初中数学几何经典模型.docx
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初中数学几何经典模型
初中数学几何模型
中点模型
【模型1】倍长
1、倍长中线;2、倍长类中线;3、中点遇平行延长相交
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【模型2】遇多个中点,构造中位线
1、直接连接中点;2、连对角线取中点再相连
【例1】在菱形ABCD和正三角形BEF中,∠ABC=60°,G是DF的中点,连接GC、GE.
(1)如图1,当点E在BC边上时,若AB=10,BF=4,求GE的长;
(2)如图2,当点F在AB的延长线上时,线段GC、GE有怎样的数量和位置关系,写出你的猜想;并给予证明;
(3)如图3,当点F在CB的延长线上时,
(2)问中关系还成立吗?
写出你的猜想,并给予证明.
【例2】如图,在菱形ABCD中,点E、F分别是BC、CD上一点,连接DE、EF,且AE=AF,.
(1)求证:
CE=CF;
(2)若,点G是线段AF的中点,连接DG,EG.求证:
DG上GE.
【例3】如图,在四边形ABCD中,AB=CD,E、F分别为BC、AD中点,BA交EF延长线于G,CD交EF于H.求证:
∠BGE=∠CHE.
角平分线模型
【模型1】构造轴对称
【模型2】角平分线遇平行构造等腰三角形
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【例4】如图,平行四边形ABCD中,AE平分∠BAD交BC边于E,EF⊥AE交CD边于F,交AD边于H,延长BA到点G,使AG=CF,连接GF.若BC=7,DF=3,EH=3AE,则GF的长为.
手拉手模型
【条件】
【结论】
导角核心图形:
八字形
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【例5】如图,正方形ABCD的边长为6,点O是对角线AC、BD的交点,点E在CD上,且DE=2CE,过点C作CF⊥BE,垂足为F,连接OF,则OF的长为 .
【例6】如图,中,,AB=AC,AD⊥BC于点D,点E在AC边上,连结BE,AG⊥BE于F,交BC于点G,求
【例7】如图,在边长为的正方形ABCD中,E是AB边上一点,G是AD延长线上一点,BE=DG,连接EG,CF⊥EG于点H,交AD于点F,连接CE、BH。
若BH=8,则FG=
邻边相等对角互补模型
【模型1】
【条件】如图,四边形ABCD中,AB=AD,
【结论】AC平分
【模型2】
【条件】如图,四边形ABCD中,AB=AD,
【结论】
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【例8】如图,矩形ABCD中,AB=6,AD=5,G为CD中点,DE=DG,FG⊥BE于F,则DF为.
【例9】如图,正方形ABCD的边长为3,延长CB至点M,使BM=1,连接AM,过点B作,垂足为N,O是对角线AC、BD的交点,连接ON,则ON的长为.
【例10】如图,正方形ABCD的面积为64,是等边三角形,F是CE的中点,AE、BF交于点G,则DG的长为.
半角模型
【模型1】
【条件】如图,四边形ABCD中,AB=AD,,
【结论】
【模型2】
【条件】在正方形ABCD中,已知E、F分别是边BC、CD上的点,且满足∠EAF=45°,AE、AF分别与对角线BD交于点M、N.
【结论】
(1)BE+DF=EF;
(2)S△ABE+S△ADF=S△AEF;(3)AH=AB;(4)C△ECF=2AB;
(5)BM2+DN2=MN2;
(6)△ANM∽△DNF∽△BEM∽△AEF∽△BNA∽△DAM;
(由AO:
AH=AO:
AB=1:
可得到△ANM和△AEF的相似比为1:
);
(7)S△AMN=S四边形MNFE;(8)△AOM∽△ADF,△AON∽△ABE;
(9)△AEN为等腰直角三角形,∠AEN=45°;△AFM为等腰直角三角形,∠AFM=45°.
(1.∠EAF=45°;2.AE:
AN=1:
);
(10)A、M、F、D四点共圆,A、B、E、N四点共圆,M、N、F、C、E五点共圆.
【模型2变型】
【条件】在正方形ABCD中,已知E、F分别是边CB、DC延长线上的点,且满足∠EAF=45°
【结论】BE+EF=DF
【模型2变型】
【条件】在正方形ABCD中,已知E、F分别是边CB、DC延长线上的点,且满足∠EAF=45°
【结论】DF+EF=BE
【例11】如图,和是两个全等的等腰直角三角形,,的顶点E与的斜边BC的中点重合.将绕点E旋转,旋转过程中,线段DE与线段AB相交于点P,射线EF与线段AB相交于点G,与射线CA相交于点Q.若AQ=12,BP=3,则PG=.
【例12】如图,在菱形ABCD中,AB=BD,点E、F分别在AB、AD上,且AE=DF.连接BF与DE交于点G,连接CG与BD交于点H,若CG=1,则.
一线三等角模型
【条件】
【结论】
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【例13】如图,正方形ABCD中,点E、F、G分别为AB、BC、CD边上的点,EB=3,GC=4,连接EF、FG、GE恰好构成一个等边三角形,则正方形的边长为.
最短路径模型
【两点之间线段最短】
1、将军饮马
2、费马点
【垂线段最短】
【两边之差小于第三边】
【例16】
如图,矩形是一个长为1000米,宽为600米的货场,、是入口.现拟在货场内建一个收费站,在铁路线段上建一个发货站台,设铺设公路、以及之长度和为.求的最小值.
【例17】
如图,E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点,满足AE=DF,连接CF交BD于G,连接BE交AG于点H,若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是.
【例18】
如图所示,在矩形ABCD中,,E是线段AB的中点,F是线段BC上的动点,沿直线EF翻折到,连接,最短为.
《三垂直模型》
课后练习题
【练习1】如图,以正方形的边为斜边在正方形内作直角三角形,,、交于。
已知、的长分别为3cm、5cm,求三角形的面积.
【练习2】
问题1:
如图1,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=BC=CD,点M,N分别在AD,CD上,∠MBN=∠ABC,试探究线段MN,AM,CN有怎样的数量关系?
请直接写出你的猜想;
问题2:
如图2,在四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC+∠ADC=180°,点M,N分别在DA,CD的延长线上,若∠MBN=∠ABC仍然成立,请你进一步探究线段MN,AM,CN又有怎样的数量关系?
写出你的猜想,并给予证明.
【练习3】已知:
如图1,正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.
⑴求证:
EG=CG且EG⊥CG;
⑵将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45º,如图2所示,取DF中点G,连接EG,CG.问⑴中的结论是否仍然成立?
若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
⑶将图1中△BEF绕B点旋转任意角度,如图3所示,再连接相应的线段,问
(1)中的结论是否仍然成立?