平行四边形与三角形中位线.docx

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平行四边形与三角形中位线

平行四边形

知识梳理

1.平行四边形的定义：

（1）定义：

两组对边分别平行的四边形是平行四边形．

（2）表示：

平行四边形用符号“

”来表示．

如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD记作“

ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．

注意：

平行四边形中的对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角。

而三角形的对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角。

2.平行四边形的性质

（1）边：

平行四边形的对边平行且相等．

（2）角：

平行四边形的对角相等．

（3）对角线：

平行四边形的对角线互相平分．

（4）对称性：

平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心．

3.平行四边形的判定方法

（1）定义识别：

两组对边分别平行的四边形是平行四边形．

（2）用平行四边形的判定定理识别：

判定定理①：

两组对边分别相等的四边形是平行四边形．

判定定理②：

对角线互相平分的四边形是平行四边形．

判定定理③：

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

4.三角形中位线

（1）定义：

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．每个三角形都有三条中位线．

（2）三角形中位线定理：

三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．

典型例题

知识点一：

平行四边形的性质的应用

例1.已知：

ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F．

求证：

OE＝OF，AE=CF，BE=DF．

思路分析：

1）题意分析：

本题考查平行四边形的性质应用。

2）解题思路：

求证线段相等可利用三角形全等，即证出OE、OF所在三角形全等，即△AOE≌△COF。

解答过程：

∵四边形ABCD是平行四边形，AB∥CD，

∴∠1＝∠2．∠3＝∠4．

又OA＝OC（平行四边形的对角线互相平分），

∴△AOE≌△COF（AAS）．

∴OE＝OF，AE=CF（全等三角形对应边相等）．

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD（平行四边形对边相等）．

∴AB－AE=CD－CF．即BE=DF．

解题后的思考：

利用平行四边形的性质，可以证角相等、线段相等。

其关键是根据所要证明的全等三角形，选择需要的边、角相等条件。

例2.已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝10cm，AD＝8cm，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长以及

ABCD的面积．

思路分析：

1）题意分析：

本题考查平行四边形的性质与勾股定理的应用。

2）解题思路：

由平行四边形的对边相等，可得BC、CD的长，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC的长．再由平行四边形的对角线互相平分可求得OA的长，根据平行四边形的面积计算公式：

平行四边形的面积=底×高（高为此底上的高），可求得

ABCD的面积。

解答过程：

在

ABCD中，AB＝10cm，AD＝8cm，

BC=AD=8cm、CD=AB=10cm。

∵AC⊥BC，

在Rt△ABC中，由勾股定理

ABCD的面积=8×6=48cm2．

解题后的思考：

这道题考查平行四边形面积的计算．解题时需要应用勾股定理，先求得平行四边形一边上的高，然后才能应用该公式计算．在以后的解题过程中，还会遇到需要应用勾股定理来求高或底的问题。

知识点二：

平行四边形判定定理的应用

例3.已知：

如图，

ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F是AC上的两点，并且AE=CF．求证：

四边形BFDE是平行四边形．

思路分析：

1）题意分析：

本题考查平行四边形的判定。

2）解题思路：

这道题是平行四边形的性质与判定的综合运用。

此题有多种解法，其中利用对角线互相平分的性质来证明较为简单。

解答过程：

在

ABCD中，对角线AC、BD交于点O，

∴AO=CO，BO=DO．

∵AE=CF

∴AO－AE=CO－CF，OE=OF

∴四边形BFDE是平行四边形

解题后的思考：

你还有其他的证明方法吗？

比较一下，哪种证明方法简单。

例4.已知：

如图，A′B′∥BA，B′C′∥CB，C′A′∥AC．

求证：

（1）∠ABC＝∠B′，∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′；

（2）△ABC的顶点A、B、C分别是△B′C′A′各边的中点．

思路分析：

1）题意分析：

本题考查平行四边形的性质与判定的综合运用

2）解题思路：

根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可知四边形ABCB′是平行四边形，再利用平行四边形的性质可得所求结论。

解答过程：

（1）∵A′B′∥BA，CB∥B′C′，

∴四边形ABCB′是平行四边形．

∴∠ABC＝∠B′（平行四边形的对角相等）．

同理∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′．

（2）由

（1）证得四边形ABCB′是平行四边形．同理，四边形ABA′C是平行四边形．

∴AB＝B′C，AB＝A′C（平行四边形的对边相等）．

∴B′C＝A′C．

同理B′A＝C′A，A′B＝C′B．

∴△ABC的顶点A、B、C分别是△B′C′A′的边B′C′、C′A′、A′B′的中点．

解题后的思考：

本题要求学生能灵活和综合地运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题。

例5.已知：

如图，

ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：

BE=DF．

思路分析：

1）题意分析：

本题考查平行四边形的判定定理及性质的运用。

2）解题思路：

证明BE=DF，可以证明两个三角形全等，也可以证明四边形BEDF是平行四边形，通过比较，可以看出第二种方法简单．

解答过程：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥CB，AD=CB．

∵E、F分别是AD、BC的中点，

∴DE∥BF，且DE=1/2AD，BF=1/2BC．

∴DE=BF．

∴四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．

∴BE=DF．

解题后的思考：

此题综合运用了平行四边形的性质和判定，先运用平行四边形的性质得到判定另一个四边形是平行四边形的条件，再应用平行四边形的性质得出结论；题目虽不复杂，但层次分明，且利用知识较多，因此要求学生应具有清晰的证明思路。

例6.已知：

如图，

ABCD中，E、F分别是AC上两点，且BE⊥AC于E，DF⊥AC于F．求证：

四边形BEDF是平行四边形．

思路分析：

1）题意分析：

本题考查平行四边形的判定定理及性质的运用。

2）解题思路：

因为BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，所以BE∥DF．此时需再证明BE=DF，这需要证明△ABE与△CDF全等，由角角边证明即可．

解答过程：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，且AB∥CD．

∴∠BAE=∠DCF．

∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，

∴BE∥DF，且∠BEA=∠DFC=90°．

∴△ABE≌△CDF（AAS）．

∴BE=DF．

∴四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．

解题后的思考：

解题的关键是掌握平行四边形的判定方法，会综合运用平行四边形的判定方法和性质．会应用这些方法进行几何的推理证明，并通过学习，增强分析问题、寻找最佳解题途径的能力．

知识点三：

三角形中位线的应用

例7.已知：

如图

（1），在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．

求证：

四边形EFGH是平行四边形．

思路分析：

1）题意分析：

本题考查三角形中位线定理的应用

2）解题思路：

因为已知点E、F、G、H分别是各边的中点，可以设法应用三角形中位线的性质找到四边形EFGH各边之间的关系．由于四边形的一条对角线可以把四边形分成两个三角形，所以可添加辅助线，连接AC或BD，构造“三角形中位线”的基本图形后，此题便可得证．

解答过程：

连结AC（图

（2）），在△DAC中，

∵H、G是AD、DC的中点，

∴AH=HD，CG=GD，

∴HG∥AC，HG=1/2AC（三角形中位线性质）．

同理EF∥AC，EF=1/2AC．

∴HG∥EF，且HG=EF．

∴四边形EFGH是平行四边形．

解题后的思考：

在今后的复杂图形中，当已知中同时出现中点的条件时，我们要注意三角形中位线性质的运用，进一步证明线段平行或倍分问题。

提分技巧

1.复习全等三角形和四边形的有关知识．

2.学过本节内容后，应掌握平行四边形的性质和判定方法，可从三方面记忆。

从边看；

从对角线看；

从角看。

3.了解平行四边形知识的运用包括三个方面：

一是直接运用平行四边形的性质去解决某些问题．例如求角的度数，线段的长度，证明角相等或线段相等等；二是判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行等；三是先判定一个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形的性质去解决某些问题．

4.平行四边形的概念、性质、判定都是非常重要的基础知识，这些知识是本章的重点内容，同学们要熟练地掌握这些知识．

同步练习（答题时间：

60分钟）

一、选择题

1.如图1，在平行四边形ABCD中，下列各式不一定正确的是（）

2.如图2，在

ABCD中，EF//AB，GH//AD，EF与GH交于点O，则该图中的平行四边形的个数共有（）

A.7个B.8个C.9个D.11个

3.下列给出的条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）

A.AB∥CD，AD=BCB.AB=AD，CB=CD

C.AB=CD，AD=BCD.∠B=∠C，∠A=∠D

4.如图3，在

ABCD中，∠B=110°，延长AD至F，延长CD至E，连接EF，则∠E+∠F的值为（）

A.110°B.30°C.50°D.70°

5.如图4，

ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，将△AOD平移至△BEC的位置，则图中与OA相等的其他线段有（）

A.1条B.2条C.3条D.4条

6.如图5，点D、E、F分别是AB、BC、CA边的中点，则图中的平行四边形一共有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题

1.在平行四边形ABCD中，若∠A－∠B=70°，则∠A=_______，∠B=_______，

∠C=_______，∠D=_________．

2.在

ABCD中，AC⊥BD，相交于O，AC=6，BD=8，则AB=________，BC=_________．

3.如图6，已知

ABCD中，AB=4，BC=6，BC边上的高AE=2，则DC边上的高AF的长是________．

4.如图7，△ABC中，D、E分别是AB、AC边的中点，且DE=6cm，则BC=__________．

5.用40cm长的长绳围成一个平行四边形，使长边与短边的比是3：

2，则长边是____cm，短边是_____cm.

6.如图9，

ABCD中，DB=DC，∠C=70°，AE⊥BD于E，则∠DAE=_____度。

7.如图10，E、F是

ABCD对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件：

，使四边形AECF是平行四边形．

三、解答题

1.如图11，在

ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为25，AB=12，求对角线AC与BD的和。

2.已知如图12，在

ABCD中，延长AB到E，延长CD到F，使BE=DF，则线段AC与EF是否互相平分？

说明理由。

3.如图13，

ABCD中，BD⊥AB，AB=12cm，AC=26cm，求AD、BD的长．

4.如图14，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．

求证：

（1）△AFD≌△CEB．

（2）四边形ABCD是平行四边形．

试题答案

一、

1.D2.C3.C4.D5.B6.C

二、

1.125°，55°，125°，55°

2.5，5

3.3

4.12cm

5.12，8

6.20

7.BE=DF（或∠BAE=∠DCF等）

三、

1.解：

因为△AOB的周长为25，

所以OA+OB+AB=25，

又AB=12，所以OA+OB=25－12=13，

因为平行四边形的对角线互相平分，所以AC+BD=2OA+2OB=2（OA+OB）=2×13=26

2.解：

线段AC与EF互相平分.理由是：

连接AF，EC。

∵四边形ABCD是平行四边形。

∴AB∥CD，即AE∥CF，AB=CD，∵BE=DF，∴AE=CF

∴四边形AECF是平行四边形，

∴AC与EF互相平分.