可化为y＝k（x＋2）＋1，故无论k取何值，直线l总过定点（－2,1）．
（2）直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，则
解得k的取值范围是[0，＋∞）．
（3）依题意，直线l在x轴上的截距为－
，在y轴上的截距为1＋2k，
∴A
，B（0,1＋2k）．
又－
<0且1＋2k>0，
∴k>0.故S＝
|OA||OB|＝
×
×（1＋2k）＝
≥
（4＋4）＝4，
当且仅当4k＝
，即k＝
时，取等号．故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.
触类旁通
直线方程综合问题的两大类型及解法
（1）与函数相结合的问题：
解决这类问题，一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x（或y）的函数，借助函数的性质解决．
（2）与方程、不等式相结合的问题：
一般是利用方程、不等式的有关知识（如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等）来解决．
【变式训练3】 已知直线l过点M（1,1），且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点．求：
（1）当|OA|＋|OB|取得最小值时，直线l的方程；
（2）当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，直线l的方程．
解
（1）设A（a,0），B（0，b）（a>0，b>0）．
设直线l的方程为
＋
＝1，则
＋
＝1，
所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝（a＋b）
＝2＋
＋
≥2＋2
＝4，当且仅当“a＝b＝2”时取等号，此时直线l的方程为x＋y－2＝0.
（2）设直线l的斜率为k，则k<0，
直线l的方程为y－1＝k（x－1），
则A
，B（0,1－k），
所以|MA|2＋|MB|2＝
2＋12＋12＋（1－1＋k）2＝2＋k2＋
≥2＋2
＝4.
当且仅当k2＝
，即k＝－1时取等号，此时直线l的方程为y－1＝－（x－1），即x＋y－2＝0.
核心规律
1.明确直线方程各种形式的适用条件
点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x、y轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．
2.求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系数法．
满分策略
1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．
2.根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性．
3.截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0，这是解题时容易忽略的一点.
板块三 启智培优·破译高考
易错警示系列12——都是漏掉“过原点”情况惹的祸
[2018·济南检测]求经过点P（2,3），并且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程．
错因分析 利用截距式方程求解时，忘记过原点的情况，而漏掉直线方程3x－2y＝0.
解 解法一：
（1）当截距为0时，直线l过点（0,0），（2,3），则直线l的斜率为k＝
＝
，
因此，直线l的方程为y＝
x，即3x－2y＝0.
（2）当截距不为0时，可设直线l的方程为
＋
＝1.
∵直线l过点P（2,3），∴
＋
＝1，∴a＝5，
∴直线l的方程为x＋y－5＝0.
综上可知，直线l的方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.
解法二：
由题意可知所求直线斜率存在，
则可设y－3＝k（x－2），且k≠0.
令x＝0，得y＝－2k＋3.
令y＝0，得x＝－
＋2.
于是－2k＋3＝－
＋2，解得k＝
或－1.
则直线l的方程为y－3＝
（x－2）或y－3＝－（x－2），
即直线l的方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.
答题启示 在选用直线方程时，常易忽视的情况有：
1选用截距式方程时忽视与坐标轴垂直和过原点的直线；
2选用点斜式与斜截式时忽视斜率不存在的情况；
3选用两点式方程时忽视与x轴垂直的情况及与y轴垂直的情况.
跟踪训练
过点（5,2），且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线方程是（ ）
A．2x＋y－12＝0
B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0
C．x－2y－1＝0
D．x＋2y－9＝0或2x－5y＝0
答案 D
解析 当直线经过坐标原点时，直线方程为y＝
x，即2x－5y＝0；当直线不经过坐标原点时，设直线方程为
＋
＝1，则
＋
＝1，
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