清华大学微积分A笔记上word资料11页.docx

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清华大学微积分A笔记上word资料11页

多元函数、多元向量值函数

要练说，得练看。

看与说是统一的，看不准就难以说得好。

练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。

在运用观察法组织活动时，我着眼观察于观察对象的选择，着力于观察过程的指导，着重于幼儿观察能力和语言表达能力的提高。

f（X）F（X）

与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。

金代元好问《示侄孙伯安》诗云：

“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。

”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。

清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。

可见，“教师”一说是比较晚的事了。

如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。

辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。

多元函数的切平面、全微分、偏导

语文课本中的文章都是精选的比较优秀的文章,还有不少名家名篇。

如果有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、精彩段落,对提高学生的水平会大有裨益。

现在,不少语文教师在分析课文时,把文章解体的支离破碎,总在文章的技巧方面下功夫。

结果教师费劲,学生头疼。

分析完之后,学生收效甚微,没过几天便忘的一干二净。

造成这种事倍功半的尴尬局面的关键就是对文章读的不熟。

常言道“书读百遍,其义自见”,如果有目的、有计划地引导学生反复阅读课文,或细读、默读、跳读,或听读、范读、轮读、分角色朗读,学生便可以在读中自然领悟文章的思想内容和写作技巧,可以在读中自然加强语感,增强语言的感受力。

久而久之,这种思想内容、写作技巧和语感就会自然渗透到学生的语言意识之中,就会在写作中自觉不自觉地加以运用、创造和发展。

有多元函数f（X），若存在向量A=（a1,a2,…,an）使得f（X）-f（X0）-A（X-X0）=o（||X-X0||），则称g（X）=A（X-X0）是f在X0处的切平面

df=AdX=a1dx1+a2dx2+…+andxn是f的全微分

bk=∂（f）/∂（xk）是将X的其他分量视为常数时f的导数，称为f的偏微分

可以证明若A存在，ak=bk=∂f/∂xk

Nabla算子∇=（∂/∂x1,…,∂/∂xn）

∇A=Grad（f）=A称为f的梯度，∇（f○g）=g∇f+f∇g

若有单位向量e=（cosθ1,cosθ2,…,cosθn），则称A.e是f沿e方向的方向导数，

A.e=∂f/∂l其中l与e平行

若f在X0可微：

X0处f各一阶偏导存在

X0处f有梯度

X0处f连续

X0处f的各方向导数均存在

若f在X0处各一阶偏导函数连续，则f在X0可微

A=∇f是向量值函数，可以观察，e与A平行时，f的方向导数最大，且大小A.e=||A||，称A是f的梯度场

向量值函数的切平面、微分、偏导

F（X）=（f1（X）,f2（X）,…,fm（X）），若所有fi在X0处可微，则称F在X0处可微，即

F（X）=F（X0）+A（X-X0）+o（||X-X0||），其中

A=（aij）m*n=∂F/∂X=∂（f1,f2,…,fm）/∂（x1,x2,…,xn）=J（F（X0）））称为F在X0处的Jacobian

（F的Jacobian的第i行是F的Fi分量的梯度，

aij:

=∂Fi/∂xj）

F的全微分dF=AdX

当m=n时，F有散度Div（F）和旋度Curl（F）

Div（F）=∇.F=∂f1/∂x1+…+∂fm/∂xm

Curl（F）=∇×F

复合函数求导

一阶偏导：

若G=G（X）在X0可微，F=F（U）（U=G（X））在G（X0）可微，则F○G在X0处可微，

J（F○G）=J（F（U））J（G（X））

具体地，对于多元函数f（U）=f（u1,…,um），其中U=G（X）即ui=g（x1,…,xn）

∂f/∂xj=∂f/∂U*∂U/∂xj

=Sum[∂f/∂ui*∂ui/∂xj]{foreachuiinU}

高阶偏导：

不要忘记偏导数还是复合函数

例：

f（U）:

=f（u1,u2）,U（X）:

=（u1（x1,x2）,u2（x1,x2））

∂2f/（∂x1）2=数学分析教程P151

隐函数、隐向量值函数

由F（X,Y）=0确定的函数Y=f（X）称为隐函数

隐函数：

1.存在定理：

若n+1元函数F（X,y）在零点（X0,y0）处导数连续，且∂（F）/∂（y）（X0,y0）<>0，则存在（X0,y0）附近的超圆柱体B=B（X0）*B（y0），使得B（X0）上的任意一点X可以确定一个y使得F（X,y）=0，即函数F在B内确定了一个隐函数y=f（X），而且这个隐函数的一阶偏导数也连续

注：

如果∂（F）/∂（y）=0，那么在X=X0超平面上，y在X0处取得了极值，那么沿曲面被X=X0截的曲线从X0处向任意方向走，y都会减小，所以y是双值函数，不是函数

2.偏导公式：

在B内的

处，

或者说

不正式的证明：

F（X,y）≡0,所以∂F/∂xi=0,即

Sum[∂F/∂xj*∂xj/∂xi]=0（把y记做xn+1）

由于X的各分量都是自变量，∂xj/∂xi=0（i<>j）

所以∂F/∂xi+∂F/∂y*∂y/∂xi=0

于是立即可得上述公式

隐向量值函数：

1.存在定理：

若X∈Rn,Y∈Rm，m维n+m元向量值函数F（X,Y）=0，在P0=（X0,Y0）点的某个邻域B（P0,r）内是C

（1）类函数，F（P0）=0，且∂F/∂Y可逆，则存在P0的邻域B（X0）*B（Y0），使得对于在B（X0）内的任意X，存在唯一Y∈B（Y0）满足F（X,Y）=0，即F在B内确定了一个连续可微隐函数Y=f（X）

2.偏导公式：

J（f）:

=∂（y1,…,ym）/∂（x1,…,xn）:

=∂Y/∂X

=-[∂F/∂Y]-1*∂F/∂X

注：

1.求逆矩阵用伴随矩阵的方法，A-1=A*/|A|，A*是A的余子矩阵的转置

2.如果只求J（f）中的一列，∂（Y）/∂（xi）=-[∂（F）/∂（Y）]-1*[∂（F）/∂（xi）]

3.如果只求J（f）中的一行或者一个元素，问题退化成隐函数偏导的问题

4.计算∂F/∂X时，忽略Y是X的函数，将Y当作自变量计算

（从证明中可以看出原因，因为∂y/∂x的成分被移到了等式左侧J（f）里面），而不用偏导公式，采取对F（X,Y）=0左右同时对xi求偏导的方法时，Y要看做xi的函数）

3.隐向量值函数的反函数：

函数Y=f（X）将Rn映射至Rm，如果J（f）=∂f/∂X可逆，那么存在f的反函数X=f-1（Y），且J（f-1）=[J（f）]-1

注：

1.求逆矩阵用伴随矩阵的方法，A-1=A*/|A|，A*是A的余子矩阵的转置

2.|J（f-1）|=|J（f）|-1

用参数形式给出的隐函数

若有x=x（u,v），y=y（u,v），z=z（u,v），则需要列方程求

曲面和曲线的切平面、法线、法向量

三维空间下，函数F（x,y,z）=0确定了一个曲面。

如果F在点P处满足

（1）F在P处连续可微

（2）∇F在P处不为0

则称P是曲面上的正则点

如果曲面在正则点P0（x0,y0,z0）处有法向量n（nx,ny,nz），A=（x-x0,y-y0,z-z0），则S在P点的切平面方程为n.A=0,法线方程（x-x0）/nx=（y-y0）/ny=（z-z0）/nz（约定分母为0时分子也为0）

过P0（x0,y0,z0）与n1=（x1,y1,z1）和n2=（x2,y2,z2）都垂直的直线有标准方程：

（X-X0）.n1=（X-X0）.n2=0，具体地:

x1（x-x0）+y1（y-y0）+z1（z-z0）=0

x2（x-x0）+y2（y-y0）+z2（z-z0）=0

I.曲面的显式表示法

z=f（x,y）是曲面S的显式表示

正则点P0（x0,y0,z0）处，S的法向量n=（∂f/∂x,∂f/∂y,-1）

II.曲面的隐式表示法

F（x,y,z）=0是曲面的隐式表示法

正则点P0处，n=（∂z/∂x,∂z/∂y,-1）

=（-（∂F/∂x）/（∂F/∂z）,-（∂F/∂y）/（∂F/∂z）,-1）

=（∂F/∂x,∂F/∂y,∂F/∂z）

III.曲线的参数表示法

L={x=x（t）,y=y（t）,z=z（t）}是曲线的参数方程

正则点P处，t=（x’,y’,z’）是L在P处的切向量，以t为法线的平面称为L在P处的切平面

IV.曲面的参数表示法

S={x=x（u,v）,y=y（u,v）,z=z（u,v）}是曲面的参数表示法

取通过正则点P的v-曲线S{u=u0}和u-曲线S{v=v0}，在正则点处取切向量，t1=（xu,yu,zu），t2=（xv,yv,zv），正则点处的法向量必与t1、t2垂直，可以取n=t1×t2

P点处的切平面T可以直接用u、v的参数表示T:

X-X0=J（X）.（u-u0,v-v0），具体就是

x-x0=xu（u-u0）+xv（v-v0）

y-y0=yu（u-u0）+yv（v-v0）

z-z0=zu（u-u0）+zv（v-v0）

V.曲线的标准表示法

两个曲面F（x,y,z）=0与G（x,y,z）=0的公共解可以确定它们的交线L。

正则点P处，L的切向量应该与F的法向量n1、G的法向量n2都垂直，可以取t=n1×n2

Taylor公式、函数的极值与最值、Lagrange乘子法

定义函数f（X）在X0点的Hessian：

H（f）|X0:

=H（f（X0））:

=H（X0）=（∂2f/∂xi∂xj）n*n

Taylor定理：

f（X0+ΔX）=f（X0）+∇f（X0）.ΔX+1/2（ΔX）T.H（X0+θΔX）.（ΔX）（0<=θ<=1）

f（X0+ΔX）=f（X0）+∇f（X0）.ΔX+1/2（ΔX）T.H（X0）.（ΔX）+o（||ΔX||2）

Sketchofproof:

f在B（X0）内二阶可微，在B（X0）内任取X=X0+ΔX，令g（t）=f（X0+θΔX），g’（t）=∇f（X0）.ΔX，g’’（t）=（ΔX）T.H（X0+θΔX）.（ΔX），直接应用一元Taylor公式即可。

极值

若X0处有∇f（X0）=0，则称X0是f的一个驻点

在驻点X0处，如果有H（X0）正定，则X0是f的极小值；如果H（X0）负定，X0是f的极大值，否则X0是f的鞍点

Sketchofproof:

X0附近，f（X0+ΔX）-f（X0）=∇f（X0）.ΔX+1/2（ΔX）T.H（X0）.（ΔX）+o（||ΔX||2），而由驻点条件∇f（X0）.ΔX=0，o（||ΔX||2）是无穷小，在足够小的区域内（ΔX）T.H（X0）.（ΔX）决定了函数值变化的符号，如果它恒正，那么H（X0）是正定矩阵；恒负，H（X0）是负定矩阵。

说明：

（1）由线性代数的知识，如果A的所有特征值均为正，A正定；A的特征值均为负，A负定，而且设A的最小、最大特征值为λ、Λ，那么λX.X<=XTAX<=ΛX.X

（2）特殊地，如果H（X0）是二阶方阵，那么|H|>0时H可定，其中∂2f/∂x1∂x1>0时H正定，∂2f/∂x1∂x1<0时H负定，∂2f/∂x1∂x1=0，H不定

Lagrange乘子法

若f在Ω内连续可微，则f的最值点一定在驻点或者∂Ω处取得。

单独的点处f的值易求，连续边集内f的最值可由下述Lagrange乘子法求得：

对于函数z=f（X）在限制条件Φ（X）:

=（φ1（X）,…,φm（X））=0下的极值，若∂Φ/∂X满秩，定义Lagrange乘子函数L（X,Λ）:

=L（X,λ1,…,λm）=f（X）+Λ.Φ（X）=f（X）+∑λiφi（X）（i=1,…,m），f的极值点一定取在L的驻点处。

注意：

1.限制条件是Φ（X）=0，如果右侧不是零向量，不要忘记移项

2.如果限制条件Φ（X）=0构成了“流形”（有界无边），那么f的最值点一定取在L的驻点处

含参积分

多元函数的连续性：

对于Ω上的函数f，∀ε>0,X0∊Ω,∃δ=δ（ε,X0）>0s.t.|f（X）-f（X0）|<ε∀X∊B（δ,X0）

若δ与X0无关，则称f在Ω上一致连续

多元函数的一致连续性：

∀ε>0,∃δ=δ（ε）>0s.t.∀X,X’∊Ω,若|X-X’|<δ则|f（X）-f（X’）|<ε

说明：

1.与一元微积分相似，若Ω是有界闭集且f在Ω上连续，则f在Ω上一致连续

2.连续性条件中的δ与X无关，或者说对于∀X∊Ω都有同一个δ，则f一致连续

设f（x,y）在Q=[a,b]×[c,d]上有定义，则称∫f（x,y）dy为含参积分，x是参变量，y是积分变量

定义三维几何体∑={（x,y,z）|（x,y）∊Q,z<=f（x,y）}，∑的体积V=∫a,bSdx,S（x）=∫f（x,y）dy,那么V=∫（dx∫f（x,y）dy）是积分的几何意义

常用含参积分：

Γ（x）=∫<0,+∞>e-ttx-1dt

Β（x,y）=∫<0,1>tx-1（1-t）y-1dt

广义含参积分：

含参积分的性质：

令I（x）=∫f（x,y）dy，x∊[a,b]，D=[a,b]×[c,d]

1.若f（x,y）在D上连续，则I（x）在D上连续

2.若f（x,y）和∂f/∂x在D上都连续，则I（x）在[a,b]上可微，且

I’（x）=∫（∂f/∂x）dy

2’.（推广形式）若f（x,y）和∂f/∂x在D上都连续，则ι=∫<α（x）,β（x）>f（x,y）dy可微，且

ι’（x）=f（x,β（x））β’（x）–f（x,α（x））α’（x）+∫<α（x）,β（x）>（∂f（x,y）/∂x）dy

3.∫（dx∫f（x,y）dy）=∫（dy∫f（x,y）dx）

常用广义含参积分：

Poisson积分∫<0,+∞>e-x^2dx=sqrt（π）/2

Dirichlet积分∫<0,+∞>（sinx/x）dx=π/2

一元广义积分收敛性

1.∫<1,+∞>xpdx

收敛p<-1

发散p>=-1

2.

绝对收敛p>1

条件收敛0

发散p<=0

广义积分的收敛性

1.（Cauchy）若∀ε>0,∃A=A（ε）>0,∀A,A’’>A,∀y∈[c,d],|∫A’->A’’f（x,y）dx|<ε,则无界区间上的广义积分∫f（x,y）关于y一致收敛

2.（Dirichlet）若对足够大的A，有一致有界积分∫f（x,y）dx和对x单调的g有limx->+∞g（x,y）=0关于y∈[c,d]一致成立，则广义积分∫f（x,y）g（x,y）dx一致收敛（有界的广义积分×无穷处的0）

3.（Abel）对于y∈[c,d]有一致收敛的广义积分∫f（x,y）dx和对y一致有界、对x单调的g（x,y），则广义积分∫f（x,y）g（x,y）dx一致收敛（收敛的广义积分×有界）

4.（Weierstrass）如果对于充分大的x，对y∈[c,d]一致地有|f（x,y）|<=F（x），且F（x）的广义积分一致收敛，则f（x,y）对x的积分对于y也一致收敛（比较审敛法）

广义含参积分性质：

令I（x）=∫f（x,y）dy，x∊[a,b]，D=[a,b]×[c,+∞）

1.若f（x,y）在D上连续，且I关于y∊[c,+∞）一致收敛，则I（x）连续

计算含参积分的方法：

1.对参变量求导