高数一全套公式.docx
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高数一全套公式
初等数学基础知识
一、三角函数
1．公式
同角三角函数间的基本关系式：
·平方关系：
sin^2（α）+cos^2（α）=1; tan^2（α）+1=sec^2（α）;cot^2（α）+1=csc^2（α）
·商的关系：
tanα=sinα/cosα cotα=cosα/sinα
·倒数关系：
tanα·cotα=1; sinα·cscα=1; cosα·secα=1
三角函数恒等变形公式：
·两角和与差的三角函数：
cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin（α±β）=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan（α+β）=（tanα+tanβ）/（1-tanα·tanβ）
tan（α-β）=（tanα-tanβ）/（1+tanα·tanβ）
倍角公式：
sin（2α）=2sinα·cosα
cos（2α）=cos^2（α）-sin^2（α）=2cos^2（α）-1=1-2sin^2（α）
tan（2α）=2tanα/[1-tan^2（α）]
·半角公式：
sin^2（α/2）=（1-cosα）/2
cos^2（α/2）=（1+cosα）/2
tan^2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）
tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα
·万能公式：
sinα=2tan（α/2）/[1+tan^2（α/2）]
cosα=[1-tan^2（α/2）]/[1+tan^2（α/2）]
tanα=2tan（α/2）/[1-tan^2（α/2）]
·积化和差公式：
sinα·cosβ=（1/2）[sin（α+β）+sin（α-β）]
cosα·sinβ=（1/2）[sin（α+β）-sin（α-β）]
cosα·cosβ=（1/2）[cos（α+β）+cos（α-β）]
sinα·sinβ=-（1/2）[cos（α+β）-cos（α-β）]
·和差化积公式：
sinα+sinβ=2sin[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]
sinα-sinβ=2cos[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]
cosα+cosβ=2cos[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]
cosα-cosβ=-2sin[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]
2．特殊角的三角函数值
0
1
0
0
1
0
1
不存在
不存在
1
0
只需记住这两个特殊的直角三角形的边角关系，依照三角函数的定义即可推出上面的三角值。
3诱导公式：
函数
角A
sin
cos
tg
ctg
-α
-sinα
cosα
-tgα
-ctgα
90°-α
cosα
sinα
ctgα
tgα
90°+α
cosα
-sinα
-ctgα
-tgα
180°-α
sinα
-cosα
-tgα
-ctgα
180°+α
-sinα
-cosα
tgα
ctgα
270°-α
-cosα
-sinα
ctgα
tgα
270°+α
-cosα
sinα
-ctgα
-tgα
360°-α
-sinα
cosα
-tgα
-ctgα
360°+α
sinα
cosα
tgα
ctgα
记忆规律：
竖变横不变（奇变偶不变），符号看象限（一全，二正弦割，三切，四余弦割
即第一象限全是正的，第二象限正弦、正割是正的，第三象限正切是正的，第四象限余弦、余割是正的）
二、一元二次函数、方程和不等式
无实根
三、因式分解与乘法公式
四、等差数列和等比数列
五、常用几何公式
平面图形
名称
符号
周长C和面积S
正方形
a—边长
C＝4a
S＝a2
长方形
a和b－边长
C＝2（a+b）
S＝ab
三角形
a,b,c－三边长
h－a边上的高
s－周长的一半
A,B,C－内角
其中s＝（a+b+c）/2
S＝ah/2
＝ab/2·sinC
＝[s（s-a）（s-b）（s-c）]1/2
＝a2sinBsinC/（2sinA）
平行四边形
a,b－边长
h－a边的高
α－两边夹角
S＝ah
＝absinα
菱形
a－边长
α－夹角
D－长对角线长
d－短对角线长
S＝Dd/2
＝a2sinα
梯形
a和b－上、下底长
h－高
m－中位线长
S＝（a+b）h/2
＝mh
圆
r－半径
d－直径
C＝πd＝2πr
S＝πr2
＝πd2/4
扇形
r—扇形半径
a—圆心角度数
C＝2r＋2πr×（a/360）
S＝πr2×（a/360）
圆环
R－外圆半径
r－内圆半径
D－外圆直径
d－内圆直径
S＝π（R2-r2）
＝π（D2-d2）/4
椭圆
D－长轴
d－短轴
S＝πDd/4
立方图形
名称
符号
表面积S和体积V
正方体
a－边长
S＝6a2
V＝a3
长方体
a－长
b－宽
c－高
S＝2（ab+ac+bc）
V＝abc
圆柱
r－底半径
h－高
C—底面周长
S底—底面积
S侧—侧面积
S表—表面积
C＝2πr
S底＝πr2
S侧＝Ch
S表＝Ch+2S底=Ch+2πr2
V＝S底h ＝πr2h
圆锥
r－底半径
h－高
V＝πr2h/3
球
r－半径
d－直径
V＝4/3πr3
＝πd3/6
S=4πr2
＝πd2
基本初等函数
名称
表达式
定义域
图形
特性
常
数
函
数
y
C
0x
幂
函
数
随
而异，但在
上
均有定义
过点（1，1）;
时在
单增；
时在
单减．
指
数
函
数
．
过点
．
单增．
单减．
对
数
函
数
过点
．
单增．
单减．
正
弦
函
数
奇函数．
．
．
余
弦
函
数
偶函数．
．
．
正
切
函
数
奇函数．
．
在每个周期
内单增
余
切
函
数
奇函数．
．
在每个周期
内单减．
反
正
弦
函
数
奇函数．
单增．
．
反
余
弦
函
数
单减．
．
反
正
切
函
数
奇函数．
单增．
．
反
余
切
函
数
单减．
．
极限的计算方法
一、初等函数：
二、分段函数：
基本初等函数的导数公式
（1）
，
是常数
（2）
（3）
，特别地，当
时，
（4）
，特别地，当
时，
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
（13）
（14）
基本初等函数的微分公式
（1）、
（
为常数）；
（2）、
（
为任意常数）；
（3）、
，特别地，当
时，
；
（4）、
，特别地，当
时，
；
（5）、
；
（6）、
；
（7）、
；
（8）、
；
（9）、
；
（10）、
；
（11）、
；
（12）、
；
（13）、
；
（14）、
．
曲线的切线方程
幂指函数的导数
极限、可导、可微、连续之间的关系
条件A
条件B，A为B的充分条件
条件B
条件A，A为B的必要条件
条件A
条件B，A和B互为充分必要条件
边际分析
边际成本MC=
；边际收益MR=
；
边际利润ML=
，
=MR—MC
弹性分析
在点
处的弹性，
特别的，需求价格弹性：
罗尔定理
若函数
满足：
（1）在闭区间
连续；
（2）在开区间
可导；
（3）
，则在
内至少存在一点
，使
．
拉格朗日定理
设函数
满足:
（1）在闭区间
连续；
（2）在开区间
可导，
则在
上至少存在一点
，使得
．
基本积分公式
（1）
（2）
特别地：
（3）
（4）
（有时绝对值符号也可忽略不写）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
（13）
（或
）
（14）
（或
）
（15）
，
（16）
，
（17）
，
（18）
，
（19）
，
，
（20）
，
，
（21）
，
，
（22）
，
．
常用凑微分公式
（1）、
（2）、
（3）、
（4）、
（5）、
（6）、
（7）、
（8）、
（9）、
（10）、
（11）、
（12）、
一阶线性非齐次微分方程
的通解为
平面图形面积的
计算公式
1）区域D由连续曲线
和直线x=a,x=b围成,其中
（右图）
2）区域D由连续曲线
和直线x=c,x=d围成,其中
（右图）
平面图形绕旋转轴旋转得到的旋转体体积公式
1、绕x轴的旋转体体积（右图）
注意：
此时的曲边梯形必须紧贴旋转轴．
2、绕y轴的旋转体体积（右图）
注意：
此时的曲边梯形必须紧贴旋转轴．
由边际函数求总函数
总利润函数为
。
多元复合函数的导数公式
设函数u=φ（x,y）、v=ψ（x,y）在点（x，y）有偏导数，函数z=f（u,v）在对应点（u,v）处可微，则复合函数z=f（φ（x,y）,ψ（x,y））在点（x，y）的偏导数
两个特例：
z=f（u,v），
：
z=f（u），u=u（x,y）：
隐函数导数公式
二元方程
所确定的隐函数：
三元方程F（x,y,z）=0所确定的二元隐函数：
，
1.确定函数定义域的主要依据：
（1）当f（x）是整式时，定义域为R；
（2）当f（x）是分式时，定义域是使分母不等于0的x取值的集合；
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