江苏省南京市届高三第三次模拟考试 理科数学 Word版含答案.docx

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江苏省南京市届高三第三次模拟考试理科数学Word版含答案

南京市2015届高三年级第三次模拟考试

数学2015.05

注意事项：

1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．

2．答题前，请务必将自己的姓名、班级、学校写在答题纸上．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．

参考公式

样本数据x1，x2，…，xn的方差s2＝（xi－）2，其中＝xi．

锥体的体积公式：

V＝Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高．

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．

1．已知复数z＝－1，其中i为虚数单位，则z的模为▲．

2．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：

排队人数

0

1

2

3

4

≥5

概率

0.1

0.16

0.3

0.3

0.1

0.04

则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是▲．

3．若变量x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值是▲．

（第4题图）

4．右图是一个算法流程图，则输出k的值

是▲．

5．如图是甲、乙两位射击运动员的5次

训练成绩（单位：

环）的茎叶图，则

（第5题图）

成绩较为稳定（方差较小）的运动员

是▲．

6．记不等式x2＋x－6＜0的解集为集合A，函数y＝lg（x－a）的定义域为集合B．若“xA”是“xB”的充分条件，则实数a的取值范围为▲．

7．在平面直角坐标系xOy中，过双曲线C：

x2－＝1的右焦点F作x轴的垂线l，则l与双曲线C的两条渐近线所围成的三角形的面积是▲．

8．已知正六棱锥P－ABCDEF的底面边长为2，侧棱长为4，则此六棱锥的体积为▲．

9．在△ABC中，ABC＝120，BA＝2，BC＝3，D，E是线段AC的三等分点，则·的值

为▲．

10．记等差数列{an}的前n项和为Sn．若Sk－1＝8，Sk＝0，Sk＋1＝－10，则正整数k＝▲．

11．若将函数f（x）＝∣sin（x－）∣（＞0）的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为偶函数，则实数的最小值是▲．

12．已知x，y为正实数，则＋的最大值为▲．

13．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x－1）2＋（y－1）2＝9，直线l：

y＝kx＋3与圆C相交于A，B两点，M为弦AB上一动点，以M为圆心，2为半径的圆与圆C总有公共点，则实数k的取值范围为▲．

14．已知a，t为正实数，函数f（x）＝x2－2x＋a，且对任意的x∈[0，t]，都有f（x）∈[－a，a]．若对每一个正实数a，记t的最大值为g（a），则函数g（a）的值域为▲．

二、解答题：

本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知acosC＋ccosA＝2bcosA．

（1）求角A的值；

（2）求sinB＋sinC的取值范围．

16．（本小题满分14分）

在四棱锥P－ABCD中，BC∥AD，PA⊥PD，AD＝2BC，AB＝PB，E为PA的中点．

E

（1）求证：

BE∥平面PCD；

（2）求证：

平面PAB⊥平面PCD．

17．（本小题满分14分）

如图，摩天轮的半径OA为50m，它的最低点A距地面的高度忽略不计．地面上有一长度为240m的景观带MN，它与摩天轮在同一竖直平面内，且AM＝60m．点P从最低点A处按逆时针方向转动到最高点B处，记AOP＝，∈（0，π）．

（1）当＝时，求点P距地面的高度PQ；

（2）试确定的值，使得MPN取得最大值．

18．（本小题满分16分）

在平面直角坐标系xOy中，设中心在坐标原点的椭圆C的左、右焦点分别为F1、F2，右准线

l：

x＝m＋1与x轴的交点为B，BF2＝m．

（1）已知点（，1）在椭圆C上，求实数m的值；

（2）已知定点A（－2，0）．

①若椭圆C上存在点T，使得＝，求椭圆C的离心率的取值范围；

②当m＝1时，记M为椭圆C上的动点，直线AM，BM分别与椭圆C交于另一点P，Q，

l

若＝λ，＝，求证：

λ＋为定值．

19．（本小题满分16分）

已知函数f（x）＝x2－x＋t，t≥0，g（x）＝lnx．

（1）令h（x）＝f（x）＋g（x），求证：

h（x）是增函数；

（2）直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切．对于确定的正实数t，讨论直线l的条数，并说明理由．

20．（本小题满分16分）

已知数列{an}的各项均为正数，其前n项的和为Sn，且对任意的m，n∈N*，

都有（Sm＋n＋S1）2＝4a2ma2n．

（1）求的值；

（2）求证：

{an}为等比数列；

（3）已知数列{cn}，{dn}满足|cn|＝|dn|＝an，p（p≥3）是给定的正整数，数列{cn}，{dn}的前p项的和分别为Tp，Rp，且Tp＝Rp，求证：

对任意正整数k（1≤k≤p），ck＝dk．

南京市2015届高三年级第三次模拟考试

数学附加题2015.05

注意事项：

1．附加题供选修物理的考生使用．

2．本试卷共40分，考试时间30分钟．

3．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、学校写在答题纸上．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．

21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只要选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．选修4—1：

几何证明选讲

如图，AB，AC是⊙O的切线，ADE是⊙O的割线，求证：

BE·CD＝BD·CE．

（第21A题图）

B．选修4－2：

矩阵与变换

已知矩阵A＝，直线l：

x－y＋4＝0在矩阵A对应的变换作用下变为

直线l：

x－y＋2a＝0．

（1）求实数a的值；

（2）求A2．

C．选修4－4：

坐标系与参数方程

在极坐标系中，设圆C：

＝4cos与直线l：

＝（∈R）交于A，B两点，求以AB为直径的圆的极坐标方程．

D．选修4－5：

不等式选讲

已知实数x，y满足x＞y，求证：

2x＋≥2y＋3．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．（本小题满分10分）

D

如图，四棱锥P－ABCD中，PA平面ABCD，AD∥BC，ABAD，BC＝，AB＝1，BD＝PA＝2．

（1）求异面直线BD与PC所成角的余弦值；

（2）求二面角A－PD－C的余弦值．

23．（本小题满分10分）

已知集合A是集合Pn＝{1，2，3，…，n}（n≥3，n∈N*）的子集，且A中恰有3个元素，同时这3个元素的和是3的倍数．记符合上述条件的集合A的个数为f（n）．

（1）求f（3），f（4）；

（2）求f（n）（用含n的式子表示）．

南京市2015届高三第三次模拟考试

数学参考答案及评分标准2015.05

说明：

1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，填空题不给中间分数．

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1．2．0.743．44．65．甲

6．（－∞，－3]7．48．129．10．9

11．12．13．[－，＋∞）14．（0，1）∪{2}

二、解答题：

本大题共6小题，共90分．

15．解：

（1）因为acosC＋ccosA＝2bcosA，所以sinAcosC＋sinCcosA＝2sinBcosA，

即sin（A＋C）＝2sinBcosA．

因为A＋B＋C＝π，所以sin（A＋C）＝sinB．

从而sinB＝2sinBcosA．…………………………4分

因为sinB≠0，所以cosA＝．

因为0＜A＜π，所以A＝．…………………………7分

（2）sinB＋sinC＝sinB＋sin（－B）＝sinB＋sincosB－cossinB

＝sinB＋cosB＝sin（B＋）．…………………………11分

因为0＜B＜，所以＜B＋＜．

所以sinB＋sinC的取值范围为（，]．…………………………14分

16．证明：

（1）取PD的中点F，连接EF，CF．

（第16题图）

因为E为PA的中点，所以EF∥AD，EF＝AD．

因为BC∥AD，BC＝AD，

所以EF∥BC，EF＝BC．

所以四边形BCFE为平行四边形．

所以BE∥CF．…………………………4分

因为BE平面PCD，CF平面PCD，

所以BE∥平面PCD．…………………………6分

（2）因为AB＝PB，E为PA的中点，所以PA⊥BE．

因为BE∥CF，所以PA⊥CF．…………………………9分

因为PA⊥PD，PD平面PCD，CF平面PCD，PD∩CF＝F，

所以PA⊥平面PCD．…………………………12分

因为PA平面PAB，所以平面PAB平面PCD．…………………………14分

17．解：

（1）由题意，得PQ＝50－50cos．

从而，当＝时，PQ＝50－50cos＝75．

即点P距地面的高度为75m．…………………………4分

（2）（方法一）由题意，得AQ＝50sin，从而MQ＝60－50sin，NQ＝300－50sin．

又PQ＝50－50cos，

所以tanNPQ＝＝，tanMPQ＝＝．

…………………………6分

从而tanMPN＝tan（NPQ－MPQ）

＝＝

＝．…………………………9分

令g（）＝，∈（0，π），

则g（）＝，∈（0，π）．

由g（）＝0，得sin＋cos－1＝0，解得＝．

…………………………11分

当∈（0，）时，g（）＞0，g（）为增函数；当∈（，）时，g（）＜0，g（）为减函数，

所以，当＝时，g（）有极大值，也为最大值．

因为0＜MPQ＜NPQ＜，所以0＜MPN＜，

从而当g（）＝tanMPN取得最大值时，MPN取得最大值．

即当＝时，MPN取得最大值．…………………………14分

（方法二）以点A为坐标原点，AM为x轴建立平面直角坐标系，

则圆O的方程为x2＋（y－50）2＝502，即x2＋y2－100y＝0，点M（60，0），N（300，0）．

设点P的坐标为（x0，y0），所以Q（x0，0），且x02＋y02－100y0＝0．

从而tanNPQ＝＝，tanMPQ＝＝．

…………………………6分

从而tanMPN＝tan（NPQ－MPQ）

＝＝

＝．

由题意知，x0＝50sin，y0＝50－50cos，

所以tanMPN＝＝．…………………………9分

（下同方法一）

18．解：

（1）设椭圆C的方程为＋＝1（a＞b＞0）．

由题意，得解得

所以椭圆方程为＋＝1．

因为椭圆C过点（，1），所以＋＝1，

解得m＝2或m＝－（舍去）．

所以m＝2．…………………………4分

（2）①设点T（x，y）．

由＝，得（x＋2）2＋y2＝2[（x＋1）2＋y2]，即x2＋y2＝2．…………………6分

由得y2＝m2－m．

因此0≤m2－m≤m，解得1≤m≤2．

所以椭圆C的离心率e＝[，]．…………………………10分

②（方法一）设M（x0，y0），P（x1，y1），Q（x2，y2）．

则＝（x0＋2，y0），＝（x1＋2，y1）．

由＝，得

从而…………………………12分

因为＋y02＝1，所以＋（y1）2＝1．

即2（＋y12）＋2（－1）x1＋2（－1）2－1＝0．

因为＋y12＝1，代入得2（－1）x1＋32－4＋1＝0．

由题意知，≠1，

故x1＝－，所以x0＝．

同理可得x0＝．…………………………14分

因此＝，

所以＋＝6．…………………………16分

（方法二）设M（x0，y0），P（x1，y1），Q（x2，y2）．

直线AM的方程为y＝（x＋2）．

将y＝（x＋2）代入＋y2＝1，得（（x0＋2）2＋y）x2＋4yx＋4y－（x0＋2）2＝0（*）．

因为＋y02＝1，所以（*）可化为（2x0＋3）x2＋4yx－3x－4x0＝0．

因为x0x1＝－，所以x1＝－．

同理x2＝．…………………………14分

因为＝，＝，

所以＋＝＋＝＋

＝＋＝6．

即λ＋为定值6．…………………………16分

19．解：

（1）由h（x）＝f（x）＋g（x）＝x2－x＋t＋lnx，得h'（x）＝2x－1＋，x＞0．

因为2x＋≥2＝2，所以h'（x）＞0，

从而函数h（x）是增函数．…………………………3分

（2）记直线l分别切f（x），g（x）的图象于点（x1，x12－x1＋t），（x2，lnx2），

由f'（x）＝2x－1，得l的方程为y－（x12－x1＋t）＝（2x1－1）（x－x1），即y＝（2x1－1）x－x12＋t．

由g'（x）＝，得l的方程为y－lnx2＝（x－x2），即y＝·x＋lnx2－1．

所以（*）

消去x1得lnx2＋－（t＋1）＝0（**）．…………………………7分

令F（x）＝lnx＋－（t＋1），则F'（x）＝－＝＝，x＞0．

由F'（x）＝0，解得x＝1．

当0＜x＜1时，F'（x）＜0，当x＞1时，F'（x）＞0，

所以F（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，

从而F（x）min＝F

（1）＝－t．…………………………9分

当t＝0时，方程（**）只有唯一正数解，从而方程组（*）有唯一一组解，

即存在唯一一条满足题意的直线；…………………………11分

当t＞0时，F

（1）＜0，由于F（et＋1）＞ln（et＋1）－（t＋1）＝0，

故方程（**）在（1，＋∞）上存在唯一解；…………………………13分

令k（x）＝lnx＋－1（x≤1），由于k'（x）＝－＝≤0，故k（x）在（0，1]上单调递减，

故当0＜x＜1时，k（x）＞k

（1）＝0，即lnx＞1－，

从而lnx＋－（t＋1）＞（－）2－t．

所以F（）＞（＋）2－t＝＋＞0，又0＜＜1，

故方程（**）在（0，1）上存在唯一解．

所以当t＞0时，方程（**）有两个不同的正数解，方程组（*）有两组解．

即存在两条满足题意的直线．

综上，当t＝0时，与两个函数图象同时相切的直线的条数为1；

当t＞0时，与两个函数图象同时相切的直线的条数为2．

…………………………16分

20．解：

（1）由（Sm＋n＋S1）2＝4a2na2m，得（S2＋S1）2＝4a，即（a2＋2a1）2＝4a．

因为a1＞0，a2＞0，所以a2＋2a1＝a2，即＝2．…………………………3分

证明：

（2）（方法一）令m＝1，n＝2，得（S3＋S1）2＝4a2a4，即（2a1＋a2＋a3）2＝4a2a4，

令m＝n＝2，得S4＋S1＝2a4，即2a1＋a2＋a3＝a4．

所以a4＝4a2＝8a1．

又因为＝2，所以a3＝4a1．…………………………6分

由（Sm＋n＋S1）2＝4a2na2m，得（Sn＋1＋S1）2＝4a2na2，（Sn＋2＋S1）2＝4a2na4．

两式相除，得＝，所以＝＝2．

即Sn＋2＋S1＝2（Sn＋1＋S1），

从而Sn＋3＋S1＝2（Sn＋2＋S1）．

所以an＋3＝2an＋2，故当n≥3时，{an}是公比为2的等比数列．

又因为a3＝2a2＝4a1，从而an＝a1·2n－1，n∈N*．

显然，an＝a1·2n－1满足题设，

因此{an}是首项为a1，公比为2的等比数列．…………………………10分

（方法二）在（Sm＋n＋S1）2＝4a2na2m中，

令m＝n，得S2n＋S1＝2a2n．①

令m＝n＋1，得S2n＋1＋S1＝2，②

在①中，用n＋1代n得，S2n＋2＋S1＝2a2n＋2．③

②－①，得a2n＋1＝2－2a2n＝2（－），④

③－②，得a2n＋2＝2a2n＋2－2＝2（－），⑤

由④⑤得a2n＋1＝．⑥

…………………………8分

⑥代入④，得a2n＋1＝2a2n；⑥代入⑤得a2n＋2＝2a2n＋1，

所以＝＝2．又＝2，

从而an＝a1·2n－1，n∈N*．

显然，an＝a1·2n－1满足题设，

因此{an}是首项为a1，公比为2的等比数列．…………………………10分

（3）由

（2）知，an＝a1·2n－1．

因为|cp|＝|dp|＝a1·2p－1，所以cp＝dp或cp＝－dp．

若cp＝－dp，不妨设cp＞0，dp＜0，

则Tp≥a1·2p－1－（a1·2p－2＋a1·2p－3＋…＋a1）＝a1·2p－1－a1·（2p－1－1）＝a1＞0．

Rp≤－a1·2p－1＋（a1·2p－2＋a1·2p－3＋…＋a1）＝－a1·2p－1＋a1·（2p－1－1）＝－a1＜0．

这与Tp＝Rp矛盾，所以cp＝dp．

从而Tp－1＝Rp－1．

由上证明，同理可得cp－1＝dp－1．如此下去，可得cp－2＝dp－2，cp－3＝dp－3．…，c1＝d1．

即对任意正整数k（1≤k≤p），ck＝dk．…………………………16分

南京市2015届高三第三次模拟考试

数学附加题参考答案及评分标准2015.05

21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．

A．选修4—1：

几何证明选讲

证明：

因为AB是⊙O的切线，所以ABD＝AEB．

又因为BAD＝EAB，所以△BAD∽△EAB．

所以＝．…………………………5分

同理，＝.．

因为AB，AC是⊙O的切线，所以AB＝AC．

因此＝，即BE·CD＝BD·CE．…………………………10分

B．选修4—2：

矩阵与变换

解：

（1）设直线l上一点M0（x0，y0）在矩阵A对应的变换作用下变为l上点M（x，y），

则＝＝，

所以…………………………3分

代入l方程得（ax0＋y0）－（x0＋ay0）＋2a＝0，

即（a－1）x0－（a－1）y0＋2a＝0．

因为（x0，y0）满足x0－y0＋4＝0，

所以＝4，解得a＝2．…………………………6分

（2）由A＝，得A2＝＝．…………………10分

C．选修4—4：

坐标系与参数方程

解：

以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系，则由题意，得

圆C的直角坐标方程x2＋y2－4x＝0，

直线l的直角坐标方程y＝x．…………………………4分

由解得或

所以A（0，0），B（2，2）．

从而以AB为直径的圆的直角坐标方程为（x－1）2＋（y－1）2＝2，即x2＋y2＝2x＋2y．

…………………………7分

将其化为极坐标方程为：

2－2（cos＋sin）＝0，即＝2（cos＋sin）．

……………………10分

D．选修4—5：

不等式选讲

证明：

因为x＞y，所以x－y＞0，从而

左边＝（x－y）＋（x－y）＋＋2y

≥3＋2y

＝2y＋3

＝右边．

即原不等式成立．…………………………10分

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．

22．解：

（1）因为PA平面ABCD，AB平面ABCD，AD平面ABCD，

所以PAAB，PAAD．

又ADAB，

故分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．

z

根据条件得AD＝．

所以B（1，0，0），D（0，，0），C（1，，0），P（0，0，2）．

从而＝（－1，，0），＝（1，，－2）．

…………………………3分

设异面直线BD，PC所成角为，

则cos＝|cos＜，＞|＝||

＝||＝．

即异面直线BD与PC所成角的余弦值为．…………………………5分

（2）因为AB平面PAD，所以平面PAD的一个法向量为＝（1，0，0）．

设平面PCD的一个法向量为n＝（x，y，z），

由n，n，＝（1，，－2），＝（0，，－2），

得解得

不妨取z＝3，则得n＝（2，2，3）．…………………………8分

设二面角A－PD－C的大小为，

则cos＝cos＜，n＞＝＝＝．

即二面角A－PD－C的余弦值为．…………………………10分

23．解：

（1）f（3）＝1，f（4）＝2；…………………………2分

（2）设A0＝{m∣m＝3p，p∈N*，p≤}，

A1＝{m∣m＝3p－1，p∈N*，p≤}，

A2＝{m∣m＝3p－2，p∈N*，p≤}，

它们所含元素的个数分别记为∣A0∣，∣A1∣，∣A2∣．………………………4分

①当n＝3k时，则∣A0∣＝∣A1∣＝∣A2∣＝k．

k＝1，2时，f（n）＝（C）3＝k3；

k≥3时，f（n）＝3C＋（C）3＝k3－k2＋k．

从而f（n）＝n3－n2＋n，n＝3k，k∈N*．…………………………6分

②当n＝3k－1时，则∣A0∣＝k－1，∣A1∣＝∣A2∣＝k．

k＝2时，f（n）＝f（5）＝2×2×1＝4；

k＝3时，f（n）＝f（8）＝1＋1＋3×3×2＝20；

k＞3时，f（n）＝C＋2C＋C（C）2＝k3－3k2＋k－1；

从而f（n）＝n3－n2＋n－，n＝3k－1，k∈N*．…………………………8分

③当n＝3k－2时，∣A0∣＝k－1，∣A1∣＝k－1，∣A2∣＝k．

k＝2时，f（n）＝f（4）＝2×1×1＝2；

k＝3时，f（n）＝f（7）＝1＋3×2×2＝13；

k＞3时，f（n）＝2C＋C＋（C）2C＝k3－k2＋5k－2；

从而f（n）＝n3－n2＋n－，n＝3k－2，k∈N*．

所以f（n）＝……………………10分