全国中考数学真题分类汇编直角三角形勾股定理及参考答案doc.docx
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全国中考数学真题分类汇编直角三角形勾股定理及参考答案doc
一、选择题
1．（2019·广元）如图,△ABC中,∠ABC＝90°,BA＝BC＝2,将△ABC绕点C逆时针旋
转60°得到
2
△DEC,连接BD,则BD的值是________
【答案】843
【解析】连接AD,过点D作DM⊥BC于点M,DN⊥AC于点N,易得△ACD是等边三角形,四边形BNDM是正方形,设CM＝x,则DM＝MB＝x+2,∵BC＝2,∴CD＝AC＝22,∴在Rt
△MCD中,由勾股定理可求得,x＝
31,DM＝MB＝
2
2
2
31,∴在Rt△BDM中,BD
＝MD+MB
＝843.
2．（2019·绍兴）如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面
上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱长进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口
边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（）
A.24
B.
32
C.
12
34
D.
20
34
17
17
5
5
【答案】A
【解析】如图所示：
设DM＝x，则CM＝8﹣x，
根据题意得：
（8﹣x+8）×3×3＝3×3×5，
解得：
x＝4，∴DM＝6，
∵∠D＝90°，由勾股定理得：
BM＝BD2DM24232＝5，
过点B作BH⊥AH，∵∠HBA+∠ABM＝∠ABM+∠ABM＝90°，
∴∠HBA+＝∠ABM，所以Rt△ABH∽△MBD，
∴BHBD，即BH3，解得BH＝24，即水面高度为24．
ABBM8555
3．（2019·益阳）已知M、N是线段AB上的两点，AM=MN=2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC、BC，则△ABC一定是（）
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形
【答案】B
【解析】如图所示，
∵AM=MN=2，NB＝1，
∴AB=AM=MN+NB＝2+2+1=5，AC=AN=AM+MN=2+2=4，BC=BM=BN+MN1+2=3，
∴AB2
52
25，AC2
42
16，BC2
32
9,
∴AC2BC2AB2，
∴△ABC是直角三角形.
4．（2019·广元）如图,在正方形ABCD的对角线AC上取一点E.使得∠CDE＝15°,连
接BE并延长
BE到F,使CF＝CB,BF与CD相交于点H,若AB＝1,有下列结论:
①BE＝DE;②CE+DE＝
EF;③S＝
1
3
④
DH
231.则其中正确的结论有（）
△DEC
4
12
HC
A.①②③B.①②③④C.①②④D.①③④
【答案】A
【解析】①利用正方形的性质,易得△BEC≌△DEC,∴BE＝DE,①正确;②在EF上取一
点G,使CG＝CE,∵∠CEG＝∠CBE+∠BCE＝60°,∴△CEG为等边三角形,易得△DEC≌
△FGC,CE+DE＝EG+GF＝EF,②正确;③过点D作DM⊥AC于点M,S△DEC＝S△DMC－S△DME＝
1
3,③正确;④tan∠HBC＝2－
3,∴HC＝2－
3,DH＝1－HC＝3－1,∴
4
12
DH
3+1,④错误.故选A.
HC
5.（2019·宁波）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图1,以直角三角形的各边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出
A.直角三角形的面积B.最大正方形的面积
C.较小两个正方形重叠部分的面积D.最大正方形与直角三角形的
面积和
【答案】C
【解题过程】设图中三个正方形边长从小到大依次为
:
a,b,c,
则S阴影＝c2－a2－
b2+b（a+b－c）,
由勾股定理可知
c
2＝a2－b2,∴S阴影＝c2－a2－b2+S重叠＝S重叠,
即
S阴
影＝S重叠,故选C.
6.（2019·重庆B卷）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AB=3，AD⊥BC于点D，BE
⊥AC与点E，AE=1.连接DE，将△AED沿直线AE翻折至△ABC所在的平面，得△AEF，
连接DF.过点D作DG⊥DE交BE于点G.则四边形DFEG的周长为（）
B.42C.224D.322
A
E
GF
BDC
12题图
【答案】D
【解析】∵∠ABC=45°，AD⊥BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AD=BD.
∵BE⊥AC，AD⊥BD，
∴∠DAC=∠DBH，
∴△DBH≌△DAC（ASA）.
∵DG⊥DE，
∴∠BDG=∠ADE，
∴△DBG≌△DAE（ASA），
∴BG=AE，DG=DE，
∴△DGE是等腰直角三角形，
∴∠DEC=45°.
在Rt△ABE中，BE=321222，
∴GE=221，
2
∴DE=2
2.
∵D，F关于AE对称，
∴∠FEC=∠DEC=45°，
2
∴EF=DE=DG2
2，
DF=GE221，
∴四边形的周长为2（221+2-2）=32+2.故选D．
DFEG
2
二、填空题
7．（2019·苏州）“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造．可以拼出许多有趣的图
形，被誉为“东方魔板”图①是由边长为10cm的正方形薄板分为7块制作成的“七
巧板”，图②是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图形该“七巧板”中7块图形之
一的正方形边长为cm（结果保留根号）.
（图①）（图②）
（第15题）
【答案】52
2
【解析】本题考查了正方形性质、等腰直角三角形性质的综合，由题意可知，等腰
三角形①与等腰三角形②全等，且它们的斜边长都为1×10=5cm，设正方形阴影部分
2
的边长为xcm，则x=sin45°=
2，解得x=5
2，故答案为5
2.
5
2
2
2
第15题答图
8．（2019·威海）
如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接AC，BD.若∠ACB＝90°，AC＝BC,AB＝BD,
则∠ADC＝°
【答案】105°
【解析】过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB垂足为F，由∠ACB＝90°，
AC＝BC,得△ABC是等腰直角三角形，由三线合一得CF为中线，从而推出2CF＝AB，
由AB∥CD得DE＝CF，由AB＝BD得BD＝2DE，在Rt△DEB中利用三角函数可得∠ABD
＝30°，再由AB＝BD得∠BAD＝∠ADB＝75°，最后由AB∥CD得∠BAD＋∠ADC＝180°求出∠ADC＝105°.
9．（2019·苏州）如图，一块舍有45°角的直角三角板，外框的一条直角边长为8cm，
三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为
2cm，则图中阴影部分的面积
为
cm
：
（结果保留根号）．
（第18题）
【答案】10+122
第18题答图
解析：
如图，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为2cm，所以△ABC
与△DEF有公共内心O，连接AD、BE、FC并延长相交于点O，过O作OG⊥AB于G，
交DE于H.则GH=
2
，S
=
1
OG×（AB+AC+BC）=
1
△ABC
2
2
ABAC
8
8
2，∴OH=8
52，∵
ABACBC
88
84
82
AB×AC，∴OG=
∵DE∥AB，∴△ODE∽△OAB，∴OH
DE∴8-5
2
DE，解得DE=6-22，
OG
AB8-4
2
8
S阴影=S△ABC-S△DEF=182
1
2
122.
62210
2
2
10．（2019·江西）在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为（4，0）、（4，
4），（0，4），点P在x轴上，点D在直线AB上，若DA＝1，CP⊥DP于点P，则点P
的坐标为.
【答案】（162
2322，0）或（162
2322，0）
4
4
【解析】设点P的坐标为（x，0），
（1）当点D在线段AB上时，如图所示：
∵DA=1，∴点D的坐标为（4
2，
2）.
2
2
∴CD2
[4（4
2）]2
（4
2）2
（
2）2
1642（
2）2
1742，
2
2
2
2
PD2
[x（4
2）]2
（
2）2
x2
2（4
2）x（4
2）2
（
2）2
x2
（8
2）x1742，
2
2
2
2
2
PC2（x4）242x28x32.
∵CP⊥DP于点P，∴PC2PD2CD2，
∴x2
（82）x1742x2
8x321742，
即2x2（162）x320，
∵△=[（162）]24232=2322＜0，
∴原方程无解，即符合要求的点P不存在.
（2）当点D在线段BA的延长线上，如图所示：
∵DA=1，∴点D的坐标为（4
2，
2）.
2
2
∴CD2
[4（4
2）]2
[4（
2）]2
（
2）2
（4
2）2
1742，
2
2
2
2
PD2
[x（4
2）]2
（
2）2
x2
2（4
2）x（4
2）2
（2）2
x2
（8
2）x1742，
2
2
2
2
2
PC2（x4）242x28x32.
∵CP⊥DP于点P，∴PC2PD2CD2，
∴x2
（82）x1742x2
8x321742，
即2x2（162）x320，
∵△=[（162）]2
4232
=
2322＞，
0
∴x
162
2
322162
2322，
2
2
4
∴点P的坐标为（162
2322，0）或（162
2322，0）.
4
4
11.（2019·枣庄）把两个同样大小含45°的三角尺按如图所示的方式放置,其中一个
三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A,且另外三个锐角顶点
B,C,D在同一直线上,若AB＝2,则CD＝________.
【答案】6－2
【解析】在等腰直角△ABC中,∵AB＝2,∴BC＝22,过点A作AM⊥BD于点M,则AM＝
MC＝1BC＝2,在Rt△AMD中,AD＝BC＝22,AM＝2,∴MD＝6,∴CD＝MD－MC＝6－
2
2.
12.（2019·巴中）如图,等边三角形ABC内有一点P,分别连接AP,BP,CP,若AP＝6,BP
＝8,CP＝10,则S△ABP+S△BPC＝________.
【答案】163+24
【解析】将△ABP绕点B顺时针旋转60°到△CBP',连接PP',所以BP＝BP',∠PBP'
＝60°,所以△BPP'是等边三角形,其边长BP为8,所以S△BPP'＝163,因为PP'＝8,P'C
2
2
2
＝24,所以S
＝PA＝6,PC＝10,所以PP'+P'C＝PC,所以△PP'C是直角三角形,S
△PP'C
△
ABP+S△BPC＝S△BPP'+S△PP'C＝163+24.
.
三、解答题
13.（2019·巴中）如图,等腰直角三角板如图放置,直角顶点C在直线m上,分别过点A,B作AE⊥直线m于点E,BD⊥直线m与点D.
（1）求证:
EC＝BD;
（2）若设△AEC三边分别为a,b,c,利用此图证明勾股定理.
证明：
（1）∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠ACB＝90°,AC＝BC,∴∠ACE+∠BCD＝90°,
∵AE⊥EC,∴∠EAC+∠ACE＝90°,∴∠BCD＝∠CAE,
∵BD⊥CD,∴∠AEC＝∠CDB＝90°,
∴△AEC≌△CDB（AAS）,∴EC＝BD.
（2）∵△AEC≌△CDB,△AEC三边分别为a，b，c,，
∴BD＝EC＝a,CD＝AE＝b,BC＝AC＝c,
∴S梯形＝1（AE+BD）ED＝1（a+b）（a+b）,
22
S梯形＝1ab+1c2+1ab，
222
∴1（a+b）（a+b）
＝1ab+1c2+1ab,
2
2
2
2
整理可得a2+b2＝c2,故勾股定理得证.
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