弹簧模型功能问题.docx

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弹簧模型功能问题

弹簧模型（功能问题）

［模型概述］

弹力做功对应的弹簧势能，重力做功对应的重力势能有区别，但也有相似。

弹簧类题的动量分析和能量分析

1．受力分析、运动分析明确

（1）何时：

vmax、vmin、Epmax、Epmin、Ek总max、Ek总min、Ekimax、Ekimin

弹簧伸长最长

Epmax、Ek总max

（2）三个典型状态弹簧压缩最短

压缩→原长原加速的物体v最大

恢复原长

伸长→原长原减速的物体v不一定最小

2．动量守恒的系统和过程的确定（F外=0之后）

3．能量守恒的系统和过程的确定（注意：

v突变中的能量转化）

例题1、如图所示，

物体A静止在光滑的水平面上，A的左边固定有轻质弹簧，与A质量相等的物体B以速度v向A运动并与弹簧发生碰撞，A、B始终沿同一直线运动，则A、B组成的系统动能损失最大的时刻是（　　）

A．A开始运动时　　　　　B．A的速度等于v时

C．弹簧压缩至最短时D．A和B的速度相等时

例题2、如图甲所示，一轻弹簧的两端分别与质量为m1和m2的两物块相连接，并且静止在光滑的水平面上．现使m1瞬时获得水平向右的速度3m/s，以此刻为时间零点，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，从图象信息可得（　　）

A．在t1、t3时刻两物块达到共同速度1m/s且弹簧都是处于压缩状态

B．从t3到t4时刻弹簧由伸长状态逐渐恢复原长

C．两物体的质量之比为m1∶m2＝1∶2

D．在t2时刻两物体的动能之比为EK1∶EK2＝1∶2

例题3、．如图14所示，水平轨道AB与半径为R的竖直半圆形轨道BC相切于B点。

质量为2m和m的a、b两个小滑块（可视为质点）原来静止于水平轨道上，其中小滑块a与一轻弹簧相连。

某一瞬间给小滑块a一冲量使其获得

的初速度向右冲向小滑块b，与b碰撞后弹簧不与b相粘连，且小滑块b在到达B点之前已经和弹簧分离，不计一切摩擦，求：

（1）a和b在碰撞过程中弹簧获得的最大弹性势能；

（2）小滑块b经过圆形轨道的B点时对轨道的压力；

（3）试通过计算说明小滑块b能否到达圆形轨道的最高点C。

例题4、如图所示，半径为R的光滑半圆环轨道与高为10R的光滑斜轨道放在同一竖直平面内，两轨道之间由一条光滑水平轨道CD相连，水平轨道与斜轨道间有一段圆弧过渡。

在水平轨道上，轻持弹簧被a、b两小球挤压，处于静止状态。

同时释放两个小球，a球恰好能通过圆环轨道最高点A，b球恰好能到达斜轨道的最高点B。

已知a球质量为m，重力加速度为g。

求：

（1）a球释放时的速度大小；

（2）b球释放时的速度大小；

（3）释放小球前弹簧的弹性势能。

典型训练

1.如图所示，半径为R的光滑半圆环轨道竖直固定在一水平光滑的桌面上，桌距水平地面的高度也为R。

在桌面上轻质弹簧被a、b两个小球挤压（小球与弹簧不拴接），处于静止状态。

同时释放两个小球，小球a、b与弹簧在水平桌面上分离后，a球从B点滑上光滑半圆环轨道并恰能通过半圆环轨道最高点A，b球则从桌面C点滑出后落到水平地面上，落地点距桌子右侧的水平距离为

。

已知小球a质量为m，重力加速度为g。

求：

（1）释放后a球离开弹簧时的速度大小；

（2）释放后b球离开弹簧时的速度大小；

（3）释放小球前弹簧具有的弹性势能。

2.如图所示，在倾角θ＝30°的光滑斜面上有质量均为m的A、B、C三个相同物块，其中

A和B用劲度系数为k的轻弹簧相连，静止在斜面上．在斜面的底端有一个固定挡板．现在

将C从斜面上某点由静止释放，B和C碰撞时间极短，B和C碰撞后粘连一起不再分开，以后的运动过程中A恰好不离开挡板．整个过程中，弹簧处在弹性限度以内。

求：

（1）物块B上升的最高点与最初位置之间的距离；

（2）物块C释放时离B物块的距离d．

3、如图所示，半径R=0.5m的光滑半圆轨道竖直固定在高h=O.8m的光滑水平台上并与平台

平滑连接，平台CD长L=1.2m．平台上有一用水平轻质细线栓接的完全相同的物块m1和

m2组成的装置Q，Q处于静止状态。

装置Q中两物块之间有一处于压缩状态的轻质小弹簧

（物块与弹簧不栓接）．某时刻装置Q中细线断开，待弹簧恢复原长后，m1、m2两物块同时

获得大小相等、方向相反的水平速度，m1经半圆轨道的最高点A后，落在水平地面上的M

点，m2落在水平地面上的P点．已知ml=m2=0.2kg，不计空气阻力，g取10m／s2．若两

物块之间弹簧被压缩时所具有的弹性势能为7.2J，求

（1）物块m1通过平台到达半圆轨道的最高点A时对轨道的压力；

（2）物块m1和m2相继落到水平地面时PM两点之间的水平间距.

4、如图所示，光滑的水平导轨MN右端N处与水平传送带理想连接，传送带长度L=0.8m，皮带以恒定速率v=3.0m/s向右匀速运动。

传送带的右端处平滑连接着一个在竖直平面内、半径为R=0.4m的光滑半圆轨道PQ，两个质量均为m=0.2kg的滑块A、B置于水平导轨MN上，开始时滑块A、B之间用细绳相连，其间有一压缩的轻弹簧，系统处于静止状态。

现使细绳断开，弹簧伸展，滑块B脱离弹簧后滑上传送带，从右端滑出并沿半圆轨道运动到最高点Q后水平飞出，又正好落回N点。

已知滑块B与传送带之间的动摩擦因数μ=

，取g=10m／s2。

求：

（1）滑块B到达Q点时速度的大小；

（2）滑块B在半圆轨道P处对轨道的压力；

（3）压缩的轻弹簧的弹性势能Ep。

参考答案

例题1、解析：

开始压缩时，A的速度为零，B的速度最大，随着弹簧的压缩，弹力增大，对B向左，对A向右，使B减速，使A加速，在A和B的速度相等时，弹簧压缩至最短，弹性势能最大，系统动能损失最大．接着，B继续减速，A继续加速，弹簧开始恢复原长，弹性势能减少，系统动能增大．

答案：

CD

例题2．解析：

在t1、t3时刻两物块达到共同速度1m/s，但t1时刻弹簧处于最大压缩状态，t3时刻弹簧处于最大伸长状态，从t3到t4时刻弹簧由伸长状态逐渐恢复原长；整个过程动量守恒，有m1·3＝（m1＋m2）·1，解得m1∶m2＝1∶2；动能之比为Ek1∶Ek2＝

m1v21∶

m2v22＝1∶8.

答案：

BC

例题3、解：

（1）a与b碰撞达到共速时弹簧被压缩至最短，弹性势能最大。

设此时ab的速度为v，则由系统的动量守恒可得

2mv0＝3mv

由机械能守恒定律

解得：

（2分）

（2）当弹簧恢复原长时弹性势能为零，b开始离开弹簧，此时b的速度达到最大值，并以此速度在水平轨道上向前匀速运动。

设此时a、b的速度分别为v1和v2，由动量守恒定律和机械能守恒定律可得

2mv0＝2mv1+mv2

解得：

（1分）

滑块b到达B时，根据牛顿第二定律有

解得N=5mg（2分）

根据牛顿第三定律滑块b在B点对轨道的压力N′=5mg，方向竖直向下。

（1分）

（3）设b恰能到达最高点C点，且在C点速度为vC，此时轨道对滑块的压力为零，滑块只受重力，由牛顿第二定律

解得

（1分）

再假设b能够到达最高点C点，且在C点速度为vC＇,由机械能守恒定律可得：

解得vC＇=0＜

。

所以b不可能到达C点，假设不成立。

（1分）

用其他方法证明结果正确同样得分。

例题4、解：

（1）a球过圆轨道最高点A时

……………………（2分）

求出

a球从C运动到A，由机械能守恒定律

R…………………………（2分）

由以上两式求出

……………………（2分）

（2）b球从D运动到B，由机械能守恒定律

求出

………………………………（4分）

（3）以a球、b球为研究对象，由动量守恒定律

mva=mbvb……………………………………（2分）

求出

弹簧的弹性势能

……………（2分）

求出Eρ=7.5mgR………………………………………（2分）

典型训练

1

（1）小钢球从最高点摆至与Ａ碰撞的过程中，由机械能守恒定律有：

m0gH=

mv１2（2分）　　　　得：

v１=4m/s（1分）

（2）设小物体Ａ被小钢球碰撞后的速度为v2，Ａ与小钢球碰撞的过程动量守恒，有：

m0v1＝-m0

+mv2（2分）得：

v2=2m/s（1分）

（3）设小物体Ａ运动至木板车Ｂ右端时的速度为v3，木板车Ｂ的速度为v4．Ａ与Ｂ发生相对运动的过程中，动量守恒，有　　

mv2＝mv3＋Ｍv4（2分）

Ａ与Ｂ发生相对运动的过程中，根据能量守恒定律，有：

μmgＬ＝

mv2２－（

mv3２＋

Ｍv4２）（2分）

以上两式联立解得：

v3＝

m/s，v4＝

m/s（2分）

因为v3＞v4，说明小物体Ａ能从木板车B的右端飞出．（1分）

小物体Ａ从木板车右端飞出后做平抛运动，根据平抛运动的规律，在竖直方向上，

h＝

gt2（2分）

得Ａ作平抛运动的时间t=0.3s（1分）

小物体Ａ落地与木板车Ｂ右端的水平距离s＝（v3-v4）t＝0.3m（2分）

2.⑴设B、C碰撞前弹簧的压缩量为x1,则由B平衡得

（3分）

设A对挡板恰好无压力时弹簧伸长量为x2,由A受力平衡得

（3分）

物体B上升至最高点与开始平衡位置之间的距离为L=x1+x2=

（2分）

⑵设B、C碰撞之前瞬间C的速度为υ,由动能定理得

（2分）

B、C碰撞动量守恒,设碰撞后共同速度为υ1,则

（2分）

碰撞后整个系统机械能守恒,从碰撞结束到B至最高点

（3分）

由于x1=x2,故

（3分）

由以上各式解得

（2分

3．（15分）

解析：

（1）由题意知

2分

细线断开时，两物块获得的水平速度

1分

m1由D到A过程由机械能守恒可得

2分

m1到达A点时由牛顿第二定律得

2分

联立解得FN=4.4N1分

由牛顿第三定律得m1对轨道的压力FN'=FN=4.4N2分

（2）由平抛运动知识可得m1从A点平抛位移

2分

m1从D点平抛位移

2分

故PM之间的水平间距

1分

4

（1）．滑块B从Q飞出后做平抛运动，有：

……

（1）（2分）

……

（2）（2分）由

（1）

（2）解得

……（2分）

（2）．滑块B从P运动到Q过程中满足机械能守恒，有：

（3）

在Q点有：

……（4）（2分）

由（3）（4）解得：

（2分）

（3）．由（3）得：

（1分）

则有

，滑块B在皮带上做匀减速运动（1分）

加速度

A、B组成的系统动量守恒

（2分）

弹簧的弹性势能

（1分）