实验二 动态规划算法.docx
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实验二动态规划算法
实验二动态规划算法
基本题一：
最长公共子序列问题
一、实验目的与要求
1、熟悉最长公共子序列问题的算法；
2、初步掌握动态规划算法；
二、实验题
若给定序列X={x1,x2,…,xm}，则另一序列Z={z1,z2,…,zk}，是X的子序列是指存在一个严格递增下标序列{i1,i2,…,ik}使得对于所有j=1,2,…,k有：
zj=xij。
例如，序列Z={B，C，D，B}是序列X={A，B，C，B，D，A，B}的子序列，相应的递增下标序列为{2，3，5，7}。
给定2个序列X和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时，称Z是序列X和Y的公共子序列。
给定2个序列X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}，找出X和Y的最长公共子序列。
三．
（1）实验源代码:
//最长公共子序问题:
//问题描述:
若给定序列X={x1,x2,…,xm}，则另一序列Z={z1,z2,…,zk}，
//是X的子序列是指存在一个严格递增下标序列{i1,i2,…,ik}使得对于所有j=1,2,…,k有：
zj=xij。
//例如，序列Z={B，C，D，B}是序列X={A，B，C，B，D，A，B}的子序列，相应的递增下标序列为{2，3，5，7}。
//给定2个序列X和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时，称Z是序列X和Y的公共子序列。
//给定2个序列X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}，找出X和Y的最长公共子序列。
#include
usingnamespacestd;
#definemax1000
//注意：
这里使用的char数组，可以按字符输出，若改为string类型，
//执行printf（"%c",A[m-1]）就会报错;
charA[100],B[100];//输入的两个串a和b
//这里定义全局变量可以不赋值0，因为全局变量自动赋值0;
intc[max][max];//记录最长公共子序的长度；
intb[max][max];//记录状态号;
voidLCS（intm,intn）
{
if（m==0||n==0）
{
return;
}
elseif（b[m][n]==1）
{
LCS（m-1,n-1）;
printf（"%c",A[m-1]）;
}
elseif（b[m][n]==2）
{
m=m-1;
LCS（m,n）;
}
elseif（b[m][n]==3）
{
n=n-1;
LCS（m,n）;
}
}
voidLCS_length（intm,intn）
{
for（inti=1;i<=m;i++）
{
for（intj=1;j<=n;j++）
{
if（A[i-1]==B[j-1]）
{
c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;
b[i][j]=1;
}
elseif（c[i-1][j]>=c[i][j-1]）
{
c[i][j]=c[i-1][j];
b[i][j]=2;
}
else
{
c[i][j]=c[i][j-1];
b[i][j]=3;
}
}
}
}
intmain（）
{
printf（"请输入两个待测的字符串:
\n"）;
scanf（"%s",&A）;
scanf（"%s",&B）;
intm=strlen（A）;//m为A串长度；
intn=strlen（B）;//n为B串长度;
LCS_length（m,n）;
printf（"其最长公共子序的长度为:
%d\n",c[m][n]）;
printf（"其最长公共子序为:
"）;
LCS（m,n）;
return0;
}
（2）运行结果为:
（3）算法思路:
最长公共子序列的结构有如下表示：
设序列X=和Y=的一个最长公共子序列Z=，则：
1.若xm=yn，则zk=xm=yn且Zk-1是Xm-1和Yn-1的最长公共子序列；
2.若xm≠yn且zk≠xm，则Z是Xm-1和Y的最长公共子序列；
3.若xm≠yn且zk≠yn ，则Z是X和Yn-1的最长公共子序列。
其中Xm-1=，Yn-1=，Zk-1=。
基本题二：
最大字段和问题
一、实验目的与要求
1、熟悉最长最大字段和问题的算法；
2、进一步掌握动态规划算法；
二、实验题
若给定n个整数组成的序列a1，a2，a3，……an，求该序列形如ai＋ai＋1＋……＋an的最大值。
三，实验源代码:
#include
#definemax1000
usingnamespacestd;
intN;//表示一个数组的长度值;
intdp[max];//记录以i为结尾的最大子段和;
//通过dp数组记录最优下标的start和end;
voidMaxsum（inta[]）
{
intmaxx=0;
intend,start;
for（inti=1;i<=N;i++）
{
if（dp[i-1]>0）
{
dp[i]=dp[i-1]+a[i];
}
else
{
dp[i]=a[i];
}
if（maxx<=dp[i]）
{
maxx=dp[i];
end=i;
}
}
start=end;
inti;
for（i=start-1;i>=0;i--）
{
if（dp[i]>=0）
{
start=i;
}
else
{
break;
}
}
i++;
start=i;
printf（"MaxSum:
%d\n",dp[end]）;
printf（"Beststart:
%d\n",start）;
printf（"Bestend:
%d\n",end）;
}
intmain（）
{
printf（"请输入一组数据的元素个数:
"）;
scanf（"%d",&N）;
int*a=newint[N+1];
printf（"请输入元素的值:
"）;
for（inti=1;i<=N;i++）
{
scanf（"%d",&a[i]）;
}
Maxsum（a）;
deletea;
return0;
}
（2）运行结果:
（3）算法思路:
其实，我们在选择一个元素a[j]的时候，只有两种情况，将a[i]至a[j-1]加上，或者从a[j]以j为起点开始。
我们用一个数组dp[i]表示以i为结束的最大子段和，对于每一个a[i]，加上dp[i-1]成为子段，或以a[i]开始成为新段的起点。
因为我们只需要记录dp值，所以复杂度是O（n）。
这就是最大子段和的动态规划算法。
我们甚至不需要dp数组，只需要定义一个dp变量，因为最后要求的dp值也是最大的，所以我们可以在求dp的时候更新为最大的。
提高题一：
用动态规划法求解0/1背包问题
一、实验要求与目的
1、掌握动态规划算法求解问题的一般特征和步骤。
2、使用动态规划法编程，求解0/1背包问题。
二、实验内容
1、问题描述：
给定n种物品和一个背包，物品i的重量是Wi，其价值为Vi，问如何选择装入背包的物品，使得装入背包的物品的总价值最大？
2、算法描述。
3、程序实现；给出实例测试结果。
三.
（1）实验源代码:
//用动态规划的方法求解0/1背包问题
//要求:
//input:
n表示总共有n种物品
//W表示每种物品的重量
//V表示每种物品的价值
//c表示背包的容量
#include
usingnamespacestd;
intn,c;
intdp[1005][1005];
voidKnapsack（intV[],intW[],intc,intn,intdp[][1005]）
{
inti,j;
intjMax=min（W[n]-1,c）;//这里必须是W[n]-1,否则，在W[n-1]时刻也是合法情况;
for（j=0;j<=jMax;j++）
{
dp[n][j]=0;//i=n,j}
for（j=W[n];j<=c;j++）
{
dp[n][j]=V[n];
}
for（i=n-1;i>1;i--）
{
jMax=min（W[i]-1,c）;
for（j=0;j<=jMax;j++）
{
dp[i][j]=dp[i+1][j];//若小于当前的背包容量，则不装入;
}
for（j=W[i];j<=c;j++）
{
dp[i][j]=max（dp[i+1][j],dp[i+1][j-W[i]]+V[i]）;//比较装入的代价，谋求最大代价;
}
}
dp[1][c]=dp[2][c];
if（c>=W[1]）
{
dp[1][c]=max（dp[1][c],dp[2][c-W[1]]+V[1]）;
}
}
voidTraceback（intdp[][1005],intW[],intc,intn,intx[]）
{
//x数组用来存放是否第i个元素被装栽进来
for（inti=1;i{
if（dp[i][c]==dp[i+1][c]）
{
x[i]=0;
}
else
{
x[i]=1;
c=c-W[i];
}
}
x[n]=（dp[n][c]）?
1:
0;
for（inti=1;i<=n;i++）
{
if（x[i]==1）
{
printf（"第%d个物品装入\n",i）;
}
}
}
intmain（）
{
printf（"请输入物品的数量和背包的容量:
"）;
scanf（"%d%d",&n,&c）;
int*W=newint[n];
int*V=newint[n];
int*x=newint[n];
W[0]=0,V[0]=0,x[0]=0;
printf（"请输入每个物品的重量:
\n"）;
for（inti=1;i<=n;i++）
{
scanf（"%d",&W[i]）;
}
printf（"请输入每个物品的价值:
\n"）;
for（inti=1;i<=n;i++）
{
scanf（"%d",&V[i]）;
}
Knapsack（V,W,c,n,dp）;
Traceback（dp,W,c,n,x）;
return0;
}
（2）运行结果:
（3）算法思路：
令V（i,j）表示在前i（1<=i<=n）个物品中能够装入容量为就j（1<=j<=C）的背包中的物品的最大价值，则可以得到如下的动态规划函数:
（1） V（i,0）=V（0,j）=0
（2） V（i,j）=V（i-1,j） j V（i,j）=max{V（i-1,j）,V（i-1,j-wi）+vi）}j>wi
（1）式表明：
如果第i个物品的重量大于背包的容量，则装人前i个物品得到的最大价值和装入前i-1个物品得到的最大价是相同的，即物品i不能装入背包；第
（2）个式子表明:
如果第i个物品的重量小于背包的容量，则会有一下两种情况：
（a）如果把第i个物品装入背包，则背包物品的价值等于第i-1个物品装入容量位j-wi 的背包中的价值加上第i个物品的价值vi; （b）如果第i个物品没有装入背包，则背包中物品价值就等于把前i-1个物品装入容量为j的背包中所取得的价值。
显然，取二者中价值最大的作为把前i个物品装入容量为j的背包中的最优解。
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