高三数学二轮复习重点保分题 题型专题十六直线与圆教师用书 理.docx

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高三数学二轮复习重点保分题题型专题十六直线与圆教师用书理

题型专题（十六）　直线与圆

[师说考点]

1．两条直线平行与垂直的判定

若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．

2．两个距离公式

（1）两平行直线l1：

Ax＋By＋C1＝0，l2：

Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝.

（2）点（x0，y0）到直线l：

Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝.

[典例]　

（1）“a＝－1”是“直线ax＋3y＋3＝0和直线x＋（a－2）y＋1＝0平行”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

[解析]　选C　依题意，直线ax＋3y＋3＝0和直线x＋（a－2）y＋1＝0平行的充要条件是解得a＝－1.

（2）直线l过点（2，2），且点（5，1）到直线l的距离为，则直线l的方程是（　　）

A．3x＋y＋4＝0B．3x－y＋4＝0

C．3x－y－4＝0D．x－3y－4＝0

[解析]　选C　由已知，设直线l的方程为y－2＝k（x－2），即kx－y＋2－2k＝0，所以＝，解得k＝3，所以直线l的方程为3x－y－4＝0.

求直线方程的2种方法

（1）直接法：

选用恰当的直线方程的形式，由题设条件直接求出方程中的系数，写出结果．

（2）待定系数法：

先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有待定系数，再由题设条件构建方程，求出待定系数．　　　　

[演练冲关]

1．已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线2x－y＝0和x＋ay＝0上，且线段AB的中点为P，则线段AB的长为（　　）

A．11B．10C．9D．8

解析：

选B　依题意，a＝2，P（0，5），由得即互相垂直的直线2x－y＝0和x＋ay＝0相交于点O（0，0），于是|AB|＝2|OP|＝10.故选B.

2．已知点P（3，2）与点Q（1，4）关于直线l对称，则直线l的方程为（　　）

A．x－y＋1＝0B．x－y＝0

C．x＋y＋1＝0D．x＋y＝0

解析：

选A　由题意知直线l与直线PQ垂直，所以kl＝－＝－＝1.又直线l经过PQ的中点（2，3），所以直线l的方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0.

3．过点P（－2，2）作直线l，使直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线l一共有（　　）

A．3条B．2条C．1条D．0条

解析：

选C　由题意可知直线l方程为＋＝1（a<0，b>0），于是解得－a＝b＝4，故满足条件的直线l一共有1条．故选C.

[师说考点]

1．圆的标准方程

当圆心为（a，b），半径为r时，其标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.

2．圆的一般方程

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以为圆心，为半径的圆．

[典例]　

（1）（2016·天津高考）已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M（0，）在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________．

[解析]　因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C（a，0），且a＞0，所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝＝，解得a＝2，

所以圆C的半径r＝|CM|＝＝3，

所以圆C的方程为（x－2）2＋y2＝9.

[答案]　（x－2）2＋y2＝9

（2）（2016·浙江高考）已知a∈R，方程a2x2＋（a＋2）y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．

[解析]　由二元二次方程表示圆的条件可得a2＝a＋2，解得a＝2或－1.当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋＝0，配方得＋（y＋1）2＝－＜0，不表示圆；

当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得（x＋2）2＋（y＋4）2＝25，则圆心坐标为（－2，－4），半径是5.

[答案]　（－2，－4）　5

求圆的方程的2种方法

（1）几何法：

通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程．

（2）代数法：

用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程．　　　　

[演练冲关]

1．已知三点A（1，0），B（0，），C（2，），则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（　　）

A.B.C.D.

解析：

选B　设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

∴∴

∴△ABC外接圆的圆心为，故△ABC外接圆的圆心到原点的距离为＝.

2．（2016·福建模拟）与圆C：

x2＋y2－2x＋4y＝0外切于原点，且半径为2的圆的标准方程为________．

解析：

所求圆的圆心在直线y＝－2x上，所以可设所求圆的圆心为（a，－2a）（a<0），又因为所求圆与圆C：

x2＋y2－2x＋4y＝0外切于原点，且半径为2，所以＝2，可得a2＝4，则a＝－2或a＝2（舍去）．所以所求圆的标准方程为（x＋2）2＋（y－4）2＝20.

答案：

（x＋2）2＋（y－4）2＝20

[师说考点]

判断直线与圆的位置关系的2种方法

（1）代数法：

将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：

Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离；

（2）几何法：

把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：

dr⇔相离．

[典例]　

（1）（2016·全国乙卷）设直线y＝x＋2a与圆C：

x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为________．

[解析]　圆C：

x2＋y2－2ay－2＝0化为标准方程为x2＋（y－a）2＝a2＋2，

所以圆心C（0，a），半径r＝，因为|AB|＝2，点C到直线y＝x＋2a，即x－y＋2a＝0的距离d＝＝，由勾股定理得＋＝a2＋2，解得a2＝2，

所以r＝2，所以圆C的面积为π×22＝4π.

[答案]　4π

（2）（2016·全国丙卷）已知直线l：

x－y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝________．

[解析]　如图所示，

∵直线AB的方程为x－y＋6＝0，

∴kAB＝，∴∠BPD＝30°，从而∠BDP＝60°.

在Rt△BOD中，∵|OB|＝2，∴|OD|＝2.

取AB的中点H，连接OH，则OH⊥AB，

∴OH为直角梯形ABDC的中位线，

∴|OC|＝|OD|，∴|CD|＝2|OD|＝2×2＝4.

[答案]　4

弦长问题的2种求解方法

（1）利用半径r，弦心距d，弦长l的一半构成直角三角形，结合勾股定理d2＋＝r2求解；

（2）若斜率为k的直线l与圆C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则|AB|＝|x1－x2|.　　　　

[演练冲关]

1．（2016·兰州模拟）已知直线ax＋y－1＝0与圆C：

（x－1）2＋（y＋a）2＝1相交于A，B两点，且△ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为（　　）

A.或－1B．－1C．1或－1D．1

解析：

选C　由题意得，圆心（1，－a）到直线ax＋y－1＝0的距离为，∴＝，解得a＝±1，故选C.

2．已知直线l：

x＋ay－1＝0（a∈R）是圆C：

x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点

A（－4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝（　　）

A．2B．4C．6D．2

解析：

选C　由于直线x＋ay－1＝0是圆C：

x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，∴圆心C（2，1）在直线x＋ay－1＝0上，∴2＋a－1＝0，∴a＝－1，∴A（－4，－1），∴|AC|2＝36＋4＝40.又r＝2，∴|AB|2＝40－4＝36.∴|AB|＝6.

3．（2016·山东高考）已知圆M：

x2＋y2－2ay＝0（a＞0）截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：

（x－1）2＋（y－1）2＝1的位置关系是（　　）

A．内切B．相交C．外切D．相离

解析：

选B　由题知圆M：

x2＋（y－a）2＝a2（a＞0），圆心（0，a）到直线x＋y＝0的距离d＝，所以2＝2，解得a＝2.圆M，圆N的圆心距|MN|＝，两圆半径之差为1，故两圆相交．

直线和圆与其他知识的交汇

高考对直线和圆的考查重在基础，多以选择题、填空题形式出现，将直线和圆与函数、不等式、平面向量、数列及圆锥曲线、概率等知识交汇，体现命题创新．

[典例]　已知不等式组表示平面区域Ω，过区域Ω中的任意一个点P，作圆x2＋y2＝1的两条切线且切点分别为A，B，当四边形PAOB的面积最小时，cos∠APB的值为（　　）

A.B.C.D.

[解析]　选B作出平面区域Ω和单位圆x2＋y2＝1，l：

x＋y－2＝0，

数形结合可得S四边形PAOB＝2S△PAO＝2××PA×1＝PA.

∴当P到原点距离最小时，四边形PAOB的面积最小，此时PO⊥l，且|PO|＝2，故∠APO＝，∴∠APB＝，cos∠APB＝.

求解与圆有关最值问题常用转化与化归思想，常见类型有：

（1）圆外一点与圆上任一点间距离的最值；

（2）直线与圆相离，圆上的点到直线的距离的最值；

（3）直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值问题；

（4）形如求ax＋by，等的最值，转化为直线与圆的位置关系．　　　　

[演练冲关]

1．（2016·长沙长郡中学检测）已知两圆x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0和x2＋y2－4by－1＋4b2＝0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R且ab≠0，则＋的最小值为（　　）

A．1B．3C.D.

解析：

选A　x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0⇒（x＋a）2＋y2＝4，x2＋y2－4by－1＋4b2＝0⇒x2＋（y－2b）2＝1，由题意得两圆外切，所以a2＋4b2＝（2＋1）2＝9，因此＋＝＝

≥（5＋2）＝1，当且仅当a2＝2b2时取等号，所以＋的最小值为1，选A.

2．已知集合A＝，若k∈Z，且k∈A，使得过点B（1，1）的任意直线与圆x2＋y2＋kx－2y－k＝0总有公共点的概率为________．

解析：

由题意知A＝[－1，2），又k2＋4＋k>0总成立，k∈Z，且k∈A，所以k有－1，0，1三个值，过点B（1，1）的任意直线与圆x2＋y2＋kx－2y－k＝0总有公共点，即点B（1，1）在圆上或圆内，即2＋k－2－k≤0，得k≤0，即k有－1，0两个值，由古典概型的概率公式知所求概率为.

答案：

一、选择题

1．（2016·福建厦门联考）“C＝5”是“点（2，1）到直线3x＋4y＋C＝0的距离为3”的（　　）　　　　　　　　　　

A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析：

选B　点（2，1）到直线3x＋4y＋C＝0的距离为3等价于＝3，解得C＝5或C＝－25，所以“C＝5”是“点（2，1）到直线3x＋4y＋C＝0的距离为3”的充分不必要条件，故选B.

2．（2016·全国甲卷）圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝（　　）

A．－B．－

C.D．2

解析：

选A　因为圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心坐标为（1，4），所以圆心到直线ax＋y－1＝0的距离d＝＝1，解得a＝－.

3．（2016·山西运城二模）已知圆（x－2）2＋（y＋1）2＝16的一条直径通过直线x－2y＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为（　　）

A．3x＋y－5＝0B．x－2y＝0

C．x－2y＋4＝0D．2x＋y－3＝0

解析：

选D　直线x－2y＋3＝0的斜率为，已知圆的圆心坐标为（2，－1），该直径所在直线的斜率为－2，所以该直径所在的直线方程为y＋1＝－2（x－2），即2x＋y－3＝0，故选D.

4．圆心在曲线y＝（x>0）上，与直线2x＋y＋1＝0相切，且面积最小的圆的方程为（　　）

A．（x－2）2＋（y－1）2＝25

B．（x－2）2＋（y－1）2＝5

C．（x－1）2＋（y－2）2＝25

D．（x－1）2＋（y－2）2＝5

解析：

选D　设圆心坐标为C（a>0），则半径r＝≥＝，当且仅当2a＝，即a＝1时取等号．所以当a＝1时圆的半径最小，此时r＝，C（1，2），所以面积最小的圆的方程为（x－1）2＋（y－2）2＝5.

5．（2016·福州模拟）已知圆O：

x2＋y2＝4上到直线l：

x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，则a的取值范围为（　　）

A．（－3，3）

B．（－∞，－3）∪（3，＋∞）

C．（－2，2）

D．[－3，3]

解析：

选A　由圆的方程可知圆心为O（0，0），半径为2，因为圆上的点到直线l的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l的距离d<2＋1＝3，即d＝＝<3，解得a∈（－3，3），故选A.

6．（2016·河北五校联考）已知点P的坐标（x，y）满足过点P的直线l与圆C：

x2＋y2＝14相交于A，B两点，则|AB|的最小值是（　　）

A．2B．4C.D．2

解析：

选B　根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，设点P到圆心的距离为d，则求最短弦长，等价于求到圆心的距离最大的点，即为图中的P点，其坐标为（1，3），则d＝＝，此时|AB|min＝2＝4，故选B.

二、填空题

7．（2016·山西五校联考）过原点且与直线x－y＋1＝0平行的直线l被圆x2＋（y－）2＝7所截得的弦长为________．

解析：

由题意可得l的方程为x－y＝0，∵圆心（0，）到l的距离为d＝1，∴所求弦长＝2＝2＝2.

答案：

2

8．已知f（x）＝x3＋ax－2b，如果f（x）的图象在切点P（1，－2）处的切线与圆（x－2）2＋（y＋4）2＝5相切，那么3a＋2b＝________．

解析：

由题意得f

（1）＝－2⇒a－2b＝－3，又∵f′（x）＝3x2＋a，∴f（x）的图象在点P（1，

－2）处的切线方程为y＋2＝（3＋a）（x－1），即（3＋a）x－y－a－5＝0，∴＝⇒a＝－，∴b＝，∴3a＋2b＝－7.

答案：

－7

9．（2016·河南焦作一模）著名数学家华罗庚曾说过：

“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：

可以转化为平面上点M（x，y）与点N（a，b）的距离．结合上述观点，可得f（x）＝＋的最小值为________．

解析：

∵f（x）＝＋＝＋，∴f（x）的几何意义为点M（x，0）到两定点A（－2，4）与B（－1，3）的距离之和，设点A（－2，4）关于x轴的对称点为A′，则A′为（－2，－4）．要求f（x）的最小值，可转化为|MA|＋|MB|的最小值，利用对称思想可知|MA|＋|MB|≥|A′B|＝＝5，即f（x）＝＋的最小值为5.

答案：

5

三、解答题

10．（2015·全国卷Ⅰ）已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：

（x－2）2＋（y－3）2＝1交于M，N两点．

（1）求k的取值范围；

（2）若

＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.

解：

（1）由题设可知直线l的方程为y＝kx＋1.

因为直线l与圆C交于两点，所以<1，

解得

所以k的取值范围为.

（2）设M（x1，y1），N（x2，y2）．

将y＝kx＋1代入方程（x－2）2＋（y－3）2＝1，

整理得（1＋k2）x2－4（1＋k）x＋7＝0.

所以x1＋x2＝，x1x2＝.

＝x1x2＋y1y2＝（1＋k2）x1x2＋k（x1＋x2）＋1＝＋8.

由题设可得＋8＝12，解得k＝1，

所以直线l的方程为y＝x＋1.

故圆心C在直线l上，所以|MN|＝2.

11．已知点P（2，2），圆C：

x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．

（1）求M的轨迹方程；

（2）当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．

解：

（1）圆C的方程可化为x2＋（y－4）2＝16，

所以圆心为C（0，4），半径为4.

设M（x，y），则

＝（x，y－4），

＝（2－x，2－y）．

由题设知

·

＝0，

故x（2－x）＋（y－4）（2－y）＝0，即（x－1）2＋（y－3）2＝2.

由于点P在圆C的内部，

所以M的轨迹方程是（x－1）2＋（y－3）2＝2.

（2）由

（1）可知M的轨迹是以点N（1，3）为圆心，为半径的圆．

由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM.

因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－，

故l的方程为y＝－x＋.

又|OM|＝|OP|＝2，O到l的距离d为，

所以|PM|＝2＝，

所以△POM的面积为S△POM＝|PM|d＝.

12．（2016·湖南东部六校联考）已知直线l：

4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．

（1）求圆C的方程；

（2）过点M（1，0）的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？

若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

解：

（1）设圆心C（a，0），则＝2⇒a＝0或a＝－5（舍）．

所以圆C：

x2＋y2＝4.

（2）当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB.

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k（x－1），N（t，0），A（x1，y1），B（x2，y2），

由得（k2＋1）x2－2k2x＋k2－4＝0.

所以x1＋x2＝，x1x2＝.

若x轴平分∠ANB，则kAN＝－kBN⇒＋＝0⇒＋＝0⇒2x1x2－（t＋1）（x1＋x2）＋2t＝0⇒－＋2t＝0⇒t＝4，

所以当点N为（4，0）时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立．