小学数学《出入相补平行四边形的面积》教学设计学情分析教材分析课后反思.docx

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小学数学《出入相补平行四边形的面积》教学设计学情分析教材分析课后反思

《出入相补——平行四边形的面积》教学设计

【教学目标】

1、通过数方格的方法，初步认识平行四边形的面积不能用邻边相乘，而是与底乘高的积相等。

2、利用“出入相补”原理，将平行四边形转化成长方形，进一步探究平行四边形面积的计算方法，并会运用公式正确地计算平行四边形的面积。

3．通过猜测、操作、观察、比较，发展学生的空间观念，培养学生运用转化的思考方法解决问题的能力和逻辑思维能力。

【教学重点】

使学生通过探索,理解和掌握平行四边形的面积计算公式,会计算平行四边形的面积。

【教学难点】

运用“出入相补”把平行四边形转化成长方形，找到长方形与平行四边形存在的关系，从而顺利推导出平行四边形面积的计算公式。

【教学时间】

1课时

【教学过程】

一、谈话导入

师：

同学们听说学好数学能让人更聪明，你们信吗？

想不想变得更加聪明？

今天老师给你们带来一个好朋友，学好它你肯定会变得更加聪明，想不想试一下？

现在开始我们的上课。

上课。

师：

同学们你们看，这7个图形各是什么形状呢？

生：

三角形、正方形、平行四边形……

师：

那如果把他们拼在一起，会拼成什么形状？

生：

长方形、正方形、平行四边形……

师：

那到底是什么形状呢，我们一起来看一下。

师：

是什么？

生：

正方形。

师：

同学们你们思考一下刚才7个图形和这个正方形面积之间有什么关系呢？

生：

相等。

师：

的确如此。

这个正方形的面积是这7个图形面积之和。

看到这个图形熟悉吗？

七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，顾名思义是由七块板组成的，而这七块板可以拼成1600种以上图形，神奇吧！

所以说玩好它你肯定会变得更加聪明。

下面我们一起来欣赏一下我们学校七巧板兴趣小组带给我们的作品。

生：

天鹅、小鸟、小鱼、大树。

师：

请同学们观察一下，用七巧板拼成的这些图案他们的面积有什么关系呢？

生：

都是用七块板组成的，所以他们的面积都一样。

师：

是这样吗？

没错，这些图案都是由同样的七块板组成的，只是他们的位置发生改变。

像七巧板这样把一个图形经过分割、移补、组拼成一个新的图案。

虽然形状发生了变化但是面积是不变的，这就是数学上“出入相补”原理，这个原理最早是由我国著名数学家刘徽提出来的。

他被称作“中国数学史上的牛顿”，有着相当重要的历史地位。

而且刘徽就是利用出入相补的原理来研究平面图形的面积的。

这节课，我们就沿着数学家的足迹，以平行四边形的面积为例，来探究下平面图形的面积该按照什么样的一条路径进行研究。

二、探究新知

师：

这是什么图形？

生：

平行四边形。

师：

对于任意的一个平行四边形，根据以前的学习经验，它的面积你想怎么求呢？

生：

数格子，可以把它放到格子图里数一下。

师：

以前的学习经验对我们今天的学习是有帮助的？

我们一起来看，这个长方形里面一共有多少个这样的面积单位？

生：

15。

师：

所以说这个长方形的面积就是？

生：

15平方厘米。

师：

有15个面积单位，他们的面积就是15平方厘米。

所以说长方形的面积实际上求得是什么？

生：

有多少个面积单位。

师：

很好，求长方形的面积实际上是求长方形里面有多少个面积单位。

类比于长方形那平行四边形的面积实际上求的是什么呢？

生：

也就是求它里面有多少个面积单位。

师：

你说的太好了，掌声送给他。

除了数格子，还有不同的方法吗？

生：

可以在平行四边形上剪一刀，平移到另一边组成一个长方形。

师：

我觉得他的想象力真丰富，通过自己的想象已经找到答案了，其他同学还有想说的吗？

生：

可以从中间剪一条线，剪成两个梯形，移动一下位置，就可以组成一个长方形。

师：

你们为什么都想变成长方形啊？

生：

因为怎么求长方形的面积我们已经学会了。

师：

原来长方形面积会算了。

我觉得我们班学生特别会学数学。

既然大家都已经有了很多想法。

下面我们就动手操作验证你的想法。

下面看小研究一。

拿出学具袋中你喜欢的平行四边形，操作完成以后，前后四人为一小组，再在组内交流一下你们都是怎么求得？

听明白了吗？

现在开始。

师：

交流完了吗？

交流完的同学坐姿，看哪组坐的最好。

这个平行四边形的面积你是怎么求的？

生：

我就是把这块单独的三角形移到这边，这样就和剩下的三个正方形拼成一个完整的长方形，就可以求出这个平行四边形的面积了

师：

听懂了吗？

都听懂了。

那面积是多少

生：

4

师：

继续。

这个平行四边形你们是怎么操作的？

生：

我们可以沿着这里剪开，把这个三角形移到这里就拼成一个长方形。

12345678这样数出这个平行四边形的面积是8

师：

看明白了吗？

他是把这一整块都拼过来的，非常简单而且迅速。

那这个平行四边形呢？

生：

我把这边的三角形移到这里拼成一个长方形，一行四个总共三行，平行四边形面积就和这个长方形面积相等。

所以面积就是12。

师：

很好请回。

我看还有学生举手，这位同学你说你们小组是怎么操作的。

生：

我是分着移的，这样也可以拼成一个长方形。

师：

你们看懂了吗？

他是分着移的，刚才那几位同学是把这一整块移过来的。

分着移整块移哪样移更快？

生：

整块移。

师：

看刚才这几位同学的操作，不管是整块移还是分着移，我们经过拼之后，观察什么变了什么没变。

生：

形状变了，面积没变。

师：

这个道理就是我们数学上的“出入相补”原理。

其他同学还有没有什么好办法呢？

生：

把平行四边形沿这里的一条高剪开，移到这里就变成一个长方形。

长方形的面积就是平行四边形的面积。

师：

听懂了吗。

有问题和他交流吗？

都听懂了，还有不同操作吗？

生：

因为平行四边形有无数条高。

我们可以沿着中间的一条高剪开，然后把这个移到右边拼成一个长方形。

平行四边形的面积就等于这个长方形的面积。

师；刚才这个同学说平行四边形有多少条高来？

生：

无数条。

师：

他觉得沿任意一条高剪开都能把一个平行四边形拼成一个长方形你们同意吗？

生：

同意。

师：

回顾刚才这两位同学的做法，第一位同学是沿这里的一条高剪开拼到这里。

第二位是沿这里的一条高剪开拼到这里。

那为什么他们都要沿高剪开呢？

生：

因为沿高剪开可以出现直角，长方形四个角都是直角。

师：

说的真好。

沿高剪开就可以出现直角。

这样我们可以拼成长方形。

这样就把平行四边形和长方形联系起来了。

刚才这两位同学都集中在这条边上的高了。

如果我们以这条边为底做出它的高，沿高剪开，看行不行。

试试看。

师：

其实除了沿高剪开。

我们也可以这样把平行四边形转化成长方形。

哪位同学想来试一下。

（请学生操作）

师：

回顾刚才我们的所有操作，不管是剪、移、拼，不管是有方格纸还是没有方格纸。

我们都是利用“出入相补”的原理把平行四边形转化成长方形。

在这个过程中，什么变了什么没变。

生：

形状变了，面积没变。

师：

那我们继续思考，转化后的长方形和原平行四边形有什么联系？

根据正方形的面积公式，你会计算平行四边形的面积吗？

先独立思考然后再在小组内交流一下。

师：

有结果了吗，用坐姿告诉老师。

我们先听听这位同学的想法。

生：

我们小组的结果是长方形的面积等于平行四边形的面积。

长方形的长就是平行四边形的底，长方形的宽就是平行四边形的高。

我们沿着这条高剪开，移到这里，这样就拼成一个长方形，所以他们的面积是相等的。

我是沿高剪开的，可以看到平行四边形的高就是长方形的宽，剪之前这是平行四边形的底，移到这里来就变成长方形的长了。

所以平行四边形的底就是长方形的长。

师：

都听懂了吗？

他给我们演示了，很好有理有据。

谁还想再来和我们分享一下你们小组的结果。

生：

我们沿这里剪开，把它移到这里来，拼成一个长方形。

长方形的宽就等于平行四边形的高，把它移过来组成长方形，平行四边形的底就等于长方形的长。

长方形的面积等于长乘宽，所以平行四边形的面积就等于底乘高。

师;听懂了吗？

你们也是得到这样的结论吗？

非常棒，掌声送给刚才两位同学。

师：

我们再一起梳理一下这个过程。

刚才我们利用“出入相补”的原理，把平行四边形转化成了长方形，在整个过程中虽然形状变了但是面积没有变。

所以长方形的面积就是原来平行四边形的面积。

平行四边形的底和长方形的长是相等的，平行四边形的高和长方形的高是相等的。

根据长方形的面积公式长乘宽我们就可以得到平行四边形的面积公式：

底乘高。

如果我们用S表示平行四边形面积，a表示平行四边形的底，h表示平行四边形高我们如何用字母来表示平行四边形的面积呢？

三、应用练习

师：

现在你会计算平行四边形面积了吗？

下面老师来考考你，敢不敢接受挑战？

师：

计算下面平行四边形面积。

这个平行四边形面积怎么求

生：

6乘4。

生：

这个题没法求因为不知道它的高。

师：

你同意哪位同学的。

那为什么邻边相乘不对，我们通过一个视频来了解一下。

（微课）

师：

看完视频以后那么你能告诉我6乘4是什么吗？

生：

我觉得是那个拉正以后长方形面积。

师：

并且长方形面积要比原来平行四边形面积大。

所以说我们要想求一个平行四边形面积必须知道什么？

生：

底和高。

师：

难度升级，你会计算这块菜地的面积吗？

生：

10乘7.2。

师：

还有不同答案吗？

生：

10乘9。

师：

这里有两条高呀，我们应该乘哪一条呢，还是两条都行？

生：

应该乘7.2，因为是对应高。

师：

这个同学用了一个词对应高，同意吗？

平行四边形面积我们要用它的底乘它的对应高。

所以这个题的答案是10乘7.2.。

知道面积你能不能求出9这条高对应的底边长？

生：

72除以9。

四、全课小结

师：

同学们，这节课你学到了什么？

有什么你印象最深的吗？

生：

学会了求平行四边形面积。

生：

知道了“出入相补”。

生：

知道了平行四边形和长方形之间的联系。

……

师：

同学们回顾本节课，首先我们是从任意的一个平行四边形入手，借助以前的学习经验，提出猜想，它的面积应该怎么研究呢，有了想法以后接下来我们动手操作，进行验证。

在验证的过程中我们是用了“出入相补”的原理，把平行四边形转化成了长方形，这样我们就把一个陌生的、复杂的图形转化成我们熟悉的简单的图形。

这样就可以用以前学过的旧知识来解决今天的新问题。

最后通过找寻平行四边形和长方形之间的联系我们得到结论：

平行四边形面积=底乘高。

那我们接下来即将要学习的三角形面积和梯形面积也是沿着这样的一条路径来研究的。

五、课后探究作业

学情分析

学生已经认识了平行四边形，了解了它的特征，会用“数方格”的方法求图形面积，会长方形面积计算的方法。

本节课的教学通过介绍“出入相补”原理，通过猜想、动手操作、得出结论等过程，让学生深刻理解“出入相补”原理在平面图形面积研究方面的作用，为后面学习其他平面图形面积奠定良好基础。

平行四边形面积公式的推导是建立在学生数、剪、拼、摆的操作活动之上的，所以动手操作是本节教学的重要活动。

但是从操作到转化，让学生切实理解把平行四边形剪拼成长方形后，长方形的长和宽与平行四边形底和高的关系是一个难点。

需要引导学生在探索活动中，循序渐进、由浅入深地进行操作与观察，从而使学生进一步理解平面图形之间的变换关系，发展空间观念。

练习反馈

练习题目层层深入，公式的推导过程、基础应用、变式应用、拓展应用等。

放手让学生自主思考，进行合作学习，练习反馈情况良好。

出错较多的题目：

1.判断平行四边形的面积等于长方形面积。

分析原因：

平行四边形面积等于拼成的长方形面积，并不是任意的一个长方形，学生思维不够严谨，导致出错。

2.选择平行四边形的底扩大6倍，高缩小3倍，它的面积（      ）。

分析原因：

对公式的变式应用，不够灵活。

平行四边形的面积与底和高都有关系，可以先假设高不变，底扩大为6倍，那么面积也扩大6倍；再假设底不变，高缩小3倍，那么，面积再缩小3倍，所以面积先扩大6倍，再缩小3倍，一共扩大2倍。

3.选择用木条钉成的长方形拉成一个平行四边形，它的高和面积（     ）。

分析原因：

课上演示过整个过程，所以大部分学生都能理解这一变化，但是，也仍有部分同学空间想象能力不够，不能掌握，需要进一步演示指导，最好的办法就是通过自己动手实践，拉一拉，看看，学生的理解会更加深刻。

4.解决问题一块平行四边形菜地，底8.5m，高6m，每平方米菜地收白菜20千克，一共能收多少千克白菜？

分析原因：

第一步先求面积，孩子们都没问题；第二步是计算这么多个20一共是多少，所以应该用面积乘20，这是个易错点、难点。

这一点需要进一步指导学生理解题意，多想多说。

教材分析

平行四边形的面积是青岛版四年级下册第二单元信息窗一的内容。

几何知识的初步认识贯穿在整个小学数学教学中，是按由易到难的顺序呈现的。

这部分内容是在学生已经掌握并能熟练计算长方形、正方形的面积，掌握平行四边形特征的基础上进行的。

在自主探究、动手实践的基础上理解公式，有利于学生学会推导方法，为三角形、梯形的面积公式推导做准备，同时是促进学生空间观念的发展，扎实其几何知识学习的重要环节，是今后学习立体图形知识的基础。

课后练习

一、填空。

1.把一个平行四边形转化成一个长方形，它的面积与原来的平行四边形面积（）。

它的长相当于平形四边形的（），它的宽相当于平行四边形的（），平行四边形的面积等于（），用字母表示是（        ）。

2.一个平行四边形的底是9分米，高是3分米，它的面积是（      ）平方分米。

3.一个平行四边形的底是12厘米，面积是156平方厘米，高是（     ）厘米。

4.平行四边形的面积是50平方厘米，高是5厘米，底是（       ）厘米。

二、判断题。

1.平行四边形的面积等于长方形面积。

（    ） 

2.一个平行四边形的底是5分米，高是20厘米，面积是100平方分米。

（     ） 

3.一个平行四边形面积是42平方米，高是6米，底是7米。

（     ） 

4.等底等高的两个平行四边形面积也相等。

（     ） 

三、选择题。

1.平行四边形的底扩大6倍，高缩小3倍，它的面积（      ）。

 ①不变     ②扩大6倍    ③缩小3倍     ④扩大2倍 

2.用木条钉成的长方形拉成一个平行四边形，它的高和面积（     ）

 ①不变     ②都比原来大  ③都比原来小   ④只有高变小 

3.平行四边形同一底上可以画（      ）条高。

 ①无数     ② 1          ③ 2         ④ 5 

四、计算下面各个平行四边形的面积。

五、应用题。

1.有一块平行四边形的玻璃，底是28分米，高是24分米。

这块玻璃的面积是多少？

2.一块平行四边形钢板，面积800.13平方厘米，高是17.9厘米。

它的底是多少？

3.一块平行四边形菜地，底8.5m，高6m，每平方米菜地收白菜20千克，一共能收多少千克白菜？

教学反思

一、渗透“转化”思想

数学的学习，不仅是数学知识本身的学习，更主要的是数学思想方法的学习。

“转化”是数学学习和研究的一种重要思想方法。

本课教学时，首先，由七巧板引出“出入相补”原理，拓宽了学生的思路，为本节课的学习指明方向。

紧接着我提出问题：

平行四边形的面积应该怎么求呢？

学生根据以前学习经验，可以用数格子的方法计算。

通过对“出入相补”原理的介绍，很多同学已经想到用剪拼的方法拼成一个长方形。

通过动手操作，孩子们更深刻的理解了“出入相补”原理，通过把平行四边形转化成我们已经学过的长方形，找到两者之间的联系从而得出平行四边形的面积公式，渗透“转化”的思想方法。

最后，利用课件演示，梳理本节课的探究过程，从数格子到转化的过程和以及他们之间的关系，突出了重点，突破了难点。

学生经历“猜想—验证—得出结论”的过程，获得了成功的体验，学生的学习积极性和主动性得到了充分发挥。

最后对本节课方法的梳理，学生们发现“出入相补”原理是平面图形面积的研究经常用到的原理，找到了研究平面图形面积的一般路径，为推导三角形、梯形面积的计算公式提供方法迁移。

　　二、重视活动经验

　　课标中指出：

数学教学不仅重视“双基”——基础知识和基本技能，而且更重视获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学基本思想和基本活动经验。

本节课我充分让学生去主动参与，强化学生参与意识。

我把课堂交给学生，通过对“出入相补”原理的介绍和以前学习经验，平行四边形面积应该怎么求呢，学生们已经有了初步想法，我放手让学生们去动手操作验证，在小组合作中思路越来越清晰，越来越接近问题的最终答案，学生的动手能力、小组合作能力以及思维能力得到锻炼。

课上，我利用小组交流展示等形式，让学生把自己操作——转化——推导的过程叙述出来，以发展学生的思维逻辑性和语言表达能力。

　　三、优化应用练习

　本课教学过程中，注重学练结合，注重练习的层析和梯度。

第一题已知平行四边形两条邻边，能不能求出面积呢？

通过微课让学生们更深刻的理解了为什么不能用两条邻边的乘积来计算面积，平行四边形面积应该是底乘高，加深了对公式的理解和掌握。

并且通过微课学生们更直观的感受到了把平行四边形框架拉成长方形的过程中，周长和面积是怎么变得。

第二题出示含有多余条件的一个条件，强调底和高必须对应，学习上更上一个层次，同时有对公式的变式应用。

四、重视数学文化的渗透

课堂教学不仅要让学生获得知识，而且更重要的是通过知识获得的过程来发展学生的能力。

数学思想、数学思维、数学精神等一些数学文化的精髓都依附在知识发展的过程中。

本节课通过介绍“出入相补”原理和数学家刘徽，学生们既学到了丰富的数学历史文化，又沿着数学家的足迹，通过操作探究，学会了平面图形面积研究的方法，经历了数学知识的形成过程。

但是在教学过程中，发现很多学生不敢动手，有想法不会表达，这要求我们在日积月累中提升学生的数学素养，培养学生自信心和动手能力。

课标分析

新课标指出：

“学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。

有效的数学活动不能单纯地靠模仿与记忆，动手操作、自主探索与合作交流是学习数学的重要方式。

”在本节课上我将通过活动激发学生的学习兴趣，为他们创建一个发现、探索的思维空间，使学生更好地去发现、去创造。

同时通过多种的活动实践，让学生体验平行四边形面积计算公式的推导过程，使学生掌握学习策略，获得丰富的数学活动经验。